Заряженная поверхность жидкости

2

ЗАРЯЖЕННАЯ
ПОВЕРХНОСТЬ ЖИДКОСТИ

Доктор физико-математических наук
В. В. ШИКИН

Кому из нас не приходилось наблюдать рябь на поверхности озера или «волны» в стакане… Возбудения эти, случайно возникнуть (от дуновения ветра, от слабого толчка), постепенно затухают — свободная поверхность жидкости возвращается в равновесное состояние. Иными словами, равновесное состояние свободной поверхности оказывается устойчивым. Однако так бывают не всегда. В ряде интересных случаев амплитуда случайно возникших малых колебаний самопроизвольно нарастает со временем. Подобное состояние диамической системы (свободная поверхность жидкости — частный случай системы) называется неустойчивым. Изучение деталей развития неустойчивости очень интересно с точки зрения понимания физики этого фундаментального явления. При этом оказывается, что процессы, происходящие в различных системах, во многом аналогичны. В этой статье мы рассмотрим наиболее известные виды неустойчивости свободной поверхности жидкости.

I. Простейшую возможность проследить за развитием неустойчивости свободной поверхности жидкости жидкости дают наблюдания за стреуей воды, вытекающий из водопроводного крана или, что лучше, из тонкой пипетки. Неустойчивость здесь проявляется в том, что пероначально гладкая цилиндрическая поверхность струи на некотором расстоянии от края пипетки становится «гофрированной», а еще ниже — распадается на отдельные капли. Пример такого поведения струи — на рисунке 1.

Суть этого явления была понята еще в конце прошло века благодаря работам извлечного английского физика лорда Рэлея. Распад струпи исходит тогда, когда энергия поверхности натяжения жидкого цилиндра $W_\pi$ оказывается больше, чем энергия $W_\kappa$ капель, которые могут из него образоваться:

$$W_\pi > W_\kappa.$$ (*)

В самом процессе «деления» струи на капли решающего роль играют силы поверхности натяжения. Кроме этих сил в задаче о вытекании струи из отверстия участуют силы тяжесте. Однако они в данном случае направлены вдоль поверхности струи и потому не принимают активного участия в развитии неустойчивости (ситуация меняется, если граница нормальная направления силы тяжесте; об этом случае мы поговорим позже).

Посмотрим, при каких условиях соответствуют неустойчивие (*).

Итак, пустыли невозмщенного цилиндра равна $l$, а его радиус — $r_\pi$. В этом случае поверхности энергия цилиндра —

$$W_\pi = 2\pi r_\pi l\sigma,$$

где $\sigma$ — коэффициент поверхности натяжения. Если цилиндр распадается на $n$ примерно одинаковых капель с радиусом $r_\kappa$, то поверхности энергия всего наората этих капель равна

$$W_\kappa = 4\pi r_\kappa^2 n\sigma.$$

Суммарный объем капель равен объеме цилиндра (полный объем жидкости сохранется). Из этого условия мы можем найти связь капли с радиусом цилиндра:

$$\pi r_\pi^2 l = \frac{4}{3} \pi r_\pi^3 n,$$

таким образом, неравенство (*) выполняется, когда

$$r_\pi l > 2n \left(\frac{3}{4} r_\pi^2 \frac{l}{n}\right)^{2/3},$$

3

t. е. цилиндр становится неустойчным, если его длина в несколько раз больше радиуса $r_\pi$:

$$\frac{l}{n} > \frac{9}{2} r_\pi.$$

При $n=1$ это условие выполняется для $l > 4,5$ $r_\pi$.

Более точное рассмотрение, принимающее логическое Рэлею, показывает, что события в данной задаче развиваются следующим образом. На поверхности гладкого жидкого цилиндра, падающего вниз из отверстия пипетки, возникают по разным случайным причины слабые колебания. Длины волн $\lambda$, соответствующие этим колебаниям, могут быть различными. Если $\lambda$ меньше некоторого критического значения $\lambda^*$ ($\lambda < \lambda^*$), колебания оказываются затухающими — спонтанно возникнуть, они быстро гаснуть. Однако «длинноволновые» колебания — с $\lambda > \lambda^*$ — с лучейно возникнуть, начинают наращивать свою амплитуду. Критическая длина волны, разделяющая всю совокупность возможных колебаний на два качественного разных класса — устойчивых и неустойчивых, оказывается равной $\lambda^* = 2\pi r_\pi$.

Это несколько больше значения $\lambda^* = 4,5r_\pi$, полученного с помощью наших элементарных расчудений, нотракает те же физические принципы возникновения неустойчивости. В тот момент, когда амплитуда нарастающих колебаний становится сравнимой с радиусом жидкого цилиндра, начинается распад цилиндра на отдельные капли. Время развития неустойчивости нетрудно оценить, зная скорость вытекания жидкости из пипетки и измеряя длину невозмщенной части жидкого столба.

II. Распад жидкой струи можно значительноускорить, вводя в задачу дополнительные силы электрического проискождения.

Если в жидкости имеются одноменное заряженные частицы, они в результате кулоновского отталкивания будут скапливаться на «вершинах» гофа, покидая его «долины» (рис. 2). Подобное неоднородное распределение поверхностиного заряда дополнительно детабилирует обстановку,ускоряя процесс развития неустойчивости.

Введение зарядов в струю осуществляется по схеме, изображенной на рисунке 3. Источник выскокого напри挛ения $U$ включает между объемом жидкости, заполняющей резервуар, и цилиндрической проводящей поверхности, охватывающей падающий струю. В результате весь столбец жидкости вплоть до границ его распада на капли оказывается подверженным воздействию радиального симметричного электрического поля, стремящемся разорвать струю. К чему

Рис. 1. Струя воды, вытекающая из пипетки (диаметр 1,1 мм).
Рис. 2. Кулоновские силы отталкивания стимулируют неустойчивость струи.
Рис. 3. Схема эксперимента по стимулирунию неустойчивости струи электрического поля.

5

затухать, или их амплитуда начинает увеличиваться — зависит от соответствия поверхности поверхности энергии капли-ядра и энергии кулоновского взаимодействия протонов. Различие в природе ядерных и кулоновских сил приводит к тому, что с ростом порядового номера ядра в таблице Менделеева (с ростом числа протонов) энергия электростанческого взаимодействия натяжения капли-ядра. В результате существует некоторый критический номер элемента периодического системы Менделеева, начиная с которого ядра оказываются неустойчивыми — под влиянием поверхности кулоновского процесса разрыв капли-ядра, т. е. деление ядра.

Теория Френкеля, Бора, Уилера и ее дальнейшие уточнения позволяют найти этот критический номер — он отвечает положению урана в таблице Менделеева.

Классическая формула, определяющая область устойчивости загруженной сферической капли, была получена в 1882 году лордом Рэлеем:

$$Q^2 < 16\pi r_k^3 \sigma$$

(Q — полный загрязнющий между силими поверхности поверхности энергии, удерживающими каплю радиусом $r_k$ в «сферическом» состоянии, и кулоновскими силими, стремящимся придать капле форму гангели (см. рис. 5).

IV. Остановимся на еще одном варианте задачи об устойчивости загруженной поверхности энергии жидкости — когда поверхности горизонтальная и присутствуют силилы тяжесте. В этом случае гравица принимает активное участие в формировании избитовной энергии при деформации свободной поверхности жидкости, и задача о поведении кулебания загруженной поверхности жидкости становится заметно богате, чем в вариантах без гравицы, которые мы do схх пор рассматривали.

Описание конкретных эффектов удобно найти с обслуживания сравнительно простой формулы, определяющей связь между частотой $\omega$ и длиной волны $\lambda$ колебаний загруженной поверхности жидкости.

$$\omega^2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \varrho g + \frac{4\pi^2 \sigma}{\lambda^2} - \frac{8\pi^2 \alpha}{\lambda} \right).$$

Первый член (в скобках) отражает влияние сил gravитации (g — ускорение силы тяжесте), второй — сил поверхностиного натяжения, третий — сил электросектора проискождения (α — поверхностиная плотность загрязнения).

Формула (**) впервые получена Я. И. Френкелем (1935). (Кстати, становится ясно, что Френкель интерсовался проблемами устойчивости еще в 1935 году. Поэтому, когда в 1939 году возникла задача о распаде тяжеклы ядра, быстро сравотали нужные ассоциации.)

В случае $\alpha = 0$ (жидкость не загрязнена) $\omega^2 > 0$ для любых значений $\lambda$. В этих случаях существуют незначительные малые колебания свободной поверхности жидкости, известные еще lorsду Рэлею. Поверхность жидкости устойчива.

Посмотрим, что происходит с колебаниями загруженной поверхности жидкости, т. е. при $\alpha \neq 0$. Как видно из (**), с ростом $\alpha$ частота колебаний с заданной длиной волны $\lambda$ уменьшается и при неокоторая критической

6

При котором заряженная поверхность наименее устойчива. Величина $\alpha^*$ и ответающая ей длина волны $\lambda^*$ определяются соответствиями

$$\left(2\pi \alpha^*\right)^4 = \frac{\rho g}{\sigma}, \quad \frac{2\pi}{\lambda^*} = \left(\frac{\rho g}{\sigma}\right)^{1/2}.$$

Длина волны $\lambda^*$ получила название капиллярной. Напомним в связи с этим, что в случае жидкого цилиндра и сферической капли «опасные» флуктуации развились на длине волны, сравним с размерами цилиндра или сферы.

Эксперименты, выполненные в последнее время на заряженной поверхности жидкого гелия, полностью подтверждают предсказания, следующие из формулы (**). На рисунке 6 приведены результаты таких экспериментов.

Каково же дальнейшее поведение заряженной поверхности жидкости? Если в обсуждавшихся ранее случаях нарушение критических условий приводило к нестандартным явлениям — распаду жидкой структуры, разрыву заряженной капли, — то в «плоком» варианте задачи при осторожном переходе в закритическую область возникнет новое, «реконструированное» состояние заряженной поверхности жидкости — так называемый луночный кристалл. На поверхности жидкости установливается стоячая волна деформации, имеющая перiodическую структуру с характерным периодом, равным капиллярной длине волны $\lambda^*$. Вид свободной поверхности жидкости в этом случае представлен на рисунке 7.

Естественно, что при дальнейшем увеличении $\alpha$ Staционное реконструированное состояние заряженной поверхности жидкости также становится неустойчивым. Описание этой стадии развивается собственный практический отсутствует ввиду сложности управления, определенных dinamикку поверхности в области $\alpha \gg \alpha^*$. Что касается реального поведения жидкой поверхности, то общее представление об этом дает рисунок 8 — это fotografия свободной поверхности жидкой меди в сильном электрическом поле, нормальном к границе.