Задачи М1171—М1175; Ф1178—Ф1182

30

Задачи

M1171—M1175, Ф1178—Ф1182

M1171. Обозначим сумму $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ через $h_n$. Докажите (для каждого натурального $n$) неравенство
$$\frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{2h_2^2} + \frac{1}{3h_3^2} + \dots + \frac{1}{nh_n^2} < 2.$$
Л. Д. Курляндчик

M1172. Какой наиболее угол могут составлять между собой отрезки $OA$ и $OB$, выходящие из начала $O$ прямоголовной системы координат в пространстве, если точка $A$ имеет координаты $(x, y, z)$, а точка $B$ — координаты $(y, z, x)$?

С. Н. Вышков

M1173 *. Через одну точку внутри треугольника площади $S$ проведены три прямые так, что каждую сторону треугольника пересекает две из них (см. рисунок). Докажите, что для площадей $S_1, S_2, S_3$ трех образовшихся при этом треугольников выполнен неравенство
$$\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} + \frac{1}{S_3} \geq \frac{9}{S}.$$
Г. Н. Зайцев

M1174*. Последовательность целых чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$ задается условиями $a_1 = 1, a_2 = 12, a_3 = 20,$
$$a_{n+3} = 2a_{n+2} + 2a_{n+1} - a_n \quad (n = 1, 2, \dots).$$
Докажите, что для любого номера $n$ число $1 + 4a_n a_{n+1}$ — квадрат целого числа.

P. Козарев и С. Дойчёв (Волгария)

M1175 *. При каких натуральных $n$ верно следующее утверждение: как бы ни были разложены на плоскости несколько непересекающихся правильных $n$-угольников, один из них можно вывинуть по некоторому направлению, не задавая остальных? (Поворачивать $n$-угольник нельзя, то есть все лучи, выходящие из точек выбранного $n$-угольника в нужном направлении, не должны задавать остальных $n$-угольников.)

Д. А. Терешин

Ф1178. В пространстве падает лист фанеры. Оказалось, что в некоторый момент времени скорости двух точек листа $a$ и $b$ одинаковы — $\vec{v}_a = \vec{v}_b = \vec{v}$ — и лежат в плоскости листа. Оказалось также, что скорость точки листа $c$, находящейся от точек $a$ и $b$ на расстояниях, равных расстоянию между точками $a$ и $b$, в два раза больше скорости $v$. Где в данной момент на листе находится точка, скорости которых равны $3v$?

К. С. Сердеев

Ф1179. Если молния во время грозы попала в воду, то после грозы на озере иногда видят всплившую рыбу. Как это объяснить? Ведь вероятность попадания молнии в отдельно взятую рыбуничного мала.

А. И. Буздин