Задачи М2116—М2123; Ф2123—Ф2129

25

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 мая 2009 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №1–2009» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2116» или «Ф2123». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам math@kvant.info и phys@kvant.info соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи M2118 и М2121 предлагалась на IV Всероссийской олимпиаде по геометрии имени И.Ф.Шарыгина, задачи М2119, М2120 и М2123 – на XXX Турнире городов.

Задачи М2116–М2123, Ф2123–Ф2129

M2116. Полный набор домино выкладывается на столе в замкнутую цепь, и для всех пар соседних доминошек вычисляется модуль разности очков на клетках, которыми они соприкасаются. Обозначим через S сумму всех таких модулей разностей. Ясно, что наименьшее значение S равно 0 (это происходит в том случае, когда замкнутая цепь выложена по правилам домино). А какое наибольшее значение может принимать сумма S? А.Грибалко

M2117. Существует ли арифметическая прогрессия из 2008 различных натуральных чисел, произведение которых равно точной 2009-й степени натурального числа? Г.Гальперин

M2118. Докажите, что в треугольнике ABC с углом A, равным $120^\circ,$ расстояние от центра описанной окружности до точки пересечения высот равно AB + AC. В.Протасов

M2119. В бесконечной последовательности $a_{1}, a_{2}, a_{3},^{K}$ число $a_{1}$ равно 1, а каждое следующее число $a_{n}$ строится из предыдущего $a_{n} -_{1}$ по правилу: если у числа n наибольший нечетный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то $a_{n} = a_{n} -_{1} + 1$, если же остаток равен 3, то $a_{n} = a_{n} -_{1} - 1$. Докажите, что в этой последовательности все числа положительны, причем каждое натуральное число встречается в ней бесконечно много раз. А.Заславский

M2120. Многочлен P ( x ) с действительными коэффициентами таков, что уравнение P ( m ) + P ( n ) = 0 имеет

бесконечно много решений в целых числах m и n. Докажите, что график функции y = P ( x ) имеет центр симметрии. А.Шаповалов

M2121. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF параллельны. Назовем его «высотами» векторы с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны, перпендикулярные им и направленные от AB к DE, от EF к BC и от CD к AF. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его «высот» равна нулевому вектору. А.Заславский

M2122. а) Докажите, что любое натуральное число n, большее 17, можно разложить в сумму трех натуральных попарно взаимно простых слагаемых, каждое из которых больше 1. б*) Выясните, конечно или бесконечно множество натуральных чисел, не представимых в виде суммы трех взаимно простых в совокупности натуральных слагаемых, любые два из которых не взаимно просты. В.Лецко

M2123. Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть 2 варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-й попытке)? В.Клепцын