Ещё раз о сплетающихся прямых

33

Еще раз о сплетаюшихся прямых

Задча M1085 (условие см. в «Кванте» № 1, а решение — в «Кванте» № 5 за 1988 год) вызвала интересу многих наших читателей. Один из открытков на нее мы опубликовали в «Кванте» № 6 за этот год. Напомним, что в задаче идет речь о том, как по проекции набора прямы на плоскость определить, возможно ли соответствующее их расположение в пространстве или нет.

Ученик 10 класса школа-интерната № 18 г. Москвы А. Скопенков обнаружил последовательность сплетаний $L_n$, обладающих следующим интересным свойством: каждое из сплетаний не может быть реализовано в пространстве, однако при удалении из сплетания одной любой прямой оно, становится реализуемым. $n$-е сплетание $L_n$ ($n=2, 3, 4, \dots$) состоит из $(2n+1)$ прямой; закон его построения ясен из рисунков 1—3, на которых изображены сплетания, отвечающие $n=2, 3$ и 4. Обратите внимание на то, что пересечения каждой из прямы сплетания $L_n$ с остальных устройств одинаково: сначала пряма проходит $(n-1)$ раз под скрещивающимся с ней прямыми, затем один раз над ними, затем — снова под, а потом $(n-1)$ раз над ними (рис. 4).

Доказательство необходимости сплетания $L_n$ можно получить в двух решении п. a) задчи M1085. Давайте посмотрим, что будет, если удалить из $L_n$ одну пряму, например $l_i$ на рисунке 4.

Предположим, что сплетание $L'_n$, образованное остальным прямыми, невозможно реализовать в пространстве. После удаления $l_i$ прямы $l_{i-1}$ и $l_{i+1}$ можно повернуть в вертикальной плоскости, не меняя их горизонтальные проекции, сделать вертикальные и «вытащить» из сплетания. Тогда оставшееся сплетание будет попрежнему нереализуемым. Но теперь можно точно так же поворотом в вертикальной плоскости удалить прямы $l_{i-2}$ и $l_{i+2}$, сохраняя нереализуемость оставшегося сплетания, и так далее. В результате оставшегося сплетание, состоящее всего из двух прямы, которое, очевидно, реализуется в пространстве. Это противоречит предположению о нереализуемости $L'_n$.

Процесс распадения сплетания $L_n$ после удаления одной прямы колес Борромео после удаления любого из них — рисунок 5, взятый из статьи А. Т. Калинина (см. «Квант», 1981, № 9).