Отражение от тонких цилиндрических зеркал

47

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

Отражение от тонких цилиндрических зеркал

А.АНДРЕЕВ, А.ПАНОВ

ВОБЫДЕННОЙ ЖИЗНИ МЫ ЧАЩЕ ВСЕГО ИМЕЕМ ДЕЛО С плоскими зеркалами, в оптических приборах используются сферические и параболические зеркала, а вот с цилиндрическими зеркалами мы сталкиваемся редко. Разве что в аттракционе под названием «комната смеха» или в анаморфоскопах – приборах для рассматривания специально искаженных (анаморфных) изображений (рис.1). В то же время, большое количество предметов вокруг нас имеют именно цилиндрическую форму – это всевозможные цилиндрические емкости, трубы, ветки деревьев, троллейбусные провода и многое другое. Некоторые из них являются хорошими отражателями. Тонкие цилиндрические зеркала. Проще всего исследовать отражение от тонкого цилиндрического зеркала, радиус поперечного сечения которого достаточно мал по сравнению с расстоянием до наблюдателя. Хорошим примером таких зеркал могут служить троллейбусные провода, освещенные автомобильными фарами или уличными фонарями. Рассмотрим простейший случай, когда на тонкое цилиндрическое зеркало падает тонкий пучок параллельных лучей, полностью перекрывающий зеркало по диаметру. Оказывается, что отраженные световые лучи образуют конус, осью которого является зеркало, а одной из образующих – продолжение падающего светового пучка. Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться принципом Ферма. А вот и экспериментальное подтверждение – оно представлено на рисунке 2. Тонким цилиндрическим зеркалом здесь служит обычная иголка, на которую падает лазерный луч.

Рис.1. Использование цилиндрического зеркала в качестве анаморфоскопа

Пересечением конуса отраженных лучей с плоским экраном может быть любое коническое сечение – эллипс, парабола или гипербола, все зависит от расположения экрана. Если же падающий луч перпендикулярен зеркалу, то отраженный конус превращается в плоскость (рис.3).

Опишем несколько простых ситуаций, где используется высказанное нами утверждение. Легко представить себе, что происходит, когда все протяженное тонкое цилиндрическое зеркало освещено пучком параллельных лучей. В этом случае все пространство окажется заполненным одинаковыми конусами, состоящими из отраженных лучей, а цилиндрическое зеркало будет общей осью этих конусов. Если же зеркало освещается точечным источником, то мы тоже получим систему соосных конусов, только они уже не будут одинаковыми. В ближайшей к источнику точке зеркала конус будет представлять собой плоскость, т.е. иметь угол раствора $180^\circ.$ По мере удаления вершины конуса от источника угол раствора конуса будет уменьшаться до $0^\circ.$ Если цилиндрическое зеркало – это отрезок тонкого провода, то провод можно изогнуть, и при отражении от такого изогнутого цилиндрического зеркала мы опять получим систему конусов. Но они уже не будут соосными, а осью каждого отраженного конуса будет служить касательная к зеркалу – прямая, которая вместе с точкой отражения содержит и маленький отрезок провода.

Светящиеся круги из веток. Мокрые оголенные ветки многих пород деревьев являются хорошими отражателями. Если посмотреть через крону такого дерева на уличный фонарь, то можно обнаружить, что отражающие участки веток образуют узор, складывающийся в систему концентри-

Рис.2. Тонкое цилиндрическое зеркало – иголка: слева на экране эллипс, справа – гипербола

Рис.3. Когда падающий луч перпендикулярен зеркалу, отраженные лучи заполняют целую плоскость

48

КВАНТ 2009/№1

Рис.4. Отражающие участки веток формируют узор из концентрических окружностей

Рис.5. Слева – «крона» дерева, справа – отражающие участки «ветвей»

ческих окружностей (рис.4). Одно из объяснений этого факта содержится в известной книге М.Миннарта «Свет и цвет в природе». Мы приведем здесь другое рассуждение, основанное на том, что каждую ветку в отдельности можно считать тонким цилиндрическим зеркалом. Компьютерная модель. Смоделируем крону дерева случайным набором тонких цилиндрических зеркал – отрезков единичной длины, расположенных между точечным источником и наблюдателем. Каждая точка такого отрезка после отражения излучает конус. Мы хотим найти на этом отрезке такую точку, чтобы одна из образующих соответствующего конуса попала в глаз наблюдателя. На самом деле, из-за протяженности источника нужное нам отражение будет происходить не только от этой точки, но и от небольшого участка ветки, содержащего эту точку. На рисунке 5 слева изображена крона, представленная набором случайных единичных отрезков, ось источник-наблюдатель перпендикулярна плоскости рисунка. Справа оставлены небольшие (длиной 1/10) участки отрезков, отражающие лучи в глаз наблюдателя. В целом эти участки действительно складываются в узор, сходный с тем, что изображен на рисунке 4. Отметим еще, что в «кроне» имеются отдельные отрезки, которые не укладываются вдоль концентрических окружностей. Но все они имеют небольшую длину, а это значит, что они почти что параллельны оси источник-наблюдатель. Модель из булавок. Вот если бы все ветки лежали в плоскости, перпендикулярной указанной оси, то их участки, которые отражают в глаз наблюдателя, были бы касательны-

ми к концентрическим окружностям. Это следует из того, что в точке отражения, откуда световой луч приходит к наблюдателю, падающий луч перпендикулярен к ветке и отраженный конус представляет собой плоскость, перпендикулярную ветке. Вот еще одна модель, на этот раз физическая, которая подтверждает этот факт (рис.6). Здесь в качестве отражателей использованы обычные булавки, лежащие на стекле. Царапины на стекле. К слову сказать, и булавки вовсе не обязательны, можно обойтись одним лишь куском стекла – отражать будут имеющиеся на нем царапины (рис.7). Этот пример тоже описан в книге Миннарта, и автор добавляет, что царапины на стекле уже достаточно тонки, чтобы при взаимодействии с ними свет мог проявить свои волновые свойства. Свет дифрагирует на них, и мы видим их окрашенными в цвета спектра. Взгляд сквозь моток проволоки. Наконец, последняя модель. Мы уже говорили, что цилиндрическое зеркало можно изогнуть. Возьмем на этот раз в качестве отражателя целый моток запутанной проволоки и посмотрим через него на источник света (рис.8). Мы видим те же самые кольцевые узоры и убеждаемся, что моток проволоки точно так же успешно моделирует отражающие свойства кроны дерева. Проволока, используемая нами в эксперименте, достаточно тонка – ее диаметр составляет всего 0,2 мм. Поэтому и здесь возникает соответствующая дифракционная картина. Чтобы увидеть ее, нужно аккомодировать глаз (или настроить объектив фотоаппарата) на бесконечность. Мы не будем входить в детали (этот эксперимент подробно обсуждается в

Рис.6. В качестве отражателей здесь использованы булавки

Рис. 7. Светящиеся кольца из царапин на стекле

64

КВАНТ 2009/№1

Рассмотрим теперь отдельный прямоугольник, разбитый на 4 клетки. Пусть длины его сторон x (по горизонтали) и y (по вертикали). Ясно, что у одной из белых клеток длина горизонтальной стороны не меньше x/2. Пусть для определенности эта клетка верхняя левая. Горизонтальную прямую, разделяющую прямоугольник, можно тогда передвигать вниз до тех пор, пока отношение площади левой верхней клетки (белой) к левой нижней (черной) не станет равно 2. При этом условие задачи (о том, что площадь любой белой клетки не больше удвоенной площади любой черной клетки) по-прежнему будет выполнено, а суммарная площадь белых клеток только увеличится (или не изменится). Дальше прямую двигать нельзя (нарушится условие задачи). Аналогично, после этого можно двигать вправо вертикальную прямую (пока площадь верхней левой клетки не станет в 2 раза больше площади верхней правой). Стороны верхней левой клетки будут тогда равны 2x/3 и 2y/3, площадь белых клеток будет равна 4xy/9 + xy/9 = 5xy/9, а площадь черных будет равна xy – 5xy/9 = 4xy/9. Получили, что отношение площади белых клеток к площади черных равно 5/4 и больше быть не может. Осталось привести пример, когда в каждом из 16 прямоугольников нужное отношение равно 5/4. Разделим доску так, чтобы наши 16 прямоугольников были одинаковыми квадратами, в каждом из них левая верхняя клетка была квадратной, причем ее стороны в 2 раза длиннее сторон правой нижней клетки. Ясно, что так разделить доску можно, и получится искомый пример. 2. Не обязательно. Приведем один из примеров, который нетрудно описать. Будем считать, что в пространстве заданы три направления: вверх-вниз, вправо-влево, вперед-назад. Сначала заполним все пространство кубиками обычным образом. Выберем теперь один из кубиков. К нему примыкают такие шесть бесконечных столбиков толщиной в один кубик: два параллельных столбика соответственно слева и справа, направленные вверхвниз, два других – спереди и сзади, направленные влевовправо, и еще два – снизу и сверху, направленные вперед-назад. Сдвинем каждый столбик вдоль его направления на половину длины ребра кубика (первые два сдвинем вверх, следующие два – влево, следующие два – вперед). Все пространство по-прежнему будет заполнено, но выбранный кубик ни с одним другим не будет граничить по целой грани. 3. Всегда может выиграть второй игрок. Разберем два случая. Пусть N > 2 нечетно. Докажем, что второй может каждым своим очередным ходом объединять две наибольшие имеющиеся кучки. Сначала первый обязательно сделает кучку из двух орехов, после чего второй сделает кучку из трех орехов, и ситуация после хода второго будет такая: в наибольшей куче нечетное число орехов, а в каждой из остальных кучек по одному ореху. В такой ситуации у первого есть две возможности. Либо он сделает кучку из двух орехов – и тогда второй присоединит ее к наибольшей куче. Либо он увеличит наибольшую кучку на один орех – тогда в ней будет четное число орехов, и так как N нечетно, то останется еще хотя бы одна кучка из одного ореха, и второй сможет присоединить один орех к наибольшей кучке. В итоге снова получается описанная ситуация. Мы видим, что у второго всегда есть ход. Кучи со временем кончатся, и первый проиграет. Пусть N > 2 четно. Заметим, что после хода любого игрока число куч уменьшается на одну. Следовательно, перед ходом второго игрока число куч всегда нечетно. Пусть второй действует так же, как и в

случае нечетного N, до тех пор, пока перед его ходом не останутся три кучи. Если в двух «маленьких» кучах по одному ореху, он просто объединяет «маленькие» кучи и оставляет первому две кучи с четным числом орехов – и тот проиграл; если в «маленьких» кучах один и два ореха, то добавляет один орех в наибольшую кучу (и снова первый проиграл). 4. Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Так как четырехугольник $A_{1}$ BCD вписан в окружность, имеем BO Ч $OD = A_{1} O$ Ч OC (из подобия треугольников $BOA_{1}$ и COD). Аналогично, BO Ч OD = AO Ч $OC_{1}, AO$ Ч OC = = BO Ч $OD_{1}$ и AO Ч $OC = B_{1} O$ Ч OD. Из первых двух равенств получаем, что $OC AO = OC_{1} A_{1} O$, из двух других получаем, что $BO OD = B_{1} O OD_{1}$. Заметим, что условие параллельности сторон BC и AD трапеции ABCD можно записать в виде BO/OD = OC/AO (из подобия треугольников BOC и DOA). Но тогда (из предыдущего) $BO_{1} OD_{1} = OC_{1} A_{1} O$, т.е. стороны $B_{1} C_{1}$ и $A_{1} D_{1}$ параллельны. Аналогично проверяем, что непараллельность сторон AB и CD влечет непараллельность сторон $A_{1} B_{1}$ и $C_{1} D_{1}$. Значит, $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ – трапеция, что и требовалось доказать. 7. См. решение задачи М2123 «Задачника «Кванта» в одном из следующих номеров журнала.

©

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

C.А.Дориченко, А.А.Егоров, С.П.Коновалов, А.Ю.Котова, В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

НОМЕР ОФОРМИЛИ

Д.Н.Гришукова, В.В.Иванюк, А.Е.Пацхверия, М.В.Сумнина

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР

Е.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППА

Е.А.Митченко, Л.В.Калиничева

Журнал «Квант» зарегистрирован в Комитете РФ по печати. Рег. св-во №0110473

Адрес редакции: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» Тел.: 930-56-48 Е-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info, phys@kvant.info Сайт: kvant.info

Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени «Чеховский полиграфический комбинат» 142300 г.Чехов Московской области, Сайт: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru Факс: 8(49672) 6-25-36, факс: 8(499) 270-73-00 Отдел продаж услуг многоканальный: 8(499) 270-73-59