XXX Международная математическая олимпиада

57

XXX
Международная математическая олимпиада

Кандидат физико-mатематических наук
В. В. ВАВИЛОВ,
кандидат физико-mатематических наук
А. А. ФОМИН

За тридцать лет своего существования Международная олимпиада по математике прошла впечатляющий путь развития. В первой ММО, состоявшейся в 1959 году в Румынии, приняли участие только 7 стран. В этом году олимпиада собрала команды уже из 51 стран; в ней впервые участвовали команды Индии, Португалии и Тонга, а Япония, Дания, Нигерия и Берег Слоновой Кости направили свои офисные наблюдаемые.

XXX ММО проходила в древнем города Брауншвейг, впервые упомянутом в летописах в 1031 году. Этот город в ФРГ был выбран местом проведения олимпиады не случайно,—ведь именно здесь были заложены основы школьного образования в Германии. Уроженцами Брауншвейга были «король математиков» Карл Фридрих Гаусс и его ученик Рихард Дедекинд. Отдавая данные своему велиkomу соответственику, организаторы олимпиады использовали в эмблеме олимпиады правильный семнадцатнуюгольник. Дело в том, что, когда Гауссу было 19 лет, он полностью решил древню задачу о возможностti построения циркулем и линейкой правильных многоугольников. В частности, он впервые доказал возможность построения правильного 17-угольника.

Волимпиде участвовал 321 школьник. Нашу страну представляли Дмитрий Иванов (Москва, с.ш. № 57), Сергей Иванов (Ленинград, с.ш. № 239), Евгения Малининкова (Ленинград, с.ш. 239), Владимир Рагулин (ФМШ № 18 при МГУ), Мария Рогинская (Ленинград, с.ш. № 239) и Аркадий Скопенков (ФМШ № 18 при МГУ). Их успехи отражены в таблице, показывающей количество баллов, полученных за решение каждой задачи, общую сумму баллов каждой учетника и полученную им нагруду. Традиционно олимпиада проходила в 2 тура. В каждом type (продолжительность в 4,5 часа) предлагалось по три задачи. Все задачи оценивались по 7 баллов.

Золотая медаль этой олимпиады была третьей, полученной Сережей Ивановым на международных олимпиадах. Вторую свою золотую медаль получил Дима Иванов. Выдающийся успех, юность и обаяние ученицы 9 класса Жени Малининковой сделали ее одной из самых популярных учетниц олимпиады.

Проверка работы была жесткой: ни одна ошибка или неточность в оформлении решения задачи не прошлась.

Олимпиада прошла в более скватные, чем обычное, сроки и была насыщена экскурсиями, встречи, вечерами отдыха, играми, танцами и т. д. Для этого много сделали Федеральный министр образования и науки Юрген В. Меллеман, министр просвещения земли Нижней Саксонии Хорст Хорман, бургомистр Брауншвейга Герм-

58

хард Глоговски и председатель жюри профессор Артур Энгель. Большое вимание организации проведения MMO уделил канцлер ФРГ Хельмут Коль.

При закрытии XXX MMO профессор А. Энгель, теплло поздравляя участков, отметил: «Часто забывают, что MMO — индивидальное совершение. Состязают друг с другом нестраны. Это было бы абсурдно… Сложение баллов по отдельным странам не запрещено, но официально не предусмотрено и немного неправедливо…» Присоединясь к этим словам, мы все-tаки ответим на многочисленные вопросы и приведем общие суммы баллов по первым десяти странам: Китай (237), Румыния (223), СССР (217), ГДР (216), США (207), ЧССР (202), НРБ (195), ФРГ (187), Вьетнам (183), Венгрия (175).

Следующие две Международные олимпiadы по математике прошут в Китае и Швеции, а в 1992 году — в СССР.

Несколько слов о подготовке и формировании нашей команды для участия в MMO. Кандидатами в команду зачислются учащиеся, получившие I и II premio на заключительном этапе Всесоюзной математической олимпiadы, по решению жюри ВМО. В программу подготовки команды входят 8—10 заочных заданий на специальные темы и два учебно-тренировочных (и оборочных) очных сбора: неделя зимой и месяц в июне перед самым ответом.

Поздравляем советских участников олимпiadы и их учитель с успешным выступлением на XXX MMO, желаем им успев в учебе и труда, хорошо здоровья, прекрасно настроения и большего счастья.

Задачи

1. (Филиппины). Докажите, что множество {1, 2, …, 1989} можно представить в виде объединения попарно непересекающихся множеств $A_i$ ($i=1, 2, ..., 117$) таких, что
   a) каждое из множества $A_i$ имеет 17 элементов;
   b) $S_1 = S_2 = ... = S_{117}$, где $S_i$ — сумма чисел множества $A_i$.
2. (Австралия). Биссектрисы углов $A, B, C$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекают описанную около него окружность в точках $A_1, B_1, C_1$ соответствующего. Примяя $AA_1$ пересекает биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ треугольника $ABC$ в точке $A_0$. Точки $B_0$ и $C_0$ определяются аналогично.

Докажите, что
a) $S_{A_0B_0C_0} = 2S_{AC_1BA_1CB_1}$;
b) $S_{A_0B_0C_0} \geq 4S_{ABC}$.
3. (Венгрия). Пусть $n$ и $k$ фиксированные натуральные числа, $n \geq k$. Множество $S$ и $n$ точек плоскости обладает следующими свойствами:
a) никакие три точки из $S$ не лежат на одной прямой;
b) для любой точки $P \in S$ существует не менее $k$ различных точки из $S$, равной длины от $P$.
Докажите, что
$$\frac{1}{\sqrt{h}} \geq \frac{1}{\sqrt{AD}} + \frac{1}{\sqrt{BC}}.$$

4. (Исlandия). Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, стороны $AB, AD$ и $BC$ которого удовлетворяют равенству $AB=AD+BC$. Внутри этого четырехугольника существует точка $P$ такая, что $AP=h+AD$ и $BP=h+BC$, где $h$ — расстояние от точки $P$ до прямой $CD$. Докажите, что
   $$\frac{1}{\sqrt{h}} \geq \frac{1}{\sqrt{AD}} + \frac{1}{\sqrt{BC}}.$$

5. (Швеция). Докажите, что для любого $n$ последовательных натуральных чисел, каждое из которых не является степенной простого числа с целым показателем.

6. (Польша). Известен перестановку $(x_1, x_2, ..., x_{2n})$ из чисел 1, 2, …, $2n$ удобной, если $|x_i - x_{i+1}| = n$ по крайней мере для одного значения $i \in \{1, 2, ..., 2n-1\}$. Докажите, что при любом $n$ большие положины всех возможных перестановок являются удобными.