[Поверхность, топологически эквивалентная проективной плоскости]

11

Рис. 7. Превращение прямого изображения в обратное.

разреза. Вот и обещанный矫приз: перед склейкой полоску придется перекрутить на 180°, а значит, в результате получится лента Мёбиуса (рис. 6, 6). Ее граница — это одна замкнутая кривая, которую осталось подклить к окружности, ограничивающей сферическую шапочку. Таким образом, проектная плоскость — это сфера с дыркой, закленной лентой Мёбиуса. Если вы хотите узнать, как же выглядит такая необъичная поверхность, загляните на обложку этого номера.

Тепер есть смысл еще раз посмотреть, как изменяется изображение предмета, движущgosся по главной оптической оси из бесконечности к фокусу $F$ и дальней (рис. 7). При приближении к фокусу изображение уходит на бесконечность и сразу после фокуса возврашается, но уже с другой стороны (ничего удивительного — прямая-то замкнута). При этом из прямого оно делается обратным, появляется по другую сторону оси (а это, так сказать, эффектив ленты Мёбиуса).

Наша обложка

На рисунках 1—4 последней страницы обложки показано, как построить поверхность в трехмерном пространстве, топологически эквивалентную проектной плоскости. Эта поверхность имеет линюю самопересечения, на концах которой нарушается глаздость поверхности — в этих точках к ней нельзя провести касательную плоскость. От самопересечения изображения можно, только выйдя в четырехмерное пространство, а вот пример гладкой поверхности, топологически эквивалентной проектной плоскости, существующника, и разрежем полусферу на 3дольки, как показано на рисунке 5 на 4-й странице обложки. Возьмем одну дольку, превращим две попавшие на нее стороны шестиугольника в петли (рис. 6) и изогнем поверхность так, чтобы одна из петли (петля $b$) легла на поверхность (рис. 7), петля $a$ переходила бы в петлю $b$ при повороте $R$ на 120° вокруг оси NS, а в точке $S$ образовала угол величины 120°. То же самое продельывает с двумя другими дольками, которые приставляются к первой так, что полученная фигура переходит в себя при повороте $R$. Поверхность Боя образуется при склеивания долек по линяям разреза и петлям (петли составляют трехлепестковую замкнутую линюю самопересечения). На 1-й странице обложки показан вид этой поверхности сверху, со стороны точки $N$.

В. Д.

13

СИММЕТРИЯ, АНИЗОТРОПИЯ
И ЗАКОН ОМА

Кандидат физico-mатематических наук
С. Н. ЛЫКОВ,
доктор физico-mатематических наук
Д. А. ПАРШИН

Наверное, каждый человек имеет интуитивное представление о симметрии — симметрично расположены лепестки в цветке, узоры орнамента, атомы в кристаллической решетке и т. д. С симметрией связи пояные красоты. И не только в искусстве или архитектуре, но даже в математике и физике. Причем в последнем случае она играет исключительно полезную роль: оказывается, что одних лишь сообщенный симметриный бывает достаочно для решения веса трудных физических вопросов. В этом мы попытаемся убедить читателя с помощью наглядных примеров из физики твердого тела.

Представьте, что перед нами поставлена задача: определить электропроводность*) некоторого кристаллического вещества (с неизвестными пока свойствами). Вырежем из него прямогольный образец, включим в цепь, как показано на рисунке 1. Измерив ток через образец и напряжение на нем, с помощью закона Ома найдем удельную проводимость $\sigma$:

$$\sigma = \frac{IL}{US}.$$

Она не зависит от размеров образца и поэтому, казалось бы, однозначно характеризует способность данного вещества проводить ток. Но почему «казаLOBЫ»? Разве может кристаллим несколько значений проводимости?

Оказывается, да. И в этом нет ничего удивительного. Вообразите, к

*) Электропроводность — величины, обратная сопротивления $R$ проводника; удельная электропроводность, или удельная проводимость, — величины, обратная удельному сопротивлению, т. е. $\sigma = 1/\rho$.

Рис. 1.

Рис. 2.

14

Ром такой слонстой среды служит кристалл графита. Его продолжая проводимость в 250 раз больше поперечной.

Но и в отсутствие слоев проводимости среды может зависеть от направления тока в ней. Очень многое кристаллы обладают таким свойством. И вот почему.

На рисунке 3 показано расположение atomов в кристалле (настоящие кристаллы, конечно, трехмерны, однако суть дела выясняется уже на плоских картинах). Сравните два направления, обозначенные красной и синей линиими: видно, что они неэквивалентны. Почему? Ну, хотя бы потому, что вдоль «синнего». Попробуйте выбрать любое другое направление, и вы увидите, что оно неэквивалентно предыдующим. Естественно ожидать, что электоны тоже как-то «ошушают» эту неэквивалентность — в одних направлениях им легче проводятся между atomами, в других труднее. А значит, и не надо удивлять, что проводимость кристалла может зависеть от направления тока.

Среды, свойства которых не одинаковы в разных направлениях, называют анизотропными. Причина анизотропии кристаллов, как вы теперь понимаете, — неэквивалентность направления, проистекающая из регуляного расположения atomов.

Другое важное проявление анизотропии заключается в том, что ток в кристалле может течь и не в тосторону, куда направлено электроное поле. Поясним, о чем идет речь. Из формулы (1) видно, что плотность тока $j=I/S$ пропорциональная направлением приложенного к образцу электрического поля $E=U/L$:

$$j=\sigma E.$$

Однако ток и поле в среде характераизуется не только своей величины, но и направлением. Вектор поля $\vec{E}$ задает величины и направление силы $\vec{F}=e\vec{E}$, действующей на каждой заряде $e$. Под действием этой силы электоны движутся в среднем с определенной скоростью $\vec{v}$. Вектор плотности тока $\vec{j}$, который для краткости будем называть просто вектором тока, параллелен средней скорости направления электонов $\vec{v}^*$). Закон Ома, записанный в виде (2), связывает лишь величины тока $j$ и приложенного извне поля, но ничего не говорит о взаимной ориентации векторов $\vec{j}$ и $\vec{E}$.

«Она же оченьидна, — скажете вы. — Поле $\vec{E}$ и сила $\vec{F}$ параллельны. Средняя скорость электонов $\vec{v}$ параллельна действующей силы $\vec{F}$. А ток $\vec{j}$ параллелен $\vec{v}$. Значит, векторы $\vec{j}$ и $\vec{E}$ тоже параллельны, и вместе (2) мы можем записать:

$$\vec{j}=\sigma \vec{E}.$$

Все очень просто!>

Верно ли такое рассудение? Да… если реч идет об изготовной среде — среде, в которой все направления эквивалентны. Когда все направления эквивалентны, электронам безразлично, куда двигается, и как только мы приложим внешнее поле, им не придется выбирать — вектор $\vec{E}$ задает единственное видение направление. Вдоль него и потечет ток $\vec{j}$.

Но когда реч заходит о кристаллах, нельзя упускать из виду анизотропию! В любом кристалле есть богатый выбор неэквивалентных направлений (вспомните рисунок 3). В этом плане направление $\vec{E}$ — лишь одно из них, выделенное с точки зрения движения электонов. По-

*) Легко показать, что $\vec{j}=env$, где $n$ — число электронов в единичном объеме, движущихся со скоростью $\vec{v}$. Заряд электрона $e$ отрицательен, поэтому $\vec{j}$ и $\vec{v}$ ориентированы настречу друг друг.

15

этому расуждать так же, как в изотропном случае, нельзя. Слабое место наших расужdenий то, где говорится о паралельности векторов $\vec{v}$ и $\vec{F}$. В анизотропной среде они могут оказаться неправильными, и тогда не будут паралельны векторы $\vec{j}$ и $\vec{E}$! Наглядно эту ситуацию можно себе представить так.

Внешняя сила $\vec{F} = e\vec{E}$ гонит электроны «сквозь строй» атомов, а в нем есть «легкие» и «трудные» направления для движения. Сталкиваясь с atomами, электрон часто меняет направление полета, и лишь в среднем можно говорить о движении электрона по прямой. Проходя много механих расстояний, он успевает сместиться больше в «легком» направлении, чем в «трудном», и притом — не обязательно вдоль $\vec{F}$. Все зависит от деталей взаимодействия электронов с atomами и ориентации поля $\vec{E}$ по отношению к наиболее виделенным кристалическим направлениям.

Вдумчивый читатель, наверное, уже готов задать каверзный вопрос: в наших опитах (рис. 1) поле всегда прикладывается вдоль образца и ток, без сомнения, может точь тоже лишь вдоль образца. Где же здесь не паралельность векторов $\vec{j}$ и $\vec{E}$?

Признаемся, что утили от вас важный факт, которыйSTRAняет это недоразумение. Мы не сказали, что (все из-за той же анизотропии) поле $\vec{E}$, вызвающее в толще кристалла ток $\vec{j}$, не обязательно с приложенным вдоль образца электрическим полем направностью $U/L$. Ни по величине, ни по направлению. Возможная в случае анизотропной среды картина показана на рисунке 4, где вы видите итог цепочки событий,

Рис. 4.

протекающих с момента подачи на прижения на образец. В этот момент на электроны начинает действовать приложенное вдоль образца поле — вектор $\vec{E}_{\parallel}$ на рисунке 4. Возникающий ток, как уже говорилось, из-за анизотропии среды может оказаться направленным иначе, например, вправо и немного вверх (электроны при этом движются blevo и немного вниз). Поперечное смение электронов приведет к тому, что грани образца станут заряжаться (верхняя положительное, нижняя отрицательное), и в образце появится дополнительное к приложениюу поперечное поле $\vec{E}_{\perp}$. Но оно само же и препятствует поперечному движению электронов вниз, поэтому нарастает только до тех пор, пока это движение не прекраится. Все это происходит в мгновение ока (за каких-нибудь $10^{-13}$ с) и в дальнейшем картина не меняется: ток $\vec{j}$ продолжает течь вдоль образца, но результатющее поле $\vec{E} = \vec{E}_{\parallel} + \vec{E}_{\perp}$ направлено под углом к нему. Кстати, это легко проверить — между верней и нижней граними должны быть разность потенциалов, обусловленная дополнительной составляющей $\vec{E}_{\perp}$ вектора поля $\vec{E}$. Это действительное обнаруживается на опыте.

Итак, уже первое знакомство с законом Ома для анизотропных проводников показано, что проводимость кристалла, вообще говоря, различна в разных направлениях, причем ток $\vec{j}$ может точь под углом к электрическому полю $\vec{E}$.

«Кажется,— подумает кто-то из читателей,— мы взялись за неоспольную задачу! Нeyжели предстоит выполнить бесконечное число изменений, для каждой мыслиного направления?»

Нет, ситуация попрощена. Это выяснить после того, как мы придам закон Ома четку математической форму. И уже совсем все просто будет в случае кристалла с достаточно высокой симметрией. О ней-то инойдет теперь речь.

На рисунке 3 был приведен пример кристалической структуры, в которой

16

рой все направления неэквивалентны. Обратимся к другим примерам, на сея раз трехмерным. Не будучи искусным художником, трудно передать картину, которая открылась бы «путешественнику», разгуляющему внутри кристалла и любующему перспективной стройных atomных рядов. Поэтому на рисунках 5—7 показаны лишь малые фрагменты трех разных типов кристаллических структур.

На рисунке 5 atoms расположены в вершинах ничем не примечательного косугольного параллелепипеда. Этот кристалл (как и его двухмерный аналог на рисунке 3) не имеет эквивалентных направлений. Но следующие примеры интереснее. На рисунке 6 atoms находится в вершинах прямогоного параллелепипеда, а линии, обозначенные символом $C_2$, проведены через его центр перепendlкулярно граням. На рисунке 7, где вместо параллелепипеда изображен куб, аналогичные линии отмещены символом $C_4$ и, кроме того, проведена пространственная диагональ куба — $C_3$. Чем примечательны все эти линии?

Линии $C_2$, $C_3$, $C_4$ — это оси симметрики показанных на рисунках 6 и 7 кристаллических структур. Так называют направления, выделенные тем, что, поворачивая вокруг как целое, можно получить расположение atomов, совершенного не отличимое от исходного. Над лишь выделять определенный угол повората: $180^\circ$ для оси $C_2$, $120^\circ$ для оси $C_3$, $90^\circ$ для оси $C_4$ — т. е. $2\pi/n$ для оси $C_n$; кратные этим значения углов повората тоже годятся, так как ответают повторенно указаны поверхов. Кстати, $C_n$ — общеприятие обозначение оси симметрики; число $n$ называется ее «порядком».

С точки зрения симметрины мы можем уточнить понятие эквивалентности направления: любые направления, которые «переходят друг в друга» при поворотах вокруг симметрики, эквивалентны.

Чем больше осей высокого порядка имеет кристалл, тем больше в нем эквивалентных направлений, тем сильнее симметрия конкурирует с анизотропей. Как эта конкуренция связывает на проводимости, вы сейчас увидите, но преждевременно найти примеры эквивалентных и неэквивалентных направлений в кристаллических структурах, показанных на рисунках 6 и 7. В частности, нам будет важно, что в кубищеком кристалле сами оси $C_4$ — эквивалентные направления (переходят друг в друга при поворотах вокруг $C_3$), а аналогичные оси $C_2$ на рисунке 6 неэквивалентны.

Ну, так как же на практике применить сообщения симметрики к вопросу о проводимости? Покажем это на примерах. Начнем со случая, когда в кристалле есть три взаимно перепendlкулярные (неэквивалентные) оси симметрии $C_2$ (как на рисунке 6). Для удобства пропумерем их — 1, 2, 3 (см. рис. 8). Спросим себя: куда будет точь ток $\vec{j}$, если поле $\vec{E}$ направлено вдоль одной из осей второго порядка, скажем, вдоль оси 1? Ответ оказывается неожиданно простым — ток будет точь вдоль той же оси симметрики, параллельно

17

полю! Докажем это методом «от противного».

Предположим, что ток $\vec{j}$ течет под углом к оси симметрии 1. Повернем кристалл вместе с приложенным к нему полем $\vec{E}$ на $180^\circ$ вокруг этой оси. Очевидно, тогда все, что есть внутри кристалла — «стой» атомов и произвольной его поток электронов, — тоже повернется. И, так как вектор $\vec{j}$, по предположению, не параллелен оси поворота, его новая ориентация, показанная пунктиром на рисунке 8, будет отличаться от исходной. Но ведь микросоппечная картина, определяющая направление ток $\vec{j}$, после такого поворота выглядает так же, как прежде: новое положение atomов неотличимо от первого начального, а поле $\vec{E}$ было и осталось параллельным направлению 1. Значит, и ориентация ток $\vec{j}$ должна быть прежней.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и единственный путь избежать его — признать, что в данном случае вектор $\vec{j}$ ориентирован как и вектор $\vec{E}$ — вдоль оси 1 (рис. 9).

Причемательно, что этот вывод не чувствуетлен к деталям микросоппечной структуры кристалла — не пришлось выяснять, как именно расположены atoms и каковы направления, наиболее легкие для движения электронов. Начиные других осей симметрии тоже не использовалось. Не важен даже порядок той оси симметрии, вдоль которой направлено поле $\vec{E}$, — рассужждение остanetся в силу при любом значении угла поворота (не кратном $360^\circ$), допускаем симметрией.

Таким образом, если кристалл имеет ось симметрии и поле $\vec{E}$ направлено вдоль нее, ток $\vec{j}$ течет вдоль поля. В этих условиях связи между $\vec{j}$ и $\vec{E}$ дается равенством (3), где коэффициент пропорциональности $\sigma$ в данной случае — проводимость вдоль этой оси симметрии. Проведяем измерение (рис. 1) на образце, вырезанным вдоль оси симметрики кристалла, мы можем найти $\sigma$ по формуле (1). Ведь в отличие от ситuation, изображенной на рисунке 4, у поля заведomo не будет составляющих, поперечных к току; поэтому $E = U/L$, и (1) сразу следует из (3).

Соответствие, три измерения на образцах, ориентированных вдоль осей симметрии 1, 2, 3, дает нам три значения проводимости: $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$. Ясно, что они, вообще говоря, оказывается различными, поскольку направления 1, 2, 3 неэквивалентны:

$$\sigma_1 \neq \sigma_2 \neq \sigma_3.$$

А какова будет картина, если поле $\vec{E}$ в нашем кристалле направлено не вдоль оси симметрии? Куда почеет ток $\vec{j}$? Чтобы разобраться в этом, найдем проекции вектора $\vec{E}$ на оси 1, 2, 3, т. е. представим поле в виде суммы $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3$ (рис. 10). Тепер посмотрим, какой вклад в ток дает каждое из слгаемых.

Поле $\vec{E}_1$ направлено вдоль оси симметрии 1 и, значит, порождает ток в том же направлении:

$$\vec{j}_1 = \sigma_1 \vec{E}_1.$$

Аналогично, две другие компоненты поля вызывают токи вдоль осей симметрии 2 и 3:

$$\vec{j}_2 = \sigma_2 \vec{E}_2, \quad \vec{j}_3 = \sigma_3 \vec{E}_3.$$

18

Эти соотношения определяют результатирующий ток $\vec{j} = \vec{j}_1 + \vec{j}_2 + \vec{j}_3$:

$$\vec{j} = \sigma_1 \vec{E}_1 + \sigma_2 \vec{E}_2 + \sigma_3 \vec{E}_3.$$ (5)

Из-за неравенств (4) отношения проекций тока и поля ($j_1/E_1 = \sigma_1$ и т. д.) на направления 1, 2, 3 неодинаковы. Значит, векторы $\vec{j}$ и $\vec{E}$ не параллельны (рис. 11). Этот отнюдь не новый для нас факт, как видим, прямо связыван с различием проводимости в разных направлениях.

И вот что интересно. Формула (5) говорит нам: при любой ориентации поля $\vec{E}$ величины и направление тока $\vec{j}$ полностью определяются лишь значениями проводимости вдоль осей симметрины нашего кристалла. О бесконечном числе измерений нет и речи, достаточно найти $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$. Правда, сперва надо найти направления самых осей симметрины, но это уже отдельная история.

Следующий пример — кубический кристалл (рис. 7). Но ведь это частный случай предыдущего? Да. Иpritом самый интересный! Во-первых, кубическая симметрия — наиболее изозможных для кристаллов. Во-вторых, его обладают важные для практики кристаллеские полупроводники — Ge, Si и др. В-третьих, это будет самый яркий пример влияния симметрии на проводимость кристаллов.

Итак, есть три взаимно перpendикулярные оси симметрии $C_4$. Значения проводимости вдоль них по-прежнему обозначим $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$. Тогда уже известные нам рассуждания слова при ведут к формуле (5), справедливой при любой ориентации вектора $\vec{E}$. А теперь вспомним, что все три направления $C_4$ в кубическом кристалле эквивалентны друг другу. А из этого, как вы договорается, следует, что

$$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3 = \sigma.$$ (6)

Да, симметрия гарантирует, что проводимость вдоль этих трех направлений зависит одна и та же. Но только ли вдоль них? Ведь с учетом (6) формула (5) превращается… в формулу (3), известную нам как закон Ома для изготовной среды —

$$\vec{j} = \sigma \vec{E}_1 + \sigma \vec{E}_2 + \sigma \vec{E}_3 = \sigma (\vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3) = \sigma \vec{E},$$

т. е., во-первых, независимо от направления приложенного поля $\vec{E}$ ток $\vec{j}$ всегда параллелен полю $\vec{E}$ и, во-вторых, величина его определяется только одним значением проводимости $\sigma$. Проводимость кубического кристалла одинакова для всех направлений!

Неправда ли, результат неожиданный и безусловно красивый? Ведь не все направления в кубическом кристалле эквивалентны — сравните, например, линии $C_4$ и $C_3$ на рисунке 7. Обе они — оси симметрии, и ток, понятно, будет параллелен полю $\vec{E}$, если оно приложено вдоль любой из них. Но почему при обеих ориентациях $\vec{E}$ должна быть одинаковой величины тока? Ведь электропы «ошушают» эквивалентность направления, и это, казалось бы, должно проявиться в различных значениях соответствующих проводимости. Но нет! Безразлично, в какой ориентации вырезать образец,— измерения должны быть единственное значение $\sigma$. И мы только что доказали это, исходя лишь из сообщений симметрии.

Итак, в данной симметрия полностью победила анизотропию: в отношении электропроводности кубический кристалл подобен изготовной среде, в котором, как уже говорилось, все направления эквивалентны.

Интересно сравнить микросопперскую структуру кристалла и изготовной среды. Примером последней

19

случит аморфное тело, характеризующее совершенное беспорядочным расположением атомов. Такое расположение, скажете вы, вообще не симметрично — любые повороты (не кратные 360°) будут давать разные картины. Но все картины будут одинаково беспорядочны и в этом смысле не отличны от исходной. Беспорядок выравнивает (уредняяет) свойства среды во всех направлениях. Он делает все направления эквивалентными. Значит, как это ни парадоксально, симметрия направленной в аморфном теле выше, чем даже в кубическом кристалле! Любое направление — ось симметрики. В свете этого закон Ома (3) для изготовных сред каждой простого азбучной истинной.

Да, симметрия направлен — благо. Но как быт, если ее нет совсем (например, кристалл на рисунке 5 не имеет ни одной оси симметрики)? Придется обратиться к закону Ома в самом общем виде. Попробуем его установить.

Произвольно выберем три взаимно перpendикулярные направления $x, y, z$ (координные оси). Разложим поле $\vec{E}$ на составляющие $E_x, E_y, E_z$. Tok $\vec{j}$ будем искать тоже в виде трех составляющих $j_x, j_y, j_z$.

Из чего складывается $j_x$? Координные оси — это еще не оси симметрики! При това, порожденные треями компонентами поля, не обязательные чей именно вдоль осей $x, y$ и $z$. Значит, каждый ток будет иметь $x-, y-$ и $z$-составляющие, т. е. не только $x$-компонента поля, но также $y-$ и $z$-компонента вектора $\vec{E}$ дают проорциональный вклад в $j_x$. Соответствие коэффициентов проорциональнойности обозначим $\sigma_{xx}, \sigma_{xy}, \sigma_{zx}$.

А из чего складывается $j_y$ и $j_z$? Ответ почти дословно совпадает с предыдущим, лишь коэффициенты будут другие.

Итак:

$$\begin{align*} i_x &= \sigma_{xx} E_x + \sigma_{xy} E_y + \sigma_{zx} E_z, \\ j_y &= \sigma_{yx} E_x + \sigma_{yy} E_y + \sigma_{yz} E_z, \\ j_z &= \sigma_{zx} E_x + \sigma_{zy} E_y + \sigma_{zz} E_z. \end{align*}$$

Эти три равенства представляют собой закон Ома для среды с произ-

21

В ТАИНСТВЕННОМ МИРЕ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ

Доктор физико-математических наук
Н. Я. ВИЛЕНКИН

Как можно и как нельзя обращаться с рядами

Древнегреческая математика выразила в спорах о беконечном. Еще в V веке до н. э. философ Зенон Элейский показал, к каким результатам приводит беспечное обращение с этим танистенным понятем. Он «доказывает», например, что быстроний Ахиллесникогда не доходит медленно ползушую черпаху, что легшая стрелка никогда не свинится с места и другие, столже парадокальные вещи. В основе этих парадоксов лежала возможность разбить отрезок на беконечное множество неравных частей. Для этого достаточно разбить отрезок сначала пополам, потом одну из полученных частей снова разбить пополам и продолжать эту операцию беконечного много раз (в математическом фольклоре таким методом реконендуетсяLOBить льва в пустыне, только пополам делить не отрезок, а пустыню).

После парадоксов Зенона понятие беконечности было надолго изгнано из математики и лишь в XVII веке оно было восстановлено в правах. Без него немыслимо было создание новой науки — математического анализа. А одним из самых могующих средств этой науки были беконечные ряды, т. е. суммы, состоящие из беконечного множество слагаемых. Ведь уже рассужждение Зенона ознакомлено, что целое состоит из суммы половины, четверти, восьмой и т. д., т. е. опиралось на равенство

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots = 1.$$ (1)

Оно становится более наглядным, если представить себе, что отрезка длиной 1 отрезают сначала половину, потом половину остатка и продолжают это «отрезание» до беконечности. Ясно, что отрезка ничего не оставется, т. е. сумма длин отрезанных частей равна 1. А это и выражается равенством (1).

Более общим, чем (1), является равенство

$$1 + q + q^2 + \dots + q^n + \dots = \frac{1}{1-q}.$$ (2)

Конечно, оно верно, лишь если $|q| < 1$ — в этом случае модели слагаемых убивают, а значение суммы $1 + q + \dots + q^{n-1}$ первый $n$ слагаемых приближается с ростом $n$ к $\frac{1}{1-q}$. Но в XVIII веке ученые пытались пользоваться этим равенством для любых значений $q$. Например, полагая $q = -1$, они получили равенство

$$1 - 1 + 1 - 1 + 1 + \dots = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2},$$

а при $q = 3$ — равенство

$$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^n + \dots = \frac{1}{1-3} = -\frac{1}{2}.$$

Вообще, в XVIII веке с беконечными рядами обращались как с конечными суммами. Не заботать ни о чем, в них переставляли слагаемые, умножали друг друг два беконечных ряда как обычные многочлены и т. д. Но потом обнаружилось, что при таком подходе сумма половительных чисел может оказаться отрицательным числом (как мы уже видели).

22

дели), а перестановка членов ряда меняет его сумму. Это показало, что у бесконечности своих законы — не те, что в мире конечного

Можно доказать, например, что сумма ряда
$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \dots$$
положительная. Обозначим ее буквой $S$. (В действительности $S = \ln 2$, но это для нас не важно.) А теперь переставим члены этого ряда так:
$$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \dots = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \right) = \frac{1}{2} S.$$
Итак, только от перестановки членов ряда (3) его сумма уменьшилась вдвое! А перестановка
$$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{8} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \dots = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \right) = \frac{1}{2} S.$$
Уменьшает эту сумму второе. Нетрудно и udвоить сумму ряда (3) — для этого нужно переставить его члены так:
$$1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \dots$$
Вообще можно показать, что надлежащая перестановка членов сделает этот ряд сложимся к любому направлению числу.

Современные математики приучены обращаться с бесконечными рядами с осторожностью. Учены XVIII века не знали всех этих тонкостей, но смело, с которой они обращались с такимыми рядами, зачастую приносила им неожиданные победы. И самым смелым, самым удачливым был петербургский академик Леонард Эйлер (1707—1783). Собранное его сочинение содержит несколько десятилетия после смерти ученого его работы публикации в трудах Петербургской Академии наук.

Ряды и бесконечность простых чисел
Еще со времен Евклида была известна теорема: простых чисел бесконечного много. Эйлер придумал новое чрезвычайно острумное доказательство этой теоремы. Положим в формуле (2) $q = \frac{1}{p}$, где $p$ — простое число, т. е. $p = 2, 3, 5, 7, 11, \dots$. Получим равенства
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots,$$
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots,$$
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n} + \dots,$$
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dots + \frac{1}{p^n} + \dots.$$
Предположим, что количество простых чисел конечно. Тогда среди равенств (4) будет последнее. Переможная эти равенства для всех простых чисел, мы получим
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots \right) \times \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots \right) \times \left( 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n} + \dots \right) \times \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dots + \frac{1}{p^n} + \dots \right).$$
Раскроем в правой части равенства (5) скобки. Мы получим сумму слагаемых вида $1/2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$, где $k_2, k_3, k_5, \dots, k_p$ — произвольные неотрицательные целые числа. Так как мы предположили, что других простых чисел, кроме 2, 3, 5, …, $p$, не

23

существует, а любое натуральное число, больше 1, разлагается единственным образом в произведение простых чисел, то среди чисел $2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$ по одному разу встречаются все натуральные числа. Таким образом, справа у нас должна получить сумму бесконечного ряда

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} + \dots$$

И мы получили бы, что ряд (6) имеет конечную сумму.

Но уже давно было известно, что это не так. В самом деле, из неравенств

$$\frac{1}{3} \geq \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \geq \frac{1}{4}, \frac{1}{5} \geq \frac{1}{8},$$

$$\frac{1}{6} \geq \frac{1}{8}, \frac{1}{7} \geq \frac{1}{8}, \frac{1}{8} \geq \frac{1}{8},$$

$$\frac{1}{9} \geq \frac{1}{16},$$

следует, что сумма ряда (6) не может быть меньше, чем сумма ряда

$$1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) +$$

$$+ \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \dots$$

Но сумма чисел в каждой скобках равна $\frac{1}{2}$, а складная бесконечного много «половинок», получаем бесконечность. И выходит, что конечное число

$$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p}}$$

равно бесконечности! Это противоречие показывает, что нашей предположение о конечности совокупности простых чисел ложно, а потому простых чисел бесконечного много.

Дзета-функция

Читатель, знакомый с классическим доказательством теоремы о простых числах, разочарованно скажет, что новое доказательство ничего не проще

тоного, которое придумал две с лишним刮сячи лет тому назад Евклид. Так-то оно так, но оказалось, что из доказательства Эйлера можно узнать также вещи о простых числах, которые из ενклидового доказательства вывести нельзя. Для этого надо образовать ряд

$$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots$$

и изучать его поведение при всемозможных значениях $z$. Ввиду исключительной важности суммы ряда (7) ей должно обозначение $\zeta(z)$ и называли дзета-функцией.

Оказалось, что вопрос о том, сколько часто встречаются простые числа среди натуральных, зависит именно от поведения дзета-функции $\zeta(z)$ при компликственных значениях $z$. Разумеется, говорить об этих значениях можно, только если уменьшить числа в компликственной степени. А это делает с помощью выведенной Эйлером же формулы

$$e^{ix} = \cos x + i \sin x,$$

о которой мы поговорим позднее.

Главный вопрос, от решения которого зависит от оценки проблем теории чисел, состоит в следующем: при каких значениях $z$ дзета-функция обращается в нуль? Еще во второй половине XIX века замечательный немецкий математик В. Риман (1826—1866) высказал предложение, что все эти значения (их зовут нулями дзета-функции) компликены и имеют вид $z_k = \frac{1}{2} + iy_k$. Много успешный приложили математики, чтобы доказать это утверждение. Но пока что никому это не удалось, хотя некоторые и утвергли, что нашли доказательство. Для проверки утверждения Римана были приведены быстродействующие вычислительные машины. С их помощью удалось найти несколько миллионов нуля дзета-функции. Все они имеют тот самый вид, который предсказал Риман. Если бы решила о каком-нибудь вопросе физики или биологии,никто бы не усомнился в том, что Риман прав — гипотеза, подтверждающая миллионами опытов, становится в этих нахах неизбежным утверждением. Но не такова математика — она имеет дело с бесконечным множество натуральных чисел, и вдруг миллиардного или квантилionного нуля дзета-функции гипотеза Римана оказется ложной!

Интересующая математика значения дзета-функции и при натуральных $z$. Для четырех $z$ эти значения вычислил Эйлер, вовь проявив непрерывное мастерство обработки

24

и

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!} + \dots$$

Для современного математика приведенный выше вывод формул (10)—(12) послужил бы мішенью для разнообразных пририкок. «Помилуйте, скажет он,—a откуда извесно, что функции $e^x$, sin $x$, cos $x$ вообще разлагаются в степенные ряды? И кто сказал, что бесконечные ряды можно дифференцировать по тем же правилам, что и многочленены? Ведь произвольная суммы бесконечного множества слагаемых не всегда равна сумме производных, и интеррировать ряды по членно вообще говоря нельзя.» И так далее, и так далее. И что самое печальное, он будет совершенню прав. Но в XVIII веке этих тонкостей не знали и, руководствуясь правилом «Работайте, и вера к вам придет», математики выводили замечательные формулы, предоставляя внукам давать строгие доказательства полученных делами результатов.

Волlee того, они смело применяли разложения в ряды не только для действияных, но и для комплексных значений аргумента. Это позволило им находить значения для степени с комплексными показателями, синусы и косинусы от комплексных чисел. Рассмотрение функций в комплексной области позволяет установить их скрытие свойства.

Многие из этих свойств связаны с упоминавшейся выше формулой Эйлера (8). Чтоы доказать ее, достаточно в ряд (10) вместе $x$ подставить $ix$, а потом отдельно сгруппировать члены, содержащие $i$, и члены, в которых $i$ не входит. Проделяйте эти выкладки сами. Из формулы Эйлера следует далее, что $\cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1,$ и потому $e^{z+2\pi i} = e^z e^{2\pi i} = e^z$. Значит, показатель функция периодична, как и трионометрические функции, только ее период — минимое число $2\pi i$. Из формулы Эйлера следует далее, что $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ и потому, например, $\cos i = \frac{e^{i^2} + e^{-i^2}}{2} = \frac{e^{-1} + e}{2} > 1$.

25

Читт, в комплектой области косинус может оказаться и больше, чем 1.

Но мы отвлеклись от рассказа о дзета-функции и ее значения. Номиним, что задача состоит в нахождении значений ζ(2), ζ(4), …, ζ(2k), …, т. е. сумм рядов.

$$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots,$$ (13)

$$1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{n^4} + \dots$$ (14)

Эту задачу тоже решил Эйлер. Для этого он взял да и разложил бесконечный ряд на множители. Он знал, что если многочлен $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n$ имеет корни $x_1, x_2, \dots, x_n$, то справедливо равенство

$$a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = a_n\left(1 - \frac{x}{x_1}\right) \times \left(1 - \frac{x}{x_2}\right) \dots \left(1 - \frac{x}{x_n}\right)$$ (15)

(ведь обе части этого равенства обращаются в нуль при $x = x_1, x_2, \dots, x_n$, а при $x = 0$ обе части равны $a_n$). Эйлер смело применил эту формулу к бесконечным рядам. Так как функция $\frac{\sin x}{x}$ обращается в нуль в точках вида $\pm n\pi$, где $n$ — натуральное число, он по аналогии с формулой (15) написал

$$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right) \times \left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right) \dots$$

(Эйлер использовал здесь также равенство $\frac{\sin x}{x} = 1$ при $x = 0$, которое читатель, возможно, предпоел бы заменить формулой для предела $\frac{\sin x}{x}$ при $x \to 0$. Но Эйлер не боялся схватить тройку по «алгебре и анализу»!) После этого, группировав соедние члены, Эйлер получил:

$$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{2^2\pi^2}\right) \times \dots \times \left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right).$$ (16)

И здесь незнание опасностей для возникновения Эйлеру быстро дивится вперед. Не прошло и стала лет, как немецкий математик К. Вейерштрасс (1815—1897) строго обосновал расчудение Эйлера. Более того, он доказал, что если функция $f(z)$ при любом (комплексном) значении $z$ является суммой ряда $a_0 + a_1z + \dots + a_nz^n + \dots$, то ее можно разложить на множители способом, пожоким на примененный Эйлером.

А из формулы (16) без труда получаем сумму ряда (13). Для этого нужно лишь раскрыть скобки в правой части равенства (16), а следва заменить sin $x$ по формуле (11), после чего сравнить коэффициенты при $x^2$ следва и справа. Проделаем это. Если раскрыть скобки в конечном произведении

$$\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right) \dots \left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right),$$

то у получившегося многочлена коэффициент при $x^2$ будет равен

$$-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{4\pi^2} - \dots - \frac{1}{n^2\pi^2};$$

если устремить $n$ к бесконечности, этот коэффициент будет стремиться к сумме бесконечного ряда

$$-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{4\pi^2} - \dots - \frac{1}{n^2\pi^2} - \dots,$$

т. е. $k - \frac{1}{\pi^2} \zeta(2)$. У ряда для $\frac{\sin x}{x}$ коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{3!} = -\frac{1}{6}$. Сравнивая коэффициенты при $x^2$, мы получаем совершенно неожиданное равенство

$$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}.$$ (17)

Аналогично, сравнивая коэффициенты при $x^4$ следва и справа и учитывая равенства (14) и (17), получаем

$$\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{n^4} + \dots = \frac{\pi^4}{90}.$$ (18)

26

Затем вычислем $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ и т. д.

Как ни странно, ничего похожего для значений дзета-функции при нечетных значениях $z$ неизвестно. С большим трудом удалось окло-десати лет назад доказать, что число $\zeta(3)$ irrationalно.

От Эйлера ведет свое начало значения Петербургская математическая школа. К ней принадлежал и замечательный русский математик П. Л. Чебышев (1821—1894). И хотя Чебышева отделяет от Эйлера целое столетие, в его творчестве чувствуется двух эйлеровой математики, эйлеров интерес к свойством натуральных чисел, к изучению свойств конкретиных функций, решения конкретиных проблем, имеющих важное прикладное значение.

Одна вероятностная задача

Какова вероятность того, что наудачу взглядадrobь несократима? Эта задача, поставленная и решенная Чебышевым, тесно связана с исследованием Эйлера. Для современного математика и она сформулирована несликом строго; на сея раз мы подем ему навстречу и уточним постановку задачи.

Для этого возьмем не все доби, а лишь доби, числитель и знаменатель которых не превосходит некоторого числа $N$. К какому числу приближается доля несократимы добей среды выборных добей при неограничном возрастании $N$? Именно, обозначим через $f(N)$ количество несократимы добей вида $\frac{m}{n}$, $1 \leqslant m \leqslant N$, $1 \leqslant n \leqslant N$. Всего добей такого вида имеется $N^2$. Мы должны найти $\lim_{N \to \infty} f(N)/N^2$ — он и будет вероятностью того, что выборная наудачу добь несократима.

Для того чтобы найти этот предел, возьмем какое-нибудь конкретиное большое $N$, скажем 1000, и посмотрим, сколько добей из миллиона добей вида $\frac{m}{n}$, $1 \leqslant m \leqslant 1000$, $1 \leqslant n \leqslant 1000$, можно сократить на 2. Для этого их числители и знаменатели должны быть четыями числами. Но количество четыями чисел от 1 до 1000 равно 500, поэтому добей, сократились на 2, будет 500·500, т. е. 250 000. А это как разчетерть общего числа добей, у которых и числитель, и знаменатель не превосходит 1000. Но $1/4 = 1/2^2$, а потому доля добей, не сократились на 2, выражается числом $1 - \frac{1}{2^2}$.

Аналогично устанавливаем, что доля добей, которые нельзя сократить на 3, примерно равна $1 - \frac{1}{3^2}$; доля несократицы на 5 будет $1 - \frac{1}{5^2}$ от общего количества на 5.

Далее, естественно считать, что доби, которые нельзя сократить на 3, будут с одинаковой частотой встречаться среди добей, которые можно сократить на 2, и добей, которые нельзя сократить на 2. Это значит, что доля добей, которые нельзя сократить на 3, среди добей, которые нельзя сократить на 2, тоже будет примерно равна $1 - \frac{1}{3^2}$. Таким образом, доля добей, не сократицы ни на 2, ни на 3, среди добей будет

$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right),$$

доля добей, не сократицы ни на 2, ни на 3, или на 5 —

$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{5^2}\right),$$

а доля добей, которые нельзя сократить ни на одно простое число (т. е. просто несократицы), выражается бесконечным произведением

$$A = \left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{5^2}\right) \times \dots$$

$$\times \left(1 - \frac{1}{p^2}\right) \dots$$

Это означает, что среди $N^2$ добей,