Задачи М1051—М1055; Ф1063—Ф1067

36

Задчи

M1051 — M1055, Ф1063 — Ф1067

M1051. В левый нижний угол шахматной доски 8×8 клеток поставлено в форме квадрата 3×3 двеять фишек. Фишка может перерыгнуть через любую другую фишку, симметрично отразившись от нее, если соответствующей поле свободно. Можно ли несколькоimi таких ходами собрать все фишки в виде квадрата 3×3:
а) в левом верхнем углу?
б) в правом верхнем углу доски?

А. Е. Брискин

M1052. Докажите, что из $n$ четырехугольников, отсекаемых от выпуклого $n$-угольника диагоналими, не более $n/2$ могут оказаться описными округности. Приведите пример 8-угольника, у которого таких четырехугольников 4.

Н. М. Седракян

M1053. Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, где каждое число равно сумме двух предыдущих, при $m > 3$ встретиется не менее 4 и не более 5 $m$-значных чисел.

M1054. Докажите, что шесть точок попарного касания четырех сфера всегда лежат на одной сфере или на одной плоскости.

Ю. К. Коба

M1055. На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг с концами в этих точках не менее 100 дуг, не превысodiaщих 120°.

А. Ф. Сидоренко

Ф1063. Пешекоду необходимо в кратчайшее время попасть из точки поля $A$ в точку поля $B$, расстояние между которых 1300 м. Поле пересекает прямолинейная дорога так, что точка $A$ находится от нее на расстоянии 600 м, а точка $B$ — на расстоянии 100 м. Скорость перемещения пешекода по полю равна 3 км/ч, а по дороге — 6 км/ч. Какой путь должен избрать пешекод? Чему равно минимальное время? Расмотреть случай, когда точки $A$ и $B$ лежат по одному сторону от дороги и когда они лежат по разные стороны от дороги.

С. С. Крогов

Ф1064. Нить прикреплена к ободу тяжелого обруча и намотана на него. Если другой конецити прикрепить к потолку и отпустить обруча, то он, врашаясь и разматывая нить, будет двигаться вниз. Пусть три таких обруча соединены «последовательно», т. е. конецити следующего обруча прикреплен к оси предыдущего (рисунок 1). Все обручи одновременно отпустили, и они пришли в движение. Определить, с каким ускорением движется верхиной обруча.

С каким ускорением будет двигаться верхиной обруча, если число последовательно соединенных обручей очень велико?

Считать, что масса обруча равномерно распределена по его ободу, спицы невесямы, нити невесямы и нерастижмы, трене отсутствует.

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Ф1065. Кастрюлю, в которой налиит 1 л воды, никак не удается довести до кипения при помощи нагревая