XXI Всесоюзная олимпиада по физике

52

Второй день
8 класс
5. Положительные числа a, b, c, A, B, C удовлетворяют условияm a+A=b+B=c+C=k. Докажите, что
$$aB+bC+cA < k^2.$$
Д. Флаас
6.* В каждой клетке квадратной таблицы 1987×1987 написано число, не превысodiaщее по модулю 1. В любом квадрате 2×2 данной таблицы сумма чисел равна 0. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не превысходит 1987.
А. Меркурьев
7. Вершина B угла ABC лежит вне окружности, а луч BA и BC ее пересекают. Из точки K пересечения луча BA и окружности перпендикулярно биссектрисе угла проведена прямая, пересекающая окружность в точках K и P, а луч BC — в точке M. Докажите, что отрезок PM вдвое длине перпендикула, опущенного из центра окружности на биссектрису угла ABC.
С. Дужин
8.* Два игрока поочередно выписьают на доске натуральные числа, не превысodiaщие p. Правилами игры запрещается писать на доске делители уже выписанных чисел. Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход.
a) Выясните, что из игроков имеет выигрышную стратегию для p=10, и указывает ее.
6) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для p=1000.
Д. Фомин
9 класс
5. Дядька Черномор каждый вечер из 33 богатырей назначает на дежурство 9 или 10 по своему усмотрению. Через какое наименьшее число дней может оказаться, что каждий из богатырей выходил на дежурство одинаковое число раз?
В. Иблев
6.* На целочисленной решетке отмечено неупустое множество узлов. Кроме того, задан конечный набор неупустых векторов с целыми координатами. Известно, что если от любого отмещенного узла отложить все заданные векторы, то среди их концов будет больше отмещенных узлов, чем неотмещенных. Докажите, что отмещенных узлов бесконечного много.
Д. Флаас
7. Выпуклей p-угольник (p≥5) разрезан по всем диагоналям. Докажите, что среди получившихся при этом частей найдет часть разной площади.
А. Анджанс
8. Множество T₀ состоит из всех чисел вида (2^k)!, где k=0, 1, 2, …, 1987 множество T₀ получается добавленем к множеству T₀-1 всех чисел, представимых в виде суммы нескольких различных чисел из T₀-1. Докажите, что хотя одно натуральное число не принадлежит множеству T₁987.
С. Коняzin
10 класс
5. См. задачу 8 для 8 класса.
6.* График функции y=f(x), определяющий на всея числовой прямой, переходит к себя при повороте на угол π/2 вокруг начала координат.
a) Докажите, что уравнение f(x)=x имеетровно одно решение.
6) Приведите пример такой функции.
А. Клюшин
7. Все грани выпуклого многогранника являются треугольниками. Докажите, что каждое ребро этого многогранника можно покрасить в красный или синий цвет так, чтобы в它те из любой его вершины в любую другую можно было попасть, дивяясь только по красным ребрам, а также только по синим.
О. Ляшко
8. Докажите, что при любом натуральном значении n справедливо неравенство
$$2n+1 \geqslant (2n)^n+(2n-1)^n.$$
Ю. Нестренко

XXI Весоюзная олимпиада по физике
А. Р. ЗИЛЬВЕРМАН

В этом году заключительный этап Весоюзной олимпиады школьников по физике проходил в городе Таллине с 15 по 21 апреля. Торжественное открытие олимпиады состоялось 16 апреля, а уже на следующий день участники писали теоретический тур. Вот условия теоретических задач (как общено, часть этих задач опубликована в Заданнике «Кванта» в двух предыдуших номерах журнала):
8 класс

1. Маленький упругий мячок отпускают с высоты H=1 м над полом, а на его пути закреплют твердую пластину, от которой он открывает. Какая скорость будет у мячка в момент удара о пол? Как нужно расположить пластину, чтобы мячок ударился о пол как можно дальше от начальной точки? Чему равно это максимальное расстояние?
2. Папа Карло сделал для Буратино колпак из тонкойжести. Колпак имеет форму конуса высоты H=20 см с углом a=60° при вершине. Будет ли этот колпак держаться на голове у Буратино, если его голова — гладкий шар диаметром d=15 см?
3. Выполняя лабораторную работу, студент опустил в сосуд с водой кипятильник, включил его в сеть и стал каждые 3 минуты записывать температуру. Данные этого опыта таковы:
   $$25,2^\circ - 26,4^\circ - 27,6^\circ - 28,7^\circ - 29,7^\circ - 30,6^\circ - 31,5^\circ - 32,3^\circ - 33,1^\circ.$$
   Затем он охладил воду, положив в сосуд небольший металлический образец, и вновь

53

провел опыт. Вот результаты этого опыта:
$$22,6^\circ - 23,8^\circ - 25,0^\circ - 26,0^\circ - 27,0^\circ - 28,0^\circ - 28,9^\circ - 29,8^\circ - 30,6^\circ.$$
Определите по этим данным тепломкость образца. Напряжение сети $U=35$ В, ток через кипятильник $I=0,2$ А, температура в комнате $t=+20^\circ C$.

4. Для исследования солнечной батареи используется многопредельный волтметр (он состоит из чувствительной микроамперметра и набора добавочных резисторов). Подключив его к батарее на пределе 1 В, мы получаем показание $U_1=0,7$ В. Переключив волтметр на пределе 10 В, мы получим $U_2=2,6$ В. Что получилось бы на пределе 100 В? Известно, что при неизменном освещении солнечная батарея ведет себя как обычный источник, последовательно к которой подключен резистор большого сопротивления.

9 класс

1. Длинаная тонкая нить с грузом на конце переброшена через блок и привязана к носу модели лодки, которая может плыть по длиному прямолинейному каналу с водой (рис. 1). Лодку отpusкалот, а ее скорость (в см/c) записью как джуду секунду. К сожалению, сохранили только конец этой записи:
   $$5,65 - 6,44 - 6,96 - 7,31 - 7,54 - 7,70 - 7,80 - 7,86 - 7,91 - 7,94 - 7,96 - 7,97.$$
   Определите по этим данным скорость лодки через 0,1 секунд после того, как ее отпустили.

2. Если полностью открыть кран холодной воды, а кран горячей воды закрыт (рис. 2), то внана наполняется за $\tau_1=8$ мин, а если при этом на выходное отверстие насадить шланг с душем на конце, то это время увеличится до $\tau_2=14$ мин. Когда кран холодной воды закрыт, а кран горячей открыть полностью, время наполнения ванны $\tau_3=12$ мин. То же, но с душем на конце, дает $\tau_4=18$ мин. За какое время наполнить ванна, если полностью открыты оба крана? А если при этом насаден шланг с душем?

3. Тонкостьный сосуд непрерывно откачивается наносом, одноко из-за наличия микрорецепции в стенке сосуда в нем установлена неизменное давление $p_y=0,001$ мм рт. ст. Снаружи атмосферное давление нормальное — $p_0=760$ мм рт. ст., относительная влажность воздуха $\varphi=80\%$. Найдите давление паров воды в сосуде. Давление насыщенных паров воды при данной температуре $p_H=17,5$ мм рт. ст.

4. Для очистки воздуха от пыли, которая в обычных условиях оседает очень медленно, можно использовать тот факт, что пылиники заряжены. В первом опите стеклянный цилиндр (высотой $H=1$ м и радиусом основания $R=0,1$ м) с пыльным воздейством помещают в электрическое поле напряженногоство $E_1=1 \cdot 10^4$ В/m, направленное вдоль оси цилиндра. Через время $\tau=2$ мин все содержащаяся в цилиндре пыль осела на дно. Во втором опите вдоль оси цилиндра натягивают тонкую проволоку и соединяют ее с источником высокого напряжения. Известно, что в этом случае напряжение есть. Напряжение источника подбирают так, чтобы напряжение электрического поля у стенок цилиндра была, как и в первом опите, $E_1$. Считая пылиники одинаковыми, а зарыды пылиниок равными, определите время оседания всей пыли на стенки цилиндра во втором опите. Пыли в воздухе немного, так что объемным зарядом можно пребегнуть.

5. В схеме, приведенной на рисунке 3, амператор показывает $I_1=20$ мА. Если батареей $E_x$ включить наоборот, ток увеличится до $I_2=35$ мА. Какой ток потребит в исходной схеме, если лампочка замкнут накоротко? Вольтметрная характеристика лампочки приведена на рисунке 4.

10 класс

1. По одному из гипотез звездных образуют из механизмов среды (космическая пыль) путем скатания под действием gravитационных сил. Оцените время обработания звезд из гигантского сферического облака космической пыли плотности $\varphi=2 \cdot 10^{-20}$ г/cm$^3$. Можно считать, что при скатании частицы не обгоняют друг друга. Гравитационная постоянная $G=6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·m$^2$/кг$^2$.

2. В одном из научно-фантастических романов описана ситuation, когда фотонная ракета полностью потеряла скорость в окрестностях массивной звезды. Запас горючего достачен лишь для того, чтобы при однократном запуске двигателя выйти на круговую орбиту вокруг звезды. Но космонавтов это не устранает. Они применяют такой манер: за малое время расходют три четвертки горючего и раз-

54

гоняют корабль, переходя на орбиту, которая касается поверхности звезды. Затем они еще раз включают двигатель на короткое время. На каком расстоянии от центра звезды корабль находится в момент наcala манева, если горючего в обрез хватило для выхода из поля тяготения звезды? Радиус звезды $R$.

3. См. задачу 3 для 9 класса.

4. В схеме, приведенной на рисунке 5, замыкают ключ $K$. Найдите максимальный ток через катушку $L$. Найдите также максимальное напряжение на конденсатор $C_1$. Нейдельность элементов схемы можно преобразить.

5. Лампочку накапливания подключают к сети переменного напряжения (220 В, 50 Гц) последовательно с резистором сопротивлением $R=100$ Ом, а параллельно лампочке присоединяют диод. Считая диод идеальным, например график зависимости тока через лампочку от времени. Найдите мощность, выделяемого на лампочке. Волтамперная характеристика лампочки, снять на постоянном токе, приведена на рисунке 6.

При подборе задач методического комиссия обычно сначала сделать так, чтобы варient содержал задачи различных трудностей — от довольно простых до весма сложных. (Не всегда это в полной мере удается — меняя участков по поводу сложности задачи порой не совпадает с мнением комиссии, причем комиссия чаще склонна перевелиться сложность задач. Впрочем, бывают и наоборот.)

На этот раз, как и предполагалось, более сложными для участков оказались задачи 8.2, 9.2, 9.4, 10.1, 10.4 и 10.5. Относительно простыми были задачи 8.1, 8.4, 9.1, 9.5 и 10.3.

Порядок проведения олимпиды практических неизменлся по сравнению с прошлом годом, поэтому мы не будем подробно описывать работу жюри (процесь об этом можно в 11 номере «Квата» за прошленный год).

В воскресеень 19 апреля состоялся экспериментальный тур. Участник был предложен задачи, подготовленные хозяйами олимпиды — учеными Эстонии. Хочется отметить две из них, не требующие сложного оборудования. Их можно повторить не только в физическом кабинете, но и дома.

Первую делали восьмиклассики. Им были данные вырезанные из листа металла неправильные многоугольники, и нужно было без весов определить отношение их масс. Ползоваться можно было линейкой (деревянной), бумагой и карандашом. Попробуйте это сделать сами. Любопытно, что точность можно получить очень хорошо — до 1—2 %.

Вторая задача была предложена девятиклассикам. Довольно широко известна задача о длиной ввервеке, переброшенной через блок и сложенной бухтами по обе стороны от блока на подставках, расположенных на различных высотах. В этой задаче требуется определить скорость установления «переtekания» ввервеки через блок. Экспериментаторам же было предложено определить не только эту скорость (и зависимости ее от перепада высот), но и минимальную длину ввервеки, при которой движение установится, и время установки. Если вы будете делать работу самостояльно, то возьмите тонкую белую ввервеку длиной 5—10 метров, блок не обязательен — стандартный стержень вполнение его заменит, если трение не велико. Самое интересное в этой задаче — объяснить большее расхождение между теоретическими выведенными ответом $v = \sqrt{gH}$ и результатами эксперимента.

Кроме решения задач теоретического и экспериментального туров, участник был предложен задачи, подготовленные хозяйами олимпиды — учеными Эстонии. Хочется отметить две из них, не требующие сложного оборудования. Их можно повторить не только в физическом кабинете, но и дома.

Принок призеров олимпиды, получивших дипломы I, II и III степени, вы можете прочесть в этом номере жюри. Но призы получили не только они — жюри призудило также немало специальных признаков. По давней традиции приз получил участок олимпиды, прибывающий из самой отделенной (от Таллина) точки нашей страны — Э. Erмолов из Сахалинской области. Специальный приз получил и самый