Решение систем тригонометрических уравнений

46

Решение систем тригонометрических уравнений

Кандидат физико-mатематических наук
А. А. БОЛИБРУХ,
кандидат физико-mатематических наук
В. М. УРОЕВ,
профессор М. И. ШАБУНИН

В данной заметке на примерах задач, предложенных в разных годы наступительных экзаменах в МФТИ (письменных и устных), приведены некоторые способы решения систем тригонометрических уравнений.

Напомним определения, относящаяся к любым, не обязательно тригонометрическим, системам. Если каждое решение одной системы является решением другой системы, то вторая система называется «следствием» первой. Если первый система является следствием второй, а второй — следствием первой, то такие системы называются равносильными.

Укажем некоторые преобразования системы, в результате которых получаются системы, равносильные исходной.

1. Любое уравнение системы можно заменить равносильным ему уравнением.

2. Любое уравнение системы можно заменить уравнением, которое получается сложением данного с другой уравнением системы.

3. Значение неизвестного, найденное из некоторого уравнения системы, можно подставить в любое другое уравнение той же системы.

4. К системе можно добавить уравнение, являющегося следствием данной системы.

5. Если система содержит уравнение $f \cdot g = 0$, где функция $f$ и $g$ определяны на одном и том же множестве, то она равносильна совокупности двух системы, в одной из которых уравнение $f \cdot g = 0$ заменено уравнением $f = 0$, а в другой — уравнением $g = 0$.

Приступая к решению системы тригонометрических уравнений, целесообразно вначале проверить, нельзя ли неопределенно из какого-либо уравнения системы выразить одно из неизвестных через другие.

Задача 1 (МФТИ, 1983). Решите систему уравнений
$$\begin{cases} tg x + tg y = 1 - tg x \cdot tg y, \\ \sin 2y - \sqrt{2} \sin x = 1. \end{cases}$$

Решение е. Исподная система имеет смысл лишь в случае, когда определены функции $tg x$ и $tg y$, т. е. выполл-

47

найотся условия
$$\cos x \neq 0, \cos y \neq 0.$$ (3)

Рассмотрим первое уравнение. Естественно было бы разделить обе его части на 1 — тg x · tg y и воспользоваться формулой тангенса суммы. Тогда уравнение (1) можно было бы переписать в виде
$$\text{tg}(x + y) = 1;$$ (4)
но при этом мы можем потерять те решения системы (1), (2), для которых
$$1 - \text{tg} x \cdot \text{tg} y = 0.$$ (5)
Однако легко убедиться в том, что система (1), (2), (5) не имеет решения. В самом деле, если бы существовали решения этой системы, то из уравнения (1) следовало бы, что tg x + tg y = 0. Но тогда уравнение (5) прияло бы вид 1 + tg² y = 0, и следовательно, оно бы решений не имело.

Таким образом, исходная система при условии (3) равносильно системе (2), (4).

Из уравнения (4) находится x + y = π/4 + πn, т. е.
$$y = \pi/4 + \pi n - x, \ n \in \mathbb{Z}.$$ (6)
Тепер найденное для y выражение подставим в уравнение (2) исходной системы:
$$\sin(\pi/2 - 2x + 2\pi n) - \sqrt{2} \sin x = 1.$$
Полученное уравнение приводится к виду sin x (2 sin x + √2) = 0, откуда
a) sin x = 0, x = πm, m ∈ Z,
6) sin x = -√2/2,
x = (-1)^{k+1}π/4 + πk, k ∈ Z.
По формуле (6) определяем соответствующие значения y. Для серии a)
$$y = \pi/4 + \pi(n - m), \ n, m \in \mathbb{Z};$$ (7)
для серии 6)
$$y = \pi/4 - (-1)^{k+1}π/4 + π(n - k), \ n, k \in \mathbb{Z}.$$ (8)
Значения (x, y) из формулы (7) удовлетворяют условия (3). Для серии (8) требуется дополнительное исследование. Если sin x = -√2/2, то cos x ≠ 0, так что первое неравенство уравнения (3) зависит воиполнено. Второе неравенство cos y ≠ 0 выполняется не всегда.

Если k — четное число, т. е. k = 2p, где p ∈ Z, то по формуле (8) находится y = π/2 + π(n - 2p). Для этих значений y условие (3) не выполняется. Если же k — нечетное число, т. е. k = 2p - 1, где p ∈ Z, то y = π(n - 2p + 1) и условие (3) вы-
полено. Соответствующие значения x находится по формуле 6): x = -3π/4 + 2πp.
Ответ: (πm; π/4 + π(n - m)), (-3π/4 + 2πp; π(n - 2p + 1)), m, n, p ∈ Z.

Целочисленные параметры, входящие в запись решений системы, нельзя обозначать одной буквой. Это означает, что они обозначены принимать одинаковые значения, в то время как в действительности они принимают клегугодно цельные значения — одинаковые или разные.

В дальнейшем k, l, m, n, p, r, s, t, если не оговорено противное, принимают все целые значения.

Задача 2. Решите систему уравнений
$$\begin{cases} \sin x \cdot \cos y = -1/2, \\ \cos x \cdot \sin y = 1/2. \end{cases}$$ (9)

Решение. Сложив уравнения системы (9), а затем вычтя из второго уравнения первого, получим систему, равносильно системе (9):
$$\begin{cases} \sin(x + y) = 0, \\ \sin(y - x) = 1, \end{cases}$$

откуда последовательно находится
x + y = πn, y - x = π/2 + 2πk,
x = π(n/2 - k - 1/4),
y = π(n/2 + k + 1/4).

Ответ: (π(n/2 - k - 1/4); π(n/2 + k + 1/4)).

Так же, как система (9), можно решить любую систему вида
$$\begin{cases} \sin x \cdot \sin y = a, \\ \cos x \cdot \cos y = b. \end{cases}$$

К таким системам приводятся, например, системы
$$\begin{cases} \sin x \cdot \sin y = a, \\ \text{tg} x \cdot \text{tg} y = b, \\ \sin x \cdot \cos y = a, \\ \text{tg} x \cdot \text{ctg} y = b. \end{cases}$$

Если система содержит только две комбинации трионометрических функций либо приводится к такойой, то, обозначив эти комбинации функций за новые неизвестные, можновести исходную систему к алгебраической.

Задача 3. Решите систему уравнений
$$\begin{cases} \cos x - \sin x = 1 + \cos y - \sin y, \\ 3 \sin 2x - 2 \sin 2y = 3/4. \end{cases}$$ (10)

Решение. Воспользовемся тождеством
$$(\sin x - \cos x)^2 = 1 - \sin 2x$$ и обозначим

48

cos x - sin x = u, cos y - sin y = v;
(11)

тогда
sin 2x = 1 - u², sin 2y = 1 - v²,
и система (10) сведется к алгебраической системе
$$\begin{cases} u = 1 + v, \\ 3u^2 - 2v^2 = 1/4. \end{cases}$$

Система (12) имеет два решения:
$$u_1 = -9/2, v_1 = -11/2 \text{ и } u_2 = 1/2, v_2 = -1/2.$$
Рассмотрим вначале значения $u_1, v_1$. Возвращаясь к исходным переменным, по формулам (11) получаем:
$$\begin{cases} \cos x - \sin x = -9/2, \\ \cos y - \sin y = -11/2. \end{cases}$$

Но уже первое уравнение системы (13) решений не имеет, так как cos x - sin x = $\sqrt{2}$ cos $(x + \pi/4)$ $\geqslant -\sqrt{2} > -9/2$.

Следовательно, система (13) решений не имеет.

Рассмотрим теперь значения $u_2$ и $v_2$. Вновь по формулам (11) получим
$$\begin{cases} \cos x - \sin x = 1/2, \\ \cos y - \sin y = -1/2. \end{cases}$$

Для первого уравнения находим
$$\cos x \cdot 1/\sqrt{2} - \sin x \cdot 1/\sqrt{2} = 1/2\sqrt{2}, \cos(x + \pi/4) = 1/2\sqrt{2}, x + \pi/4 = \pm \arccos(1/2\sqrt{2}) + 2\pi n, x = -\pi/4 \pm \arccos(1/2\sqrt{2}) + 2\pi n.$$
Точно так же получаем
$$y = -\pi/4 \pm \arccos(-1/2\sqrt{2}) + 2\pi n.$$
Таким образом, найдем следующее решение исходной системы:
$$(-\pi/4 \pm \arccos(1/2\sqrt{2}) + 2\pi n; -\pi/4 \pm \arccos(-1/2\sqrt{2}) + 2\pi n)$$
(знаки выбираются независимо друг от друга).

В некоторых случаях система удается привести к виду
$$\begin{cases} \sin x = f(y), \\ \cos x = g(y), \end{cases}$$

откуда в силу основного трионометрического точекства $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ получаем уравнение $f^2(y) + g^2(y) = 1$, содержащей лишь одно неизвестное.

Если система приведена к виду
$$\begin{cases} \text{tg} x = f(y), \\ \text{ctg} x = g(y), \end{cases}$$

то неизвестное $x$ исключается переменным уравнения: tg $x \cdot \text{ctg} x = 1$, откуда $f(y) \cdot g(y) = 1$.

При таких способах решения необходимо внимательно следить за тем, чтобы не потерять решения и не прибрести посторонних решений.

Задача 4 (МФТИ, 1978). Решите систему уравнений
$$\begin{cases} 4 \sin x - 2 \sin y = 3, \\ 2 \cos x - \cos y = 0. \end{cases}$$

Решение. Систему (15) можно привести к виду (14). Следовательно, получим равносильную систему
$$\begin{cases} \sin x = 3/4 + 1/2 \cdot \sin y, \\ \cos x = 1/2 \cdot \cos y. \end{cases}$$

Возвода почленно уравнения системы (16) в квадрат и складывая, получаем уравнение, являющегося следствием системы (16):
$$1 = \frac{9}{16} + \frac{3}{4} \sin y + \frac{1}{4} \cos^2 y,$$
или
$$\sin y = 1/4,$$

откуда
$$y = (-1)^n \arcsin 1/4 + \pi n.$$
Из первого уравнения системы (16) с учетом (17) находим $x = 7/8$, $x = (-1)^m \arcsin 7/8 + \pi m.$

Поскольку при решении системы (15) могут появиться построение решения (использовалась операция возвления в квадрат), необходимо произвести отбор, подставив найденные значения (18), (19) во второе уравнение этой системы.

Легко видеть, что при четных $m$ и $n$ в формулах (18), (19) соответствуют значения cos $x$ и cos $y$ положительных, а при нечетных $m$ и $n$ эти значения отрицательны. Таким образом, |cos $x| = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{15}/8, |\cos y| = \sqrt{15}/4$, так что для выполнения второго уравнения системы (16) требуется только, чтобы значения cos $x$ и cos $y$ совпадали. Отсюда получаем
$$\begin{cases} x = \arcsin \frac{7}{8} + 2\pi k, \\ y = \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi l, \end{cases}$$

$$x = -\arcsin \frac{7}{8} + (2k + 1)\pi,$$
$$y = -\arcsin \frac{1}{4} + (2l + 1)\pi.$$

Обе полученные серии (20) можно объединить и ответ записать в следующем виде.

49

Ответ:

$$((-1)^p \arcsin \frac{7}{8} + \pi p),$$
$$((-1)^p \arcsin \frac{1}{4} + \pi (p + 2r)).$$

При решении тригонометрических систем часто бывают непросто сделать первый шаг, найти «ключи» к решению задачи. Какие-то общее рекомендации здесь даны нельзя. Можно лишь посоветовать стараться применять такие преобразования уравнения системы, которые приводят к появлению тригонометрических функций одного аргумента или хотя бы не увеличивают число функций с разными аргументами.

Задача 5 (МФТИ, 1982). Решите систему уравнения

$$\begin{cases} 3 \cos 3x = \sin (x + 2y), & (21) \\ 3 \sin (2x + y) = -\cos 3y. \end{cases}$$

Решение. Если выразить члены уравнения через синусы и косинусы аргументов $x$ и $y$, то получится довольно сложная система. Поэтому следует избрать другой способ решения.

Заметим, что сумма аргументов косинусов в уравнениях системы, равная $3x + 3y$, совпадает с суммой аргументов синусов. Учитывая это, переможим уравнения системы (21) «крест-накрест», т. е. умножим левую часть одного уравнения на правую часть другого. Получим уравнение $-\cos 3x \cos 3y = \sin (x + 2y) \sin (2x + y)$, (22) являющегося следствием системы (21).

Заметим в уравнения (22) произведение тригонометрических функций соответствующими суммами (разностями); получим после применения подобных cos $(x - y)$ + cos $(3x - 3y) = 0$, откуда 2 cos $(x - y) \cdot \cos (2x - 2y) = 0$. Это уравнение распадается на два уравнения:

$$\cos (x - y) = 0, \quad (23)$$
$$\cos (2x - 2y) = 0. \quad (24)$$

Следовательно, система (21) равна ссовокупности системы (21), (23) и (21), (24).

a) Из уравнения (23) следует, что $x = y + \pi/2 + \pi n$. (25)

Подставляя $x$ из (25) в систему (21), получаем:

$$3 \cos (3y + 3\pi/2 + 3\pi n) = \sin (3y + \pi/2 + \pi n), \quad 3 \sin (3y + \pi + 2\pi n) = -\cos 3y.$$

Оба уравнения этой системы приводятся к виду 3 sin $3y = \cos 3y$, откуда $y = \frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi m}{3}$. Из (25) находится соответствующие значения $x$.

6. Расмотрим теперь систему (21), (24). Из уравнения (24) находится $x = y + \pi/4 + \pi k/2$. Подставляя это значение в системе (21), получаем:

$$3 \cos (3y + 3\pi/4 + 3\pi k/2) = \sin (3y + \pi/4 + \pi k/2), \quad 3 \sin (3y + \pi/2 + \pi k) = -\cos 3y.$$

Далее воспользуемся формулами приведения. Из второго уравнения системы (26) следует, что $\cos 3y = 0$, т. е. $y = \pi/6 + \pi p/3$. Подставляя это значение в первое уравнение, получаем

$$3 \cos (\pi p + \pi/2 + 3\pi/4 + 3\pi k/2) = \sin (\pi p + 3\pi/4 + \pi k/2), \quad \text{откуда } (3(-1)^k + 1) \sin (3\pi/4 + \pi k/2) = 0.$$

Посленее равенство не выполняется ни при каких целях $k$, поэтому система (26) несовместна, и в случае 6) решений нет.

Ответ:

$$\left( \frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi m}{3} + \pi n; \frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi m}{3} \right).$$

Уражения

Решите системы уравнения:

1 (МФТИ, 1982).

$$\begin{cases} tg y - tg x = 1 + tg x \cdot tg y, \\ \cos 2 y + \sqrt{3} \cos 2x = -1. \end{cases}$$

2 (МФТИ, 1978).

$$\begin{cases} 6 \cos x + 4 \cos y = 5, \\ 3 \sin x + 2 \sin y = 0. \end{cases}$$

3 (МФТИ, 1982).

$$\begin{cases} 2 \cos (3x + y) = \sin (x - y), \\ 2 \sin (x + y) = \cos (3x - y). \end{cases}$$

4 (МФТИ, 1982).

$$\begin{cases} \sin (2x + y) + \sin (2x - y) = \sqrt{2} \cos y, \\ tg (x + \pi/8) + \cos y = tg^2 y. \end{cases}$$

5 (МФТИ, 1981).

$$\begin{cases} \cos 2y + 1/2 = (\cos y - 1/2) (1 + 2 \sin 2x), \\ \sin y (tg^3 x + ctg^3 x) = 3 ctg y. \end{cases}$$

6 (МФТИ, 1976).

$$\begin{cases} \sin^2 x + \cos y \cdot \sin x = \cos 2y, \\ \cos 2x + \sin 2y = \sin^2 y + 3 \cos y \cdot \sin x. \end{cases}$$

7 (МФТИ, 1978).

$$\begin{cases} \sqrt{1 + \sin x \cdot \sin y} = \cos x, \\ 2 \sin x \cdot ctg y + 1 = 0. \end{cases}$$

8 (МФТИ, 1986).

$$\begin{cases} tg x \cdot \sin y + 2 ctg x \cos y = \sqrt{5/2}, \\ 2 ctg x \cdot \sin y - tg x \cdot \cos y = \sqrt{5/2}. \end{cases}$$

9 (МФТИ, 1982), Найдите все решения системы уравнения

$$\begin{cases} tg x \cdot \sin y + 2 ctg x \cdot \cos y = \sqrt{5/2}, \\ 2 ctg x \cdot \sin y - tg x \cdot \cos y = \sqrt{5/2}. \end{cases}$$