Канадские математические олимпиады

75

Математические олимпиады ФРГ

Математические олимпиады школьников в ФРГ проводятся с 1970 года. В первом заочном.type олимпиады могут участвовать все желающие: во всех школах вывезиваются плакаты с условиями задачи и в течение двух месяцев школьники должны выслать свои решения. Количество учащихков первого типа в разные годы колбалось от 500 до 3000 человек. На второй тур приглашается призеры первого типа. На первом и втором турах предлагается по 4 задачи. Победители олимпиады определяются после третього типа — собственная.

Ниже мы приводим несколько задач первых двух туров.

1 (1971, I typ). На шахматной доске размер $n \times n$ клеток за один ход разрешается перейти в одну из следующих клеток: 1) соседнюю сверху; 2) соседнюю справа; 3) соседнюю слева внизу. Докажите, что ни из каждой клетки нельзя пройти в соседнюю с ней справа клетку, повышав в каждой клеткеровно по одному разу.

2 (1972, I typ). Пусть $f(n) = [n + \sqrt{n} + 0, 5]$, где $n$ — натуральное число. Докажите, что $f(n)$ принимает все натуральные значения, кроме полных квадратов. (Через $[x]$ обозначается наиболее целое число, не превысая $x$.)

3 (1973, I typ). Дано число $a = 0$, $a_1 \dots a_n$, десятичная запись которого содержит $n$ знаков после запятой. Всегда ли найдется такое натуральное число $N$, что первый $n$ знаков числа $\sqrt{N}$ после запятой совпадает с $a$?

4 (1974, I typ). Длины сторон школьного четырехугольника равны $a, b, c$ и $d$. Каково необходимое и достаточно условие того, что в одном из своих положений этот четырехугольник является трапецией или параллелограммом?

5 (1975, I typ). Какие четырехугольники с перpendicularными диагоналими являются одновременно виссными и описанными?

6 (1975, II typ). a) Отношение среднего арфметического двух натуральных чисел к их среднему геометрическому — натуральное число. Докажите, что оба эти числа равны.

6. Опроверните утверждение задачи a) в случае отношения натуральных чисел к их среднему геометрическому.

7 (1978, I typ). Суммой остатков $r(n)$ натурального числа $n$ называем сумму остатков от деления $n$ на все натуральные числа от 1 до $n$. Докажите, что суммы остатков для чисел $2^n - 1$ и $2^n$ равны.

8 (1978, I typ). Пусть $A_1, B_1$ и $C_1$ — образы точки $A, B$ и $C$ при симметрихах относительно точки $B, C$ и $A$ соответственно. Постройте треугольник $ABC$, если задан треугольник $A_1B_1C_1$.

9 (1978, II typ). Простое число $p$ обладает тем свойством, что любое число, полученное из $p$ перестановкой цифр, является простым. Докажите, что в десятичную запись числа $p$ входит не более трех различных цифр.

10 (1979, II typ). В последовательности натуральных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$, … каждый последний член получается из предыдущого приписыванием к нему справа (т. е. в конце) цифры, отличной от 9. Докажите, что в этой последовательности бесконечно много составных чисел.

11 (1979, II typ). Дана окружность радиуса $R$. Найдите геометрическое место центра окружности, вписанных во всевозможные треугольники, вписанные в данной окружности.

12 (1980, II typ). На сторонах $AB, BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ взяты точки $P, Q$ и $R$ соответственно. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников $APR, BPQ$ и $CQR$ образуют треугольник, подобный треугольнику $ABC$.

13 (1981, I typ). Докажите, что если число $p$ простое, то $2^p + 3^p$ не является степенью натурального числа.

14 (1981, I typ). Пусть $S = a + a^2 + \dots + a^n$, где $a \in \mathbb{N}$. Докажите, что последняя цифра числа $S$ равна 1 тогда и только тогда, когда последние цифры числа $a$ и $n$ равны 1.

Публикацию подготовили В. В. Праслов

Канадские математические олимпиады

Национальные математические олимпиады в Канаде проводятся с осени 1968 года. До этого во всех провинциях этой страны много лет математические совершенства школьников проводились, так что общецелonalные олимпиады стали завершением этой работы.

Участики первых четырех олимпиад отбиались из числа обеднительной провинциальных олимпиад. В дальнейшем этот способ оборал дополен. Тепер директором средних школь резено лично вывигать учеников

76

своих школа, достойных по их мнению участовать в общезначальном соревновании.

Приведем несколько задач канадских математических олимпiad.

1 (1969). Пусть $f$ — функция со следующими свойствами:

1. $f(n)$ определяла для любого натурального $n$;
2. $f(n)$ — целое число;
3. $f(2)=2$;
4. $f(mn)=f(m)f(n)$ для любых $m$ и $n$;
5. $f(m)>f(n)$, когда $m>n$.
   Докажите, что $f(n)=n$.

2 (1970). Пусть задан многочлен $P(x)=x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n$ с целыми коэффициентами $a_1, ..., a_n$. Известно, что существует четые различные целые числа $a, b, c$ и $d$ такие, что $P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=5$. Докажите, что ни для какого целого числа $k$ $P(k)\neq 8$.

3 (1971). Каждый из $n$ целых знаетровно одну новость, причем все $n$ новостей различны. Каждый раз, когда $A$ звонит $B$, $A$ сообщает $B$ все, что он знает, тогда как $B$ ничего не сообщает. Какое минимальное число звонков необходимо для того, чтобы все узнали все новости?

4 (1972). Докажите, что уравнение $x^3+11^3=y^3$ не имеет решений в натуральных числах.

5 (1973). Пусть для каждой натурального $n$
$$h(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}.$$
Докажите, что
$$n+h(1)+h(2)+...+h(n-1)=nh(n)$$
при $n=2, 3, 4, ...$.

6 (1974). Пусть $n$ заданное натуральное число. Составим следующую сумму $T_n=\sum_{1\leq i<j\leq n}|x_i-x_j|$, где $x_i\in R(i=1, 2, ..., n)$ и $0\leq x_i\leq 1(i=1, 2, ..., n)$. Обозначим через $S(n)$ максимальное возможное значение $T_n$. Найдите $S(n)$.

7 (1975). Пусть $k$ — натуральное число. Найдите все многочлены $P(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$ с действительными коэффициентами также, что $P(P(x))=(P(x))^k$.

8 (1976). Пусть для каждой натурального $n(n\geq 1)$
$$n(n+1)a_{n+1}=n(n-1)a_n-(n-2)a_{n-1}.$$
Найдите $\frac{a_0}{a_1}+\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\dots+\frac{a_{50}}{a_{51}}$, если $a_0=1$, $a_1=2$.

9 (1977). Примогуольный город состоит из $m\times n$ кварталов (см. рис.). Женщина живет в юго-западном углу города, а работа в северо-восточном. Онаходит на работу каждой