Как индейцы бросают томагавк?

19

КАК ИНДЕЙЦЫ
БРОСАЮТ ТОМАГАВК?

Доктор физико-математических наук
В. А. ДАВЫДОВ

Томагазок просвистел mismo лица Хейворода и,
срезав несколько солотистых локонов Али-
сы, задрожал в столь дерева над ее
золовой.
Д. Ф. Купер. Последний из могикан.

Мальчишки моето поколения, чье
детство пришлось на шестидесятые
годы, еще застали время, когда ребята взхлёб читали романы Купера и Майна Рида, мечтая о жизни и приключениях среди индейских племен Северной Америки. Выкроив свободный часок и вооружившись лассо из белевой вервки, мы безжали во двор, где безупешно пытались заарканить какой-нибудь кусть, торчащую ветку, а порой и незадачливую кошку, которая опрометчив вылеза из подвала погреться на солнышке. Но самоое боль шое восхищение вызывало у нас妒азительное совершенство, с каким индейские воины владелiens grootным оружием — томагавком.

Трудно найти автора «индейских» романов, который не посвятил хотя бы несколько эпизодов замечательному искусству бросать топор. Интерес к этой проблемы постояно подогревал и киноматограф. В то время на наших экранах периодические появлялись «индейские» фильмы, для героев которых всегда находилась возможность раз-другой метнуть томагавк в цель. Взять хотя бы такую сцену. Индейское пламя решает наказать в чем-то провинившегося перед ним бледнолицERO. Его привязывают

20

к стене хжинны, после чего каждый участник расправы кидает в него томагавк. Последний топор перерубает вервку, и, когда потеряшая от страха сознание жертва сползает на землю, зрители с восхищением видят на стене контур человекаского тела, образованный внизимся в нее томагавками. После посещения кинотеатра особенно хотелось если и не научиться бросать топор — мы понимали, что это выше способностейgliedолицого мальчишки,— то хотя бы понять техническую indейцев.

Сейчас, какется, интерес ребят к «индейской проблемике» упал, и мои дети, например, уже не смогут отличить гурона от команча и вред ли скажут, кто такой Оцеола. Однако и их не оставляют равнодушными удивительные способности северомериканских аборигенов обращаться со своим традиционным оружием.

Идея, которая легла в основу предлагаемой читателем теории бросания топора, родилась, когда мы стали регуляторно ходить в походы. В свободное время мы находили пользовости от лагеря сухое дерево (которые в наших лесах великое множество) и пытались попасть в него топор. Вот тут-то и обнаружился замечательный факт. Оказалось, что если встать на определенном расстоянии от дерева, то вероятность того, что брошенный топор возникется в него (а не откочит, ударившись обухом или ручкой), резко возрастает. При этом достагоно минимального навывания, чтобы научиться (конечно, стоя на этом расстоянии) попадать в сухое дерево, например, это раз из ста. Попытки понять это явление позволили автору сформулировать предлагаемую ниже модель. Мы увидим, что для того, чтобы способу уметь обращаться с томагавком, вовсе не требуется родиться краснокожим; нужно, по сути дела, лишь развить в себе способность на глазок оценить расстояние, а все остальное получится само собой.

Перейдем теперь к рассмотрению модели. Очевидно, что задача естественных образом разбиается на две.

Во-первых, нужно просто суметь попасть топор в столб или сухое дерево; во-вторых, желательно попасть именно лезвием, а не обухом или топоршем. Будем считать, что с первой проблемой читатель сможет справиться с ним.

Движение руки при броске происходит следующим образом. Рука, держащая топор, вращается в локтеомysteave с некоторой угловой скоростью $\omega$, и бросок проискит в тот момент, когда скорость центра масс топора направлена горизонтально. Строго говоря, если мы хотим, чтобы топор возникла в определенную точку столба, направление его скорости в момент бросания может отличаться от горизонтального. Однако мы ставим перед собой более скромную задачу: просто воткнуть томагавку в вертикально стоящий столб (неважно в какой точке). При такой постановке можно претензить и принять решение Земли. Влияние тяготения приведет к тому, что топор возникется в столбе несколько ниже.

В нашей модели считается — и это очень важно, — что при броске не проискит подкрутивания топора кислюто. При всем желании практически необходимости (и читатель может в этом легко убедиться на собственном опыте) в течение короткого времени броска придать томагавку заметное дополнительноевращение движением кислоты. Таким образом, в момент броска мы просто отпускаем топор, предоставляя ему далее движаться свободно.

Введем следующие параметры (см. рисунок на с. 19): $l$ — расстояние от центра вращения руки в локтеомysteave до точки $B$, определенное место на топорике, где мы держим топор; $a$ — расстояние от точки $B$ до точки $M$ — центра масс топора; $\alpha$ — угол, образованный рукой и топоршем. Угол $\alpha$ можно менять в нейроких пределах, однако бросать удобнее всего, когда $\alpha \approx \pi/2$. При этом скорость движения центра масс бросенного топора будет описывать следующую следующую форму:

$$v = \omega \sqrt{a^2 + l^2}.$$

21

Определим теперь угловую скорость вращения леташего томагавка. Проще всего это сделать, перейдя в систему отчета, движущуюся вместе с центром масс топора со скоростью $v$. В этой системе отчета точка $M$ (центр масс) покопится, а точка $B$ (как и все остальные точки томагавка) врашается вокруг нее; скорость $u$ точки $B$ в любой момент направлена перпендикулярно топорищу и равна $\omega_B a$, где $\omega_B$ — интересуция нас угловая скорость вращения леташего томагавка. В неподвижной системе отчета точка $B$ в момент бросания имела скорость $\omega l$, направленную перпендикулярно $l$, т. е. вдоль топорища. Таким образом,

$$u = \omega_B a = \sqrt{v^2 - (\omega l)^2}.$$

Подставив $v = \omega \sqrt{a^2 + l^2}$, получим

$$\omega_B a = \omega a, \text{ т. е. } \omega_B = \omega$$

брошенный томагавк будет враться с угловой скоростью $\omega$, равной угловой скорости вращения руки при броске. Этот вывод останется в силу, даже если угол $\alpha$ будет отличаться от $\pi/2$. Полученный результат, несмотря на свою простоту, очень важен. Действительно, из него следует, что отношение поступательной скорости движения центра масс томагавка к его угловой скорости вращения не зависит от «силы броска» (от импульса, сообщаемого топору в момент броска) и равно $v/\omega = \sqrt{a^2 + l^2}$. А это значит, что расстояние $L_n$, которое пролетит топор, сделав $n$ оборотов, также не зависит от силы броска. Учитывая, что время, необходимое для того, чтобы топор сделал $n$ оборотов, равно $2\pi n/\omega$, найдем $L_n$:

$$L_n = 2\pi n \sqrt{a^2 + l^2}.$$

Мы пришли к замечательному выводу: существует «спектр» расстояний $L_n$, и для того, чтобы при броске добавться успеха, нужно находиться от цели на расстоянии

$$L_n + \arctg (l/a)\sqrt{a^2 + l^2}$$

(появление второго слагаемого связано с тем, что в момент броска ручка топора образует с вертикальной угол, равный $\arctg (l/a)$).

Давайте оценим величины элементов «кванта» $L_1$, т. е. расстояние, пролетев которое топор сделает один оборот. Возьмем $l = 33$ см, $a = 20$ см (автор проводил измерения на собственной руке и личном плотницком топорике). Вычисления дают $L_1 = 2,42$ м. Таким образом, топор, брошенный с расстояния 2,82 м (вспомним, что к $L_1$ нужно еще прибавить слагаемое с арктигенсом), сделав один оборот, попадет в целю.

Опыт показывает, что практические без всякой тренировки можно успешно попадать в цель с расстояний $L_1$ и $L_2$. Подъем на следующее «квантовые уровни» дается уже тяжелее, однако многое знакомые автора без видимых усилений порядки сухое дерево с расстояния $L_4$, которое превышает 10 м.

«Все это замечательно,— скажет читатель.— Однако индец способен попасть в цель не только с расстояний $L_n$. Как это ему удается?»

Представляется, что все очень просто. В нашей модели имеется параметр $a$, который легко изменить: для этого достаточно, бросая томагавк, взяться за другой место на его ручке. При этом «спектр» также будет другим. Таким образом, изменение положения точки захвата $B$ приводит к размытию «уровней» $L_n$ и образование своего образной «зонной структуры». Находясь внутри одной из таких разрешенных зон, можно подобрать положение точки $B$ (или, что тоже самое, параметр $a$), сделать удачный бросок. Большое того, если пользоваться томагавком с достаточно длинной ручкой, можно добавиться перекрытия зон, отвечающих соединим уровням $L_n$ и $L_{n+1}$. Оценим необходимую для этого длину руч-

22

ки $b$. Очевидно, для того, чтобы соседние зоны перекрылись, необходимо выполнение следующей задачи:

$$2\pi n \sqrt{l^2 + b^2} = 2\pi (n + 1)\sqrt{l^2 + a_{\min}^2},$$

где $a_{\min}$ — минимальное расстояние от точки $B$ до центра масс $M$. Опыт показывает, что если $a$ меньше 10 см, бросать топор неудобно. Поэтому для оценки $b$ значение $a_{\min}$ можно принять равным 10 см. Решая последнее уравнение, найдем $b$:

$$b = \frac{1}{n} \sqrt{(2n + 1)l^2 + (n + 1)^2a_{\min}^2}.$$

Рассмотренное этого выражения показывает, что наиболее длинна топорша требуется для перекрытия первой и второй зон, т. е. для $n = 1$. Подставляя в формулу для $b$ значение $l = 33$ см, $a_{\min} = 10$ см, $n = 1$, получим $b \approx 60$ см. Для перекрытия второй и третьей зон ($n = 2$), достаточно иметь томагавк с длиной ручки $b = 40$ см, и т. д. Таким образом, для того чтобы иметь возможность с любого размера расстояния поразить цель, величины $b$ должны быть довольно большой. Недаром у индейских томагавков такая длинная ручка!

В действительности можно обойтись и меньше длиной топорша: топор может возникнуть в сухое дерево как верхней, так и нижней частью лесня, что приводит к дополнительному сбижению границ разрешенных зон. Опыт автора готовит о том, что вполне достаточно иметь топорше длиной 50 см.

Итак, рассмотренная модель показывает, что научиться метко кидать томагавк не так уж сложно. Нужно лишь оценить расстояние до цели и держать топор за соответствующей место на его ручке. При этом топор можно предварительно «програмировать», нанеся на топорше деления, отвечающие данным расстояниям до цели.

А как же все-tаки индейцы бросают томагавк? Вполне возможно, что они делают это описанным выше способом. Но может быть они ухитрются еще и подкрутить топор кистью? Автор этого не знает, поскольку не знаком ни с одним индейцем. Остается лишь найдется, что такое знакомство все же когда-нибудь состоит, и уже тогда автор не упустит возможности выведать дополнительные секреты этого замечательного искусства.

Метание томагавка — увлекательный вид спорта. может быть, он найдет у нас своих приверженцев, которые образуют ассоциацию, будут проводить севернования и — кто знает? — когда-нибудь добавится включения его в Олимпийскую программу?