Задачи М1186—М1190; Ф1193—Ф1197

Квант 1989, №10 с. 28-29 Тег 03DG

Задчи

M1186 — M1190, Ф1193 — Ф1197

M1186. Будем говорить, что два четырехугольника — бумажный и картоный — подходят друг к другу, если картоный можно наложить на бумажный так, что все его вершины попадут на стороны бумажного (по одной на каждой) и при этом, если перегнуть четыре образованшихся маленьких бумажных треугольника на картоный четырехугольник, то они закроют весь его в один слой.

a) Докажите, что если четырехугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны, либо диагонали перпендикулярны.

b) Докажите, что если бумажный четырехугольник — параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картоный.

Н. В. Васильев

M1187. Докажите, что если $m$ четно, то все целые числа от 1 до $m-1$ можно выписать в таком порядке, что никакая сумма нескольких подряд не будет делиться на $m$ .

Ф. Г. Шлейфер

M1188. a) Дан 101 прямогольник с целыми сторонами, не превосходящими 100. Докажите, что среди них найдется три прямогольника $A, B, C$ , которые можно поместить друг в друга: $A \subseteq B \subseteq C$ .

b) Докажите, что среди 1989 прямогольников с целыми сторонами, не превосходящими 100, найдется 40 прямогольников таких, что первый можно поместить во второй, второй — в третьий, …, 39-й — в 40-й.

Н. М. Седракин

M1189*. На плоскости дано $n$ прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Докажите, что в каждой из частей, на которые эти прямые разбиают плоскость, можно поставить целое число, отличное от 0 и не превосходящее по modulo $n$ , так, что по любую сторону от любой из этих прямых сумма чисел равна 0.

Д. В. Фомин

M1190*. a) Докажите, что если в таблице $2n \times 2n$ клеток стоит $3n$ звездочек, то можно вычернуть $n$ строк и $n$ столцов так, что все звездочки будут вычернуть. b) Докажите, что в таблице $2n \times 2n$ клеток можно расставить $3n+1$ звездочку так, что после вычеркивания любых $n$ строк и $n$ столцов останется по крайней мере одна звездочка.

К. П. Кохась

Ф1193. В пространстве二维ется кубик. В данный момент грань $ABCD$ горизонтальная (рис. 1), а скорости точки $A$ и $B$ направлены вертикально вниз и равны по modulo $v$ . Известно, что скорость точки $C$ в этот же

момент равна по модулю 2v. Какую максимальную скорость могут иметь в этот момент другие точки кубика?

С. С. Кротов

Ф1194. Капилляр сделан из двух тонких стеклянных трубок с внутренними диаметрами $d_1$ и $d_2$ (рис. 2). В него введи большую каплю воды массой $M$ . Когда капилляр расположили горизонтальное, вся капля «уползла» в тонкую часть, а когда его установили вертикальное — вся вода из него вытекла. При каких углах между осью капилляра и вертикального капля будет расположаться частично в толстой, а частично в тонкой трубке? Козффициент поверхности натяжения воды $\sigma$ , плотность воды $\rho$ . Смачивание считать полным.

Р. А. Тилло

Ф1195. Вертикальная труба высотой $H=1$ м и площадью поперечного сечения $S=50$ см $^2$ открыта с двух концов. В нижней части трубы установлен нагревальmente мощностью $N=100$ Вт. Какая скорость восходящого потока установится в трубе? Считайте, что нагревальне не загрязливает поперечное сечение трубы. Атомсферное давление $p_0=1$ атм, температура снаружи комнатная. Молярная теплоемкость воздуха при неизменном объеме $C_V=2,5$ R, где $R$ — универсальная газовая постоянная.

М. М. Цыпин

Ф1196. Работое напряжение лампочки, волт-ампераная характеристика которого приведена на рисунке 3, равно 3,5 В (кривая обращается при напряжении 4 В — лампочка перегорает). Две такие лампочки соединяют последовательно и подключают к источнику с напряжением 5 В. Какой ток потребит по цепи? Какой резистор нужно подключить параллельно одной из лампочки, чтобы напряжение на другой составило 3,5 В? Перегорит ли какая-нибудь из лампочки, если этот резистор заменить еще одной такой же лампочной?

А. Р. Зильберман

Ф1197. При исследовании электрических свойств тонкой пластинки нового соединения было обнаружено, что его проводимость существенно анизотропна: вдоль одного направления (ось $X$ ) она максимальная, а вдоль перепendlukулярного направления (ось $Y$ ) — минимальная. Из пластинки вырезали образец в виде полоски длиной $L$ и шириной $d$ ( $L \gg d$ ) под углом $\alpha=45^\circ$ к осям $X$ и $Y$ и подключили к концам полоски источник с напряжением $U_0$ (рис. 4). Измерив напряжение между краями полоски в поперечном направлении, получили значение $U$ ( $U \ll U_0$ ). Определите отношение проводимости вдоль осей $X$ и $Y$ .

А. И. Буздин