Призёры XXI Всесоюзной олимпиады школьников

55

молодой из участников — В. Ким из города Ангрен. Было еще много призов, среди которых отметим специальный приз именя академика И. К. Кикона — его получил семиклассик из города Березняки С. Шинкович, занявший I место среди воьмиклассников. Еще один специальный приз — подшивку журнала «Квант» за 1986 год с авторфамми членов редколлегии — получил самый молодой среди участников-хозяев олимпiadы Л. Тоомет из города Тарту.

Мы желаем успехов всем участникам XXI Всесоюзной олимпiadы школьников по физике.

Призеры
XXI Всесоюзной олимпiadы ШКОЛЬНИКОВ

Математика
Дипломы I степени
по 8 классам получили
Виро А. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Иванов Д. (Москва, с. ii. № 57),
Иванов С. (Ленинград, с. ii. № 533);

по 9 классам —
Берлов С. (Ленинград, с. ii. № 239),
Румынкин Д. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Хохлов Ю. (Ленинград, с. ii. № 30);

по 10 классам —
Апситис К. (Рига, ФМШ № 1),
Борисов Л. (Минск, с. ii. № 19),
Каринский А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Озолс Д. (Рига, ФМШ № 1),
Черных А. (Краснодар, с. ii. № 40).

Дипломы II степени
по 8 классам получили
Гольдер В. (Кишинев, с. ii. № 40),
Дубнов В. (Минск, с. ii. № 107),
Звайзне В. (п/o Зелтыни Алуксенского района ЛатвССР, с. ii. № 1),
Кулик А. (Киев, с. ii. № 145),
Радулин В. (Челябинск, с. ii. № 127),
Розинская М. (Ленинград, с. ii. № 344),
Семенцов В. (Смоленск, с. ii. № 26),
Симановские Р. (Рига, ФМШ № 1),
Скопенков А. (Саратов, с. ii. № 13);

по 9 классам —
Анисов С. (Харьков, с. ii. № 142),
Баран А. (Минск, с. ii. № 6),
Валиллин М. (Казань, с. ii. № 94),
Гороховский А. (Киев, с. ii. № 79),
Гравит В. (Северодвинск, с. ii. № 27),
Грынцев Р. (Львов, с. ii. № 62),
Жарков И. (Свердловск, с. ii. № 130),
Кокорев И. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Никоноров Ю. (с. ii. им. Муратбаева с. Михайловка Джамбульской области КазССР),
Пелевин О. (Кострома, с. ii. № 32),
Процак В. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ),
Слитинский В. (Киев, с. ii. № 206),
Туляков Д. (Жданов, с. ii. № 7),

Филонов Н. (Ленинград, с. ii. № 30),
Христенко О. (Караганда, с. ii. № 63);

по 10 классам —
Борисов А. (Минск, с. ii. № 19),
Гринберг М. (Харьков, с. ii. № 27),
Дыниников И. (Жуковский, с. ii. № 1),
Павлов С. (Черновцы, с. ii. № 4),
Пухов И. (Москва, с. ii. № 57),
Шанью Ю. (Краснодар, с. ii. № 10).

Дипломы III степени
по 8 классам получили
Бачурин А. (Степлитамак, с. ii. № 2),
Вутевина С. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ),
Вержбицкий П. (Устинов, с. ii. № 11),
Верценко М. (Армавир, с. ii. № 12),
Доброва Д. (Абакан, с. ii. № 20),
Калустов Г. (Ашхабад, с. ii. № 15),
Кожевников А. (Калуга, с. ii. № 24),
Лаба М. (Львов, с. ii. № 79),
Лапуста Н. (Терасполь, с. ii. № 3),
Межиров А. (Калинин, с. ii. № 37),
Подобрнее А. (Волгоград, с. ii. № 31),
Сапрыкин А. (Новосибирск, с. ii. № 110),
Хасидовский М. (Ташкент, с. ii. № 110),
Яконский В. (с. ii. с. Бабин Гошанского района Ровенской области);

по 9 классам —
Вессолцун М. (Киров, с. ii. № 30),
Вайвадс А. (Рига, ФМШ № 1),
Варшавский Я. (Харьков, с. ii. № 27),
Вологодский В. (Омск, с. ii. № 91),
Вольфович Л. (Бельцы, с. ii. № 16),
Мицейките Р. (Вильников, с. ii. № 41),
Мороз В. (Гродно, с. ii. № 1),
Степанячи А. (Ереван, ФМШ при ErГУ),
Сарканс (Алуксне, с. ii. № 1),
Терехов А. (Алма-Ата, РФМШ);

по 10 классам —
Виндер И. (Ленинград, с. ii. № 239),
Когон Л. (Новокузнецк, с. ii. № 11),
Мельцер А. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Меркулов В. (Куйбышев, с. ii. № 11),
Пушня В. (Харьков, с. ii. № 27),
Райтумс И. (Рига, ФМШ № 1),
Смирнов С. (Ленинград, с. ii. № 239),
Стыркас К. (п. Черноголовка Московской области, с. ii. № 82).

Физика
Дипломы I степени
по 8 классам получили
Шинкевич С. (Березники, с. ii. № 3);
по 9 классам —
Головин Д. (Тамбов, с. ii. № 29),

56

I Весоюзная олимпиада школьников по информанике

(Начало см. на с. 30)

I Международная олимпиада по программированию

Братическа, 23—30 августа 1987 г.

1 тур

Задчаа 1 (СССР). Для натуральных чисел X и Y будем говорить, что X входит в Y, если двойную запись X можно получить из двойной записи Y вычеркиванием нулевого, единичного или большого количества цифр. (Например: X=1010 входит в Y=1001100). Постройте алгоритм, который для двух данных натуральных чисел A и B найдет максимальное число C, входяще как в A, так и в B.

Задчаа 2 (ЧССР). Даны п карточек, занумеранных числами 1, 2, 3, …, п (каждый номер встреется только один раз). Постройте алгоритм, который для произвольной последовательности A₁, A₂, A₃, …, Aₙ из этих карточек найдет наиболее число перестановок, необходимых для того, чтобы расположить карточки в порядке возрастания их номеров. Под перестановкой понимается единичный объем местами любых двух карточек. Пример: Для последовательности 1, 5, 3, 2, 4 необходимо две перестановки: № 5 и № 2, а затем № 4 и № 5, после чего получается упорядоченная последовательность 1, 2, 3, 4, 5.

2 тур

Задчаа 3 (НРВ). Постройте алгоритм, который распределяет первые N² натуральных чисел (N>2) в N группе так, что одновременно выполняется следующие три условия:

1. каждая группа содержитровно N чисел;
2. каждое число принадлежит только одной группе;
3. сумма чисел в каждой группе одинаковая для всех групп.

Задчаа 4 (ЧССР). Расстоянием следующую игру. Для заданного фиксированного натурального числа N>1 игрок A выбирает натуральное число X, не превозходимое N. Цель игрок B — угадать число X при помощи вопросов вида «Число X больше или равно K?», где K — некоторое натуральное число. На каждый вопрос игрок B игрок A obtuesет число и не меняет числа X. Игрок B плитит игрок A за каждый ответ: 2 руб. за ответ «ДА» и 1 руб. за «НЕТ». Определите для данного N наименьшую сумму P(N), достаточно для гарантийного уgradывания любого числа X от 1 до N. Постройте алгоритм, по которым игрок B задacts вопросы таким образом, что угадает число X и при этом запалит не более P(N) рублей (т. е. алгоритм, который определяет значения K в задаваемых вопросах).

Р. М. Шакиров, Ученыый секретарь секции по основам информаники и вычислительной техники Ученого методического совета при Министерстве просвещения СССР.

57

«Все», «некоторые» и отрицание

1. Есть хотя бы один белый шар.
2. Все шары — белые.
3. Все шары — красные.
4. Некоторые равноведенные треугольники не являются прямолиными.
5. Некоторые ученики класса не были на собрании.
6. Ни одной девочки не были на собрании.
7. Некоторые углы данного шестиугольника — прямые или остые.
8. По крайней мере для одного $x$ из $A x^2$ не превыходит 4.
9. Все люди — не детей.
10. Для всех $x$ из $A x^2 - 2x + 1 \neq 0$.
11. Некоторые мужчины не выше 2-х метров.
12. Некоторые простые числа четны.
13. По крайней мере для одного простого числа $p$ число $2^p - 1$ не является простым.
14. Неверно. Может быть один белый шар, а остальные — сине.
15. Верно.
16. Чтобы наверняка попался белый шар, надо вынуть, по крайней мере 20 шаров. Меньшего числа может не хватить, либо первыми могут быть вынуты красные и черные шары — их 19. Чтобы наверняка попался шары всех трех цветов, надо вынуть как минимум 22 шара; 21 может нахватить, если первыми вынуты все белые и черные шары; их как раз 21.
17. Надо вызвать 31 человек. Меньше нельзя — может служиться, что к доске вынут лишь треугольники и хорошего (их $10 + 20 = 30$) и каждый ответ не более, чем на 4. Если же вызвать 31 человек, то, по крайней мере, один из них оказывается отличником и ответит на 5.

Решение систем тригонометрических уравнений

1. $(-5\pi/12 + \pi k; -\pi/6 + \pi n)$.

2. $(\pm \arccos \frac{3}{4} + 2\pi k; \mp \arccos \frac{1}{8} + 2\pi n)$.

3. $(\pi/4 + \pi k/2; \pi/4 + \pi k/2 + \arctg 2 + \pi n)$.

4. $(\pi/8 + \pi k; \pi + 2\pi n), (\pi/8 + \pi k; \pm \arccos \frac{\sqrt{5} - 1}{2} + 2\pi n)$.

5. $(\pi/4 + \pi k; \pm \pi/3 + 2\pi l)$,
   $((-1)^{m/2} \sin \sqrt{\frac{2}{3}} + \pi m/2; \pm \arccos \sqrt{\frac{2}{3}} + 2\pi n),$ $((-1)^{p+1} \frac{1}{2} \sin \sqrt{\frac{2}{3}} + \pi p/2; \pm (\pi - \arccos \sqrt{\frac{2}{3}}) + 2\pi q)$.

6. $((-1)^{n+k+1} \pi/4 + \pi k; -\pi/4 + \pi n),$ $((-1)^{n+k} \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} + \pi k; \arctg \frac{1}{2} + \pi n)$.

7. $(\pi(6n+1)/3; \pi(6m-1)/3),$ $(\pi(6n-1)/3; \pi(6m+1)/3)$.

8. $(\pm \pi/24 + \pi n/4 + 2\pi k; \pm \pi/48 + \pi n/8).$ (Одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки.)

9. $(5\pi/4; \arccos \frac{1}{\sqrt{10}}),$ $(\pi + \arctg 2; \pi - \arccos \frac{1}{\sqrt{10}})$.

XXI Весоюзная олимпиада по математике

8 класс

1. Указание. Воспользовитесь тем, что $x_1 + y_1 = x_2 + y_2 = ... = x_{10} + y_{10} = 9$, причем $x_1 + x_2 + ... + x_{10} = y_1 + y_2 + ... + y_{10}$.
2. Ответ: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Указание. Если $x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_6$ — массей гирь, то каждая масса, которую можно уравновести с помощью этих гирь, записывается в виде $\varepsilon_1 x_1 + \varepsilon_2 x_2 + ... + \varepsilon_6 x_6$, где $\varepsilon_i = 0,1$ и не все $\varepsilon_i = 0$. Таких сумм всего 63. Поэтому все они должны быть различаны. Ясно, что $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 4$. Пусть доказано, что $x_k = 2^{k-1}$, тогда наиболее масса, уравновешивающая с помощью гирь $x_1, ..., x_{10}$, равна $x_1 + x_2 + ... + x_4 = 2^{k-1}$. Поэтому $x_{k+1} = 2^k$.
3. Пусть $A_1 A_2 A_3 \dots A_7$ — данный семиугольник, $B$ — точка пересечения прямых $A_1 A_2$ и $A_3 A_4$, $A_1 A_2 = x$, $A_1 A_3 = y$, $A_1 A_4 = z$. Треугольник $BA_3 A_4$ — равноведенный $(\angle A_1 BA_3 = \angle BA_3 A_4 = 3\pi/7)$, а треугольники $A_2 BA_3$ и $A_1 BA_4$ подобны $(A_2 A_3 \parallel A_1 A_4)$. Отсюда сразу получаем, что $\frac{y - x}{y} = \frac{x}{z}$, или $\frac{1}{x} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$.
4. a) Ответ: 12 выстрелов. Решение.e. В квадрате $7 \times 7$ корабль может стать в одной из 12 позиций, показанных на рисунке 1, поэтому необходимо сделать не менее 12 выстрелов. На рисунке 2 показано, что 12 выстрелов достаточно.

58

0. Ответ: 20 выстрелов. Указание 3, 20 выстрелов достаточно. С другой стороны, так как в квадрате $7 \times 7$ можно без наложений расположить четыре прямогольника размером $3 \times 4$ (см. рис. 1), достаточно доказать, что в квадратной прямогольник необходимо сделать по крайней мере 5 выстрелов.

5. Решение следует из равенства
   $$k^3 = (a + A)(b + B)(c + C) = abc + ABC + k(aB + bC + cA).$$

6. См. решение задачи M1056 («Квант», 1987, № 12).

7. Пусть $L$ — точка пересечения отрезка $KP$ с биссертисой угла $ABC$ (рис. 4). Очевидно, что $KL = LM$. Обозначим длину перпендикуляра, опущенного из центра окружности на биссертису угла $ABC$, через $d$. Параллельно этой биссертисе и на таком же расстоянии от центра, но по другую сторону от него, проведем прямую $l$ и пусть $N$ — точка пересечения с $KP$. Тогда $NP = KL = LM$ и $PM = LN = 2d$. Если лучи $BA$ и $BC$ помещать местами, получится картина, немного отличная от рисунка 6. Мы рекомендуем разобраться этот случай самостоятельно.

8. См. решение задачи M1057 («Квант», 1987, № 12).

9 класс

1. Указание. Пусть $a_k = 1^{1987} + 2^{1987} + \dots + n^{1987}$. Тогда $2a_n = 2 + (2^{1987} + n^{1987}) + \dots + (n^{1987} + 2^{1987}) = 2 + b_n$, но $b_n$ делится на $n + 2$.

2. Ответ: 11 фигур. В каждом квадрате $2 \times 2$ должно быть покрыто по крайней мере две клетки. Разбивая квадрат $8 \times 8$ на 16 квадратов $2 \times 2$, получаем, что надо покрыть по крайней мере $2 \times 16 = 32$ клетки, для чего понадобится по крайней мере 11 фигур. Требуем размещение 11 фигур в квадрате $8 \times 8$, показано на рисунке 5.

3. Пусть $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ — точки пересечения продолженной сторон с данными прямыми. Тогда (рис. 6) $\frac{c}{AA_2} = \frac{b}{AA_1} = \sin \alpha$. Это значит, что $\triangle AA_2A_1 \sim \triangle ABC$, причем $A_1A_2 = \frac{a}{\sin \alpha} = 2R$, где $R$ — радиус окружности, описанной около $ABC$. Аналогично, $C_1C_2 = B_1B_2 = 2R$, так что трапеция $A_1A_2C_1C_2$ равноведренная. Поскольку $\angle A_2B_1C_2 = \angle A_2C_1C_2 = \angle A_1B_2C_1 = \angle A_1A_2C_1 = \beta$, точки $B_1$ и $B_2$ лежат на окружности, описанной около трапеция $A_1A_2C_1C_2$.

4. См. решение задачи M1060 («Квант», 1987, № 12).

5. Ответ: 7 дней. Пусть $k$ — число дней, когда держили 9 богатырей, а $l$ — число дней, когда держили 10 богатырей, и каждый из богатырей держил $m$ раз. Тогда $9k + 10l = 33m$. При $m = 1$ это уравнение решений не имеет, а при $m = 2$ имеет единственное решение $k = 4$, $l = 3$. Итак, $k + l \geq 7$. Заметим, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ означает, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности решения $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация деятельности $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3$ indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что организация activities $k = 4$, $l = 3 indicates, что организация activities$k = 4$,$l = 3 indicates, что направления на основе.

Pearson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson, Patterson

60

где $a_i \geq 0$, при $x = \frac{1}{2n}$ следует, что
$$(1 + x)^n + (1 - x)^n - 2nx = 2a_5x^3 + 2a_5x^5 + \dots \geq 0.$$

Калейдоскоп «Кванта»
(см. «Квант» № 10)
Головоломки

1. См. рис. 11.
2. См. рис. 12 и 13.

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 10)

1. Соединним две соседние вершины звезды, на пример $A$ и $E$ (рис. 14). Так как у треугольника $AME$ и $BMD$ углы при вершине $M$ равны, сумма углов при вершинах $B$ и $D$ треугольника $BMD$ равна сумме углов при вершинах $A$ и $E$ треугольника $AME$; но тогда сумма углов при вершинах звезды равна сумме углов треугольника $ACE$, т. е. $180^\circ$.
2. Таких чисел два: 41312432 и 23421314.
3. Решение, единственное с точностью до симметрии, изображено на рисунке 15. Сначала определяется, что в центральных кружках стояят числа 1 и 8, так как они соединены с 6 кружками каждой; затем однозначно определяется положения чисел 2 и 7; затем — числа 3 и всех остальных.
4. Части идут точно, но минутная стрелка плохо закреплена на своей оси. Она может свободно отклоняться от правильного положения на $\pm 2$ минуты. Части высят на стереи и под действием силы тяжестей стрелка располагается ниже своего нормального положения. В правой части циферблата это приводит к опережению на две минуты в левом

Рис. 11.

Рис. 14.

Рис. 15.

Рис. 16.

вой — к отставанию. Нужно закрепить минутную стрелку.
5. Если проведится через выбранную точку еще три прямые, параллельные сторонам треугольника, то образуют пары равных разноветных треугольников (рис. 16).

XIII Всероссийская олимпиада
школьников
(см. «Квант», № 10)

Математика
8 класс

1. Ответ: (2; 14), (0; -20), (18; -2), (-16; -4). Указание е. Данное уравнение равносильно уравнению $(x - 1)(y + 3) = 17$, поэтому $x - 1 = \pm 1$, $y + 3 = \pm 1$.
2. Указание е. Достаточно рассмотреть множество $M$, являющееся объединением трех отрезков единчной длины: $\Delta_1 = [a_1; b_1]$, $\Delta_2 = [a_2; b_2]$, и $\Delta_3 = [a_3; b_3]$. Если точки $x$ и $y$ принадлежат какому-нибудь из этих отрезков $[a_i, b_i]$, то и точка $(x + y)/2$ тоже принадлежит этому отрезку, если же точка $x \in [a_i, b_i]$, а $y \in [a_k, b_k]$, то
   $$\frac{a_i + a_k}{2} \leq \frac{x + y}{2} \leq \frac{b_i + b_k}{2}$$

и отрезок
$$\Delta_{ik} = \left[ \frac{a_i + a_k}{2}; \frac{b_i + b_k}{2} \right]$$

имеет единную длину. Поэтому все множество $M$ покрывается шестю отрезками $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$, $\Delta_{12}$, $\Delta_{13}$, $\Delta_{23}$.
Если $M = [1; 2] \cup [5; 6] \cup [17; 18]$, то $M'$ покрывается в точности шестю отрезками [1; 2], [3; 4], [5; 6], [9; 10], [11; 12], [17; 18].

3. Четыеугольник $BPMR$ влисан в окружность, поэтому $\angle BPM + \angle BRM = 180^\circ$ (рис. 17). Отсюда и из равенства $\angle BPM + \angle MPA = 180^\circ$ следует, что $\angle BRM = \angle MPA$. Аналогично положаем, что $\angle CRM = \angle MQA$. Так как четыеугольник $APMQ$ влисан в окружность, то $\angle MPA + \angle MQA = 180^\circ$. Следовательно, $\angle BRM + \angle CRM = 180^\circ$ и, значит, точки $B$, $C$ и $R$ лежат на одной прямой.
   Заметание е. Утверждение задачи остается верным и при других расположениях окружности и выборе точки $A$ (разберете возможность слияния самостоятельного).

4. Каждая цифра встреется в записи данной десятичной дроби либо конечное, либо бесконечное количество раз. Возьмем все цифры, встроем

64

Внимание
наших читателей

Приимается подпись на фундаментальное научно-справочное издание в пяту томах «Физическая энциклопедия» (издательство «Советская энциклопедия»).

Энциклопедия расчитана на научных сотрудников, инженеров, преподавателей и аспирантов, работающих в различных областях физики; может быть полезной студентам старших курсов физических и инженерно-физических факультетов университетов и отузов, учительм физики средней школы, его заинтересуются также астрономы, химики, биологии, математики. 6000 разположенных в алфавитном порядке статей содержат обозоры по отдельным разделам физики, материалов о важнейших физических теории, физических законах, явлениях и понятия, основных объектах исследований в физике, методах исследований, важнейших установках, приборах, единицах физических величины.

Главный редактор — один из основоположников квантовой электроники, луреат Ленинской, Государственный и Нобелевской премии, дважды Герой Социалистического Труда академик А. М. Прожоров.
Первый том выйдет в 1988 году.
Орентировочная стоимость том 7 руб. 80 коп.

Подписка приимается книжными магазинами, распространяющими подпись издания.
При подпске внесится задаток 5 руб., который зачитывается при получении последнего тома.

Главный редактор — академик Ю. А. Осипьян

Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Заместители главного редактора:
В. Н. Боровищки, А. А. Варламов,
В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев

Редакционная коллекция:
А. А. Абриковов, М. И. Башмаков,
В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский,
А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов,
Н. В. Васильев, С. М. Воронин, Б. В. Гнеденко,
В. Л. Гутенхayer, Н. П. Долбилин,
В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков,
А. Р. Зильберман, С. М. Козел,
С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, А. А. Леонович,
С. П. Новиков, Т. С. Петрова, М. К. Потапов,
В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов,
А. П. Савин, Я. А. Смородинский,
А. В. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет:
А. М. Балдин, С. Т. Беляев, Е. П. Велихов,
И. Я. Верченko, В. В. Возdvijженский,
Г. В. Дорофеев, Н. А. Erpmолаева,
А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, В. А. Кириллин,
Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов,
В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикеева,
Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko,
И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев,
В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовки:
А. Н. Виленкин, А. А. Егоров, И. Н. Клумова,
Т. С. Петрова, А. Л. Рябев, А. Б. Сосинский,
В. А. Тихомирова

Номер оформления:
М. В. Дубах, С. В. Иванов, Д. А. Крымов,
С. Ф. Лухин, Э. В. Назаров, П. И. Чернуский,
В. В. Юдин

Заведующая редакцией Л. В. Чернова
Редактор отдела художественного оформления
С. В. Иванов
Художественный редактор Т. М. Макарова
Корректор Н. В. Румянцева

Сдано в набор 17.09.87. Подписано к печати 21.10.87.
Т-19435 Бумага 70×108/16. Печать офсетная
Усл. кр.-от. 23,8. Усл. печ. л. 5,6. Уч.-изд. л. 7,30
Тираж 200 802 экз. Цена 40 коп. Заказ 2589

Орделена Трудового Красного Заменини
Чеховский полиграфический комбинат
ВО «Соозполиграфиром»
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли
142300, г. Чехов Московской области

103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Кваит»
тел. 250-33-54