Удивительное равенство

Квант 1989, №7 с. 17-21 Тег DQSY

УДИВИТЕЛЬНОЕ РАВЕНСТВО

В. Д. КОТЛЯР

Возможно, совпадение… Чему равно л — отношение длины окружности к ее диаметру? Читатель «Кванта» впраve обидется на такой вопрос. Конечно же л ≈ 3,14; можно и точнее: л ≈ 3,14159; можно и еще точнее… Значит, π² ≈ 9,87. А чему равно g — ускорение свободного падения? Кто же этого не знает — какый, изучавший физик, скажет, что g ≈ 9,81 m/c². Значит:

«Ну и что? — пожмет плечами читатель.— Мало ли на свете совпадений! Да и совпадение-то не настоящее: разница между π² и g не так уж мала — около 0,06.»

«Да тут вообще говорить не о чем,— вступит в разговор другой читатель,— само равенство π² ≈ g не имеет никакого смысла, потому что влевой части стонут число, а в правой — величины, имеющая размерность. Если изменять расстояние не в метрах, а, например, в сантиметрах, то g ≈ 981 cm/c². А в Англии и вовсе: g ≈ 32,2 фут/c². Так что ничего обещено между π² и g нет!»

И все-tаки давайте попробу разобраться, какова природагадаочного равенства π² ≈ g. Для этого, как правило заметил второй читатель, нужно разобраться, в каких единицах измеряется физическая величины.

Чем изменять длину? С давних времен и до наших дней люди приходится производить измерения — определять длину, время, вес, скорость и другие величины. И издавна стоял вопрос о единих измерения. Каждый знает, конечно, что в международной системе единиц (СИ) основными являются единицы длины — метр, массы — kilogramм, времени — секунд. Единцы хороше, мы к ним привыкли, без них не мыслим себе повседневной жизни. Приходя в магазин, мы просим ответить 2 килюграма круты, выходя на дорогку стадона, пробегем 100 метров, от звонка до звонка на уроке проходит 45 минут, или 2700 секунд. Время нам отсутствует часы, для определения массы нужны весы, расстояние измеряем линейкой с делениями или рулеткой. А если под рукой нет рулетки? Как изменить длину в этом случае? Хорошо было бы, если бы единица измерения всегда была под руками,— захотел и изготовил себе свой собственный «этаilon». Так obstит дело с измерением углов! Для открывания угла величины в 42° мы пользовемся трансортиром, но этаlon углов «1 градус» не нужен. Если завтра на Земле исчезнут все углы и трансортиры, мы легко сможем восстановить эту единицу, просто разделив полный угол на 360 равных частей. Желательно и для других величины иметь воспроизводимые единицы измерения. Когда стихийно возникали первые системы мер, эта воспроизводимость была заложена в них с самого начала,— единицы длины связьали, например, с размерами отдельных частей человекаского тела. Так возникли «сажень» — расстояние между концами вытянутых в стороны рук взрослого человека («сажень мерная» ≈ 176 см) и «локоть», названное которой говорит само за себя,— он равен расстоянию от локтя до вытянутых пальцев рук. От англиского слова «foot» — «ступия» — берет начало единиц длины «фут», о котором мы уже упоминали

(фут равен 30,48 см). «Дюйм» — ширина большого пальца у его основания. Список можно было бы и продолжить, но уже и так ясно — наши предки связали сравнительно небольшие единицы длины с размерами отдельных частей тела.

Так веденные единицы длины имели оченьные неудобства. Главное из них состоит в том, что локти-то у разных людей разные, ступни тоже не одинаковые, а единца измерения требуется одна! Поэтому возникла необходимость иметь эталон — стандартные фут или сахень, — с которым можно было бы сравнить другие эталоны, не только главные, как тот — основной и единственный. Однако такой эталон — веще не слишком хорошая. Сама процедура последовательной сверки с эталоном достаточно трудоемка и сложна. Кроме того, эталон необходимо содержать при строгого фиксированных условий — определенной температуре, влаж-

ти в Индию вокруг Африки важной задачей стало как можно более точное определение местоположения корабля на море. У некоторых ученых возникла замечательная идея — создать единицу длины без этаона! Найти такого единию для всех величины, которое можно воспроизвести в любом месте и в любое время с возможно меньшим количеством простых мате- рialов и приборов! Сделать эту единицу общей для различных стран и народов! Одним из ученых, предложивших новую единицу длины, был великий нидерландский физик, механик и математик ХристIAN Гюйгенс.

Его предложение состоит воотвて чем. Изготовим матэник, т. е. подвесим на нити небольшое тяжелое тело. Подберем длину нити l так, чтобы матэник совершал одно колебаниеровно за 2 секунды. (Это значит, что если ответти тело от положения равновесия и отпустить, то через 1 секунду оно займет симметричное, а еще через секунду вернется в исходное положение.) Так вот, Гюйгенс предложил за единицу длины принять длину нити l.

Отступление о математическом матэнике и ХристIAN Гюйгенс. Математический матэник — это материал точка, подвешенная на неевесом нерастяжимой нити. Математический матэник — это абстракция, ведь в

реальном мире не бывают ни матеріальных точек, ни неевесомых нитей. Но эта абстракция достаточно описывает свойств реальных предметов.

В курсе физики 10 класса выводится замечательная формула

$T = 2\pi \sqrt{l/g},$

выражающая период малых колебаний математического матрика $T$ через длину нити $l$ . Эта формула не может не быть связана с нашим загадочным равенством $\pi^2 \approx g$ , ведь в ней участвуют те же действующие лица: $\pi$ и $g$ …

Предположим, что предложение Гойгенаса о выборе единцы длины было бы принято. Тогда при длине $l=1$ период $T=2$ . Подставляя эти значения в формулу, получим: $2 = 2\pi \sqrt{1/g}$ , или $\pi^2=g$ . Наше загадочное равенство оказывась в точности верным, причем верным по определению единцы длины! Но предложение Гойгенаса было ответнуто и единца длины была установлена иначе. Как это произшло и чем все-tаки объяснить равенство $\pi^2 \approx g$ , мы рассакjem в следующем разделе. А сейчас — несколько слов о самом Христине Гойгенсе.

Он родился 14 апреля 1629 года в семье известного голландского политического дейтеля Константина Гойгенаса. Время было бурое — лишь недавно Нидерланды освободились от господства католической церкви и испанского короля. Юный Христан получил хорошее домашнее образование, в 1645 году поступил в Лейденский университет. После завершения образования он занимается научной работой, сначала в Голландии, а затем в Парижской Академии наук. В конце жизни Гойгенс возвращается в родную Голландию. Он умирает 8 июля 1695 года.

И в течение этих десятилетий — настоящий ливень работ, результатов, открытий. Многие из них — подлинные шеедевры, ставшие классной науки. Гойгенс открыл колюцо Сатурна, разработал теории удара упругих тел (см. «Квант» № 9 за 1988 год), вывед формулу линзы, предложил волновую теорию света, ввел и исследовал развертки кривых — эвольвенты. Гойгенс был не только ученым, но и замечательным мастером. Он шлифовал линзы, изготовивал и проектировал самые большие для своего времени телекскопы, под его руководством был сооружен планетарий. И всего жизнь его интересовали часы. В 1673 году вышла книга Гойгенаса «Маятниковые часы». В этом труде собраны результаты, полученные ученым на протяжении многих лет. Идея матниковых часов принадлежала Галилею, но Гойгенс довел эту идею до практического осуществления — он изготовил часы, в которых последовательные равные промежутки времени отмериваются колебаниями матрика. Именно Гойгенс открыл формулу для периода колебаний матрика с небольшой амплитудой (для колебаний с большим размером период $T$ уже зависит от амплитуды).

И наконец появился метр… Но вернемся к единце длины, предложенной Гойгенсом. Ее недостатком оказалось что ускорение свободного падения $g$ изменяется на Земле от места к месту. Еще в бытность своего в Париже Гойгенс познакомился с Рише — молодым сотрудником Академии наук, взятым для помощи академикам в опытах и наблюдениях. Именно Рише впоследствии открыл зависимость длины $l$ секундного матрика от географической широты,— фактически это означает, что $g$ зависит от ширины. Есть несколько причины изменения $g$ . Во-первых, $g$ меняется с широтой из-за того, что изменяется расстояние от точки на поверхности Земли до ее оси вращения и, следовательно, изменяется величины центроремительного ускорения тела. Вовторых, Земля — не идеальный шар, а тело, слегка сплюснутое у полосов. Из-за этого изменяется сила прияжения тела Землей. В-третьих, земной шар недоподжен, в отдельных его местах залегают пласты более массивных пород. Поэтому универсальный единцы длины на этой основе создается нельзя. Все же в XVIII века длина секундного матрика (для кого-

рого $T=2$ ) служила своеобразной мерой длины — путь не очень точной, но легко воспроизводимой.

Что же было делать? В 1789 году произшла Великая Французская революция. В том же году в Генеральные штаты — так назывался парламент Франции в то время — поступило несколько проектов реформ системы мер. До Национального собрания — революционного парламента — должен лишь один проект, представленный епископом князем Талейраном — будущим значением французским дипломатом. Талейран предложил выбрать в качестве единцы длины длину секундного матрика на широте $45^\circ$ . Окончательное проект реформы должны разработать две специальные комиссии. Одна из них — во главе с великим математиком и механиком Лагранжем — предложила десятичные отношения для единиц измерения. Другая — во главе с замечательным математиком, механиком и астрономом Лапласом — занялась поиском надежной и воспроизводимой единцы длины, а также других единиц измерения. Перед комиссии легли два проекта. Один из них — проект Талейрана. Второй — проект самого Лапласа, который, исходя из своего интереса кстроению Земли и космологии, хотел, чтобы размер нашей планеты выражались круглыми числами (т. е. были кратными большим степеням десяти).

Комиссия решила принять предложение Лапласа, но одновременно, по мере возникности, учеть и предложение Талейрана. Для этого за единцы длины приняли 1/10 000 000 частей четырёх парикского меридиана — эта величина приближенного равна длине секундного матрика, отличаясь от него всего на 0,6 %. Тем самым принято решение как бы не ответало полностью проект Гюйгена — Талейрана, а лишь несколько «уточную» его. На принятое решение — взять за «1 метр» $10^{-7}$ четырёх меридиана — повляло, видимо, еще одно обстоятельство. Предполагалось (и было решено, но, к сожалению, не привилось) разбитый прямой угол на 100 градов — вместе привычного нам разбиения на 90 градусов. При этом 1 град на земной поверхности вдоль меридиана составлял бы $10^5$ м=100 км. 26 марта 1791 года Национальное собрание утвердило предложения комиссии, а 7 апреля 1799 года — и саму величины «метра» (пока времени — вплоть до более точного измерения длины меридиана).

Идей создания единцы длины, для которого не нужен этапон, была будет бы осуществлена: нужен точный «метр» — измеряемый и изготовленный модель «метра». При этомлина метра равналась длине секундного матрика лишь приближенно, поэтому стало приближенным и равенство $\pi^2 \approx g$ . Вот и ответ на вопрос, поставленный нами в начале статьи!

В заключение — два слова о дальнейшем развития событий. Конечно длина четырёх меридиана оказалась равной не точно $10^7$ метра (согласно измерениям 1976 года — 10 001 970 м). Да и измерение меридиана — дело чрезвычайно длинное и дорогостоящее. Так или иначе, стало ясно, что без этаона метра не обойтись. Такой этапон был изготовлен из платино-придевого сплава и хранилися в Международном бюро мер и весов в Париже.

Наконец, в 1960 году Генеральная конференция по метам и весам определила метр как 1 650 763,73 длины волны оржевого света, излучаемого в вакууме криптоном. Так мы вернулись к замечлу Христина Гюйгена — взять из самой природы неизменную и воспроизводимую единицу длины.