О треугольном бильярде

30

Диосигнал, не было оптического изображения. Обязание это является.

Задатчик, Канта́

метровый диапазон) рефракция тоже имеет место, однако виной mere, поскольку поведение коэффициента преломления воздейства для столб различных длин волн существенного различается. Это означает, что свет от Луны идет к нам «по одной кривой», а радиовольны — по другой, в результате чего оптическое изображение и «радиоизображение» не совпадает. Заметим кстати, что если бы антенна была не такой хорошей (с меньшей направленностью), описанного явления могло бы и не быть.

А.Р. Зильберман

О треугольном бильярде

В этой заметке, дополняя статью Г. А. Гальперина и А. М. Степина «Перiodические движения бильярного шара» («Квант» № 3, 1989), мы опишем еще некоторые приемы построения перiodических траекторий в треугольных бильярдах, в частности, решим задачу M1155. Напомним ее условия.

M1155. Точка движется в треугольнике, отражая от его стороны по закону «узол падения равен углу отражения». Перiodический называется такая траектория этой точки, которая является замкнутой ломаной и не проходит через вершины треугольника.
а) Докажите, что ни в каком треугольнике с различными сторонами нет четырехзвенной перiodической траектории.

Существует ли остроугольный треугольник, имеющий перiodический траекторию 6) из 5 звенев? в) из 7 звенев?

Утверждение a) этой задачи доказывается от противного. Предположим, что в некотором треугольнике имеется четырехзвенная periodическая траектория. Тогда какие-то две из четырех ее точек излома A, B, C, D находится на одной стороне треугольника, а две другие на этой стороне не лежат. Пусть, например, на стороне MN треугольника лежат точки B и D (условное расположение точки излома изобравено на рисунке 1). Хорошо известно, что на прямой MN существует только одно точка X, для которой $\angle AXM = \angle CXN$ — ее построение показано на рисунке 2. Следовательно, точки B и D совпадают, и наша траектория оказывается двухзвенной, что позволяет сделать следующее:

противоречит сделанному предположению. Ответ на оба вопросы 6) и в) утвердительный; примеры строя методы выпрямления, о котором говорилось в упомянуте.state.

Перiodический траекторию из 5 звенев (задание 6) построим в остроугольном треугольнике ABC, у которой $\angle B < \pi/4$. Отразив его симметрично относительно стороны BC, продолжим сторону BA’ полученного треугольника A’BC до пересечения в точке C’ с продолжением стороны AC исходного треугольника (рис. 3, a). Легко видеть, что возниккающий треугольник $\angle ABC'$ — остроугольный ($\angle ABC' = 2\angle B < \pi/2, \angle C' < \angle BCA < \pi/2$), и поэтому в нем существует перiodический траектория, точки излома H1, H2, H3 которой — основания высот треугольника ABC’ (это утверждение доказано в упоминав-

31

шейся статье). Заметим, что высота $BH_3$ является одновременно высотой и в треугольнике $ABC$, поэтому точка $H_3$ лежит внутри отрезка $AC$, а не на его продолжении $CC'$ (как могло бы служило оказать). Кроме того, $H_2 \in BA'$. Отразив теперь симметрично относительно прямой $BC$ часть трехвенной траектории $H_1H_2H_3$, лежащую вне треугольника $ABC$, получаем 5-звенную перiodическую траекторию в $\triangle ABC$. Другая 5-звенная перiodическая траектория получается тем же способом, если сделать вначале зеркальное отражение треугольника $ABC$ относительно стороны $AC$.

Аналогично строится остроугольный треугольник $ABC$, содержащий 7-звенную перiodическую траекторию (задча $\theta$): если $\angle B < \pi/6$, то надо сделать два зеркальных отражения треугольника $ABC$ вокруг вершины $B$ против часовой стрелки, продлит сторону $BA''$ у получившейся фигуры $\Phi = BAA'A''$ до пересечения в точке $C'$ с продолжением стороны $AC$ и построить трехвенную перiodическую траекторию $H_1H_2H_3$ в остроугольном треугольнике $ABC'$, целком расположению в фигуре $\Phi$ (рис. 3, 6) (Принадлежность траектории $H_1H_2H_3$ фигуре $\Phi$ легко доказать — оставляем это читателью.) Сворачивая затем фигуру $\Phi$ в трехслойную гармошку, т. е. делая последовательное обратные отражения зеркально-симметричных треугольников вместе с расположенными в них частями траектории $H_1H_2H_3$, получим 7-звенную перiodическую траекторию в $\triangle ABC$. Другая 7-звенная траектория получится, если делать отра

32

Значит через $E$ точку пересечения отрезка $A'B'$ с прямой $AC$. Так как в треугольнике $A'EC$ угол $A'EC$ равен
$$\pi - (\alpha + (\pi - 2\beta)) = = 2\beta - \alpha > \frac{2\pi}{3} - \alpha > > \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{8} > \frac{\pi}{2},$$
точка $C'$, как симметричная точка $C$ относительно $A'B'$, лежит ниже прямой $AC$. Оказывается, что прямая $A'C'$ наклонена влево, т. е. угол $\angle A'DC$ — острый: $\angle A'DC = \pi - (2\alpha + (\pi - 2\beta)) = 2(\beta - \alpha) < 4\alpha < \pi/2$. Из условия на $\alpha$ следует, что и угол $F'AC$ — острый.
Докажем, что в построальном треугольнике $AND$, образованном прямым $AD$, $AF'$ и $DA'$, основание высоты $H_1$, опущенной на $AD$, принимают отрезку $AC$. Действенный, как мы уже видели, $\angle A'DA < 4\alpha = \angle F'AD$, поэтому достаточно заметить, что $CD < AC$. (Последнее неравенство выполено, поскольку в треугольнике $A'CD$
$$\angle A'DC = 2\beta - 2\alpha > > 2\pi/3 - 2\alpha > \pi/2 - 2\alpha > > 4\alpha - 2\alpha = 2\alpha = \angle CA'D,$$
следовательно, $AC = A'C > CD$.)
Пусть $H_2$ и $H_3$ — основания высоты, опущенных боковые стороны треугольника $AND$. Каждый из углов треугольника $AND$ при вершинах $A$ и $D$ отличается от $\frac{\pi}{2}$ меньше чем на 0,004 (проверьте!), поэтому отрезок $H_2H_3$ пройдет ниже точки $B$. Фигуру $\Phi$, составленную из 7 треугольников, равных $\triangle ABC$ (см. рис. 4), наложим «гармошкой» на $\triangle ABC$ (как в п. 6) задачи M1155). При этом периодическая траектория $H_1H_2H_3$ в $\Phi$ перейдет в периодическую траекторию $l$ в треугольнике $ABC$, состоящую из 15 звенев, что и требовалось.
Заметим, что построенная траектория $l$ устойчива: это означает, что при небольшей деформации треугольника $ABC$ она переходит в близкую к $l$ 15-звенную периодическую траекторию.
Описанную конструкцию можно обобщить. Начнем с спомогательного треугольника $\Delta_0$ с основанием $AC$ и острыми углами $\alpha$, $\beta$ при основании, для которого построена цепочка треугольников
$$\Delta - 2l, \Delta - 1, \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{2k},$$
пересекающихся с горизонтальной прямой $AC$ и верхней полуплоскостью, причем соседние треугольники цепочки имеют общую сторону и симметрицы относительно нее. Поскольку результат применения двух последовательных отрезков относительно непараллельных осей есть поворот, то треугольник $\Delta - 2l$ повернут относительно $\Delta_0$ на некоторый угол $n_1\alpha + n_2\beta + n_3\pi$; аналогично, треугольник $\Delta_2k$ повернут относительно треугольника $\Delta_0$ на угол $m_1\alpha + m_2\beta + m_3\pi$. Предположим, что пары цепых чисел ($n_1, n_2$) и ($m_1, m_2$) непропорциональны, треугольники $\Delta - 2l$ и $\Delta_2k$ имеют стороны, перpendикулярные прямой $AC$ и на этой прямой нет других вершин треугольников цепочки, кроме $A$ и $C$. Тогда оказывается, что сколь угол малым изменением углов $\alpha$ и $\beta$ можно получить треугольники $ABC$, имеющие устойчивые периодические траектории. В частности, если $\Delta_0$ — прямой угольный треугольник с $\alpha = \pi/8$, $\beta = 3\pi/8$, то получается треугольники из расстоянего приmeta, а при $\alpha = \pi/2k$, $\beta = \pi/2l$ — треугольники из статы в «Кванте» № 3 (см. рис. 12 в этой статье).

Г. А. Гальперин, А. М. Степин