Над пожаром — самолёт

Вышинский В. В., Кудров М. А., Стасенко А. Л.

Квант 2010, №6 с. 2, 3, 10, 13, 14, 15, 16 Тег KYZR

Над пожаром – самолет

В.ВЫШИНСКИЙ, М.КУДРОВ, А.СТАСЕНКО

« Т

О ЛЕТО БЫЛО ГРОЗАМИ ПОЛНО,/ ЖАРОЙ И ДУ- хотою небывалой, /…/И солнце даже в полдень было ало» (Н.Гумилев). В таких условиях высока вероятность страшных лесных пожаров. Вот художественное описание одного из них: «Огонь шел торопливой, рокочущей лавиной, бешено неся всему смерть. Деревья, будто собираясь бежать, пытались сорваться с места, раскачиваясь и тревожа корни. Но тщетно гудели они вершинами, тщетно роняли смолистые слезы. Еще мгновение – и враз вспыхивает, подобно оглушительному взрыву, целая стена ужаснувшихся деревьев, с треском одеваются хвои в золото, и все тонет в огне. Дальше и дальше, настойчиво и властно плывет пылающая лава, и нет сил остановить ее» (из повести «Тайга» В.Я.Шишкова). Оказывается, сила, способная остановить пожар, есть. Это – авиация. И действительно, кто кроме противопожарного самолета сможет за несколько секунд набрать десяток тонн воды из реки, озера или моря и сбросить их на пылающую полосу леса с безопасной высоты? Конечно, чем больше высота, тем безопасней. Но если забраться слишком высоко – то что долетит до земли? Рассеянное облако капель? Благодаря многолетнему опыту уже выработана минимальная норма: для тушения крупного лесного пожара перед его фронтом нужно создать полосу орошения порядка десяти метров шириной, причем на каждый квадратный метр площади орошения должен выпасть примерно один литр воды. Понятно, что существует оптимальная высота работы самолета такая, что, с одной стороны, ширина падающей массы воды успеет вырасти до десяти метров за счет деформации и дробления ее первоначального объема, а с другой – еще не вся масса превратится в капли, легко уносимые ветром. Можно оценить и длину полосы орошения. Если самолет сбросит, например, три тонны воды (или $3 \cdot 10^{3}$ л), то при норме поверхностной плотности 1 л $м^{2}$ и требуемой ширине полосы 10 м получим длину порядка 300 м. Но это если бы вся вода долетала до этой полосы и оседала равномерно. А если долетает только половина, то эта длина сокращается вдвое, а если треть, то… И тут уже нужно строить физикоматематическую модель процессов, происходящих со сброшенной водой. Для начала обратимся к эксперименту. В летных условиях трудно что-либо измерить внутри падающей массы воды (разве что посадить туда аквалангиста с парашютом и приборами). Однако, кое-что дают и внешние впечатляющие киносъемки (рис.1). Прежде

Рис. 1. Противопожарный самолет, сбрасывающий воду

всего, видно, что жидкость через некоторое время после «выпадения» из люка распадается на части (рис.2). Этот распад происходит из-за воздействия набегающего (со скоростью $u_{0} )$ потока воздуха, который сплющивает жидкость в поперечном направлении.

Рис. 2. Дробление жидкости при падении на землю

Жидкость дробится на части на расстоянии порядка 10 м по вертикали от самолета. В этот момент скорость падения жидкости составляет приблизительно 10 м/с, а горизонтальная скорость относительно земли почти равна скорости самолета.

НАД

ПОЖАРОМ

Конечно, в этом процессе «почти вертикального» падения происходит интенсивный сдув поверхностного слоя воды. Экспериментаторы установили, что до момента дробления основного объема жидкости в виде капель уже потеряны 20–30% от начальной массы. В результате образуется широкий спектр размеров «кусков» воды – от крупных фрагментов, продолжающих разрушаться под напором воздуха, до мелкой водяной пыли, далеко простирающейся за самолетом, которая будет унесена ветром или восходящим горячим потоком от пожара. Разумеется, нас прежде всего интересует судьба тех фрагментов первоначальной массы воды, которые должны попасть в нужное место на поверхности земли. Это похоже на проблему бомбометания, которая была решена изобретением приборов, учитывающих скорость и высоту полета, ветер, а также расстояние до цели. Только в рассматриваемом случае «бомба» имеет переменную массу и непредсказуемую форму. А как заманчиво было бы сделать этакое бортовое устройство, которое вычисляло бы, с учетом всех определяющих факторов, тот момент, когда нужно нажать кнопку сброса воды. Или еще лучше – чтобы оно само нажало такую кнопку. В принципе, современный уровень развития аэрогидродинамики позволяет численно решить такую задачу, да вот беда – долго ждать, пока даже самые современные компьютеры проведут вычисления. Но попробуем исследовать отдельные черты явления, пользуясь теми подсказками, которые уже представил нам летный эксперимент. Прежде всего, выделим в струе воды, вытекающей из самолета, горизонтально-плоский фрагмент воды, который первоначально имел форму прямоугольного люка. Рассматриваемая нами жидкость обдувается встречным потоком воздуха. Используя современный пакет программ численного исследования, получим

–

САМОЛЕТ

характерную картину (рис.3), соответствующую определенному моменту времени. В нашем случае выбраны скорость полета $u_{0} = 70$ м с и момент времени t = = 0,27 с. Конечно, на рисунке приведена только половина «вида сверху» этого слоя (в целях экономии места) – поскольку имеется вертикальная плоскость симметрии. Под рисунком приведена принятая декартова система координат: ось х направлена вдоль скорости «обдува» слоя воды (она равна скорости полета с противоположным знаком), ось z – перпендикулярна ей и лежит в горизонтальной плоскости, ось y – вертикальна. Здесь же дана цветная оцифровка значений скорости и геометрический масштаб. Стрелками показано направление скоростей воздуха. Видны истонченные концевые области сильно деформированного «прямоугольника», с которых должны особенно интенсивно срываться более мелкие фрагменты и капли. За бывшим прямоугольником видно образование вихрей, которые способствуют удержанию капель вблизи падающей массы воды. Но эта модель плоского слоя предполагает, что ктото насильно удерживает воду между двумя фиксированными плоскостями. В реальности уже через короткий промежуток времени оставшаяся масса воды будет сплющена набегающим потоком воздуха и станет скорее похожа на вертикальный блин, который далее развалится на части; эти части, в свою очередь, сплющатся и развалятся и так далее – вплоть до падения на землю или полного распыления на мелкие капли (в случае очень большой высоты полета). И тут возникает другая модель постадийного дробления (см. рис.2). Пусть на некотором этапе процесса – его номер j – водяной фрагмент имеет форму шара радиусом r j. Сплющиваясь под напором воздуха, он превращается в блин (по-научному, эллипсоид вращения) с отношением осей $\Delta x \Delta y = 1 10$ , после чего

Рис. 3. Распределение скорости и образование вихря в падающем фрагменте воды

КВАНТ 2010/№6

Рис.20. Три вида кирпичей для крепости Янга

Докажите это самостоятельно. Заметим, кстати, что конструкции, с помощью которых мы задавали функции высоты, не являются единственно возможными. Например, если мы уже придумали трехмерную модель, ничто не мешает повернуть ее в пространстве. В результате высуты всех точек изменятся довольно хитро и комбинаторное правило, задающее функцию высоты, может стать совершенно неудобоваримым. Теперь, когда функция высоты задана, мы можем сконструировать «кирпичи», соответствующие флипам. Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим фигуру (квадрат из двух доминошек или ромб из четырех доминошек), в которой выполняется флип, и для каждого узла этой фигуры построим точку в трехмерном пространстве, у которой z-координата равна значению функции высоты в этом узле. Построенные точки определяют некоторый многогранник. Флипу первого вида соответствует тетраэдр, а флипам второго вида – четырехугольная пирамида (рис.20). Итак, выполнение флипа – это добавление или вынимание кирпича из некоторой коробки, где под коробкой мы, как и раньше, понимаем график минимальной функции высоты. Разбиение на домино, соответствующее пустой коробке, показано на рисунке 21 слева; полной коробке (т.е. максимальной функции высоты) соответствует разбиение на рисунке 21 справа. Как видим, у нашей коробки две противополож-

Рис.21. Пустая и заполненная коробки

ные вершины крепости расположены низко (на высоте 0), а две другие – высоко (на высоте 3). Таким образом, коробка для кирпичей по форме близка к тетраэдру (сравните с рисунком 20,а). Несколько примеров заполнения коробки показаны на рисунках 23–27.

Опишем процесс заполнения пустой коробки по слоям на примере коробки $5 \times 5$ . Самое низкое место в пустой коробке – это диагональ, идущая слева снизу вправо вверх (рис.21, слева). Положим вдоль этой диагонали 5 тетраэдров, верхние ребра тетраэдров находятся на высоте 1 (рис.22,а; на рисунке 25 показано, как выглядит коробка, когда добавлен один тетраэдр). На диагонали осталось 6 точек, находящихся на высоте 0. С крайними мы ничего сделать не сможем, а остальные 4 точки накроем перевернутыми пирамидами (кирпичи третьего вида, см. рис.20,в), получится большая плоская площадка на высоте 1 (рис.22,б). На этой площадке мы можем поставить 6 пирамид (кирпичи второго вида, см. рис.20,б), вершины пирамид должны находиться над отмеченными узлами. Другое размещение пирамид тут невозможно, потому что, как мы отмечали, центр ромба, где происходит соответствующий флип, должен лежать на базовой квадратной сетке; если же, к примеру, сделать флип в ромбе с центром на рассматривавшейся диагонали, то это приведет к удалению одной из только что уложенных перевернутых пирамид (рис.26). Итак, добавив 6 пирамид, мы получили картинку, изображенную на рисунке 22,в. Добавленные пирамиды соприкасаются друг с другом и с коробкой ребрами на высоте 1, положим на эти ребра тетраэдры: 9 тетраэдров на ребра, идущие в одном диагональном направлении, и 4 – на ребра второго диагонального направления; результат показан на рисунке 22,г. Оставшиеся внутри площадки вершины на высоте 1 накроем 6 перевернутыми пирамидами, получится большая плоская площадка на высоте 2 (рис.22,д). На эту площадку мы ставим 4 пирамиды с вершинами, расположенными над отмеченными узлами, результат показан на рисунке 22,е. Если теперь закрыть ребра, лежащие на высоте 2, пятью тетраэдрами, получится заполненная коробка (см. рис. 21, справа). Вся эта конструкция напоминает укладывание яиц в коробку: сначала кладут подложку с лунками для яиц, потом кладут сами яйца, а сверху их закрывают перевернутой подложкой и т.д. Для подсчета количества флипов нам понадобится следующая лемма.

Лемма $2. 1 \cdot ( n - 1 ) + 2 \cdot ( n - 2 ) + 3 \cdot ( n - 3 ) +^{…}$

… $+ ( n - 2 ) \cdot 2 + ( n - 1 ) \cdot 1 = ( n - 1 ) n ( n + 1 ) 6$ .

О муарах, оживших иллюстрациях и пользе моделей

З.ПЯТАКОВА, А.ПЯТАКОВ

ВНАШЕ ВРЕМЯ ЭЛЕКТРОННЫЕ КНИГИ ВСЕ СИЛЬ- нее теснят своих бумажных собратьев, но те так просто сдавать позиции не намерены. Недавно появились книжки с картинками, «оживающими» в тот момент, когда читатель начинает перелистывать их страницы (рис.1). От старой доброй книги подобных

читатель может легко найти их в Интернете по ключевому слову Scanimation. В наши руки попал экземпляр такой книги, оживляющей героев сериала «Звездные войны», и мы не смогли удержаться, чтобы не посмотреть, что там внутри. С помощью лезвия бритвы мы разделили слои, из которых была склеена страница книги (рис.2,а). Оказалось, что под прозрачной пленкой с нанесенной на ней решеткой из вертикальных черных линий скрывается рисунок, в котором можно угадать первоначальный образ иллюстрации, но при пристальном разгля- б)

Рис. 1. Книжки с «оживающими» картинками

способностей, казалось бы, никак нельзя ожидать. Неудивительно, что за рубежом эти книги уже стали лидерами продаж. На полках наших книжных магазинов книжки такого типа пока еще не появились, но а) в)

Рис. 2. Как же устроена «оживающая» картинка?

КВАНТ 2010/№6

дывании становится заметно, что он состоит из серий вертикальных полос (рис.2,б; вставка). Эти серии полос соответствуют различным фазам движения объекта. Если снова наложить прозрачную пленку с вертикальной штриховкой на рисунок и начать двигать ее (рис.2,в), то картинка оживет, и фигуры начнут свое движение. Вам ничего это не напоминает? Отвлечемся от космических баталий и зайдем в тихую комнату, на окнах которой висят легкие тюлевые занавески. Посмотрите, что будет, если наложить шторы одна на другую, – возникнет переменчивая картина из светлых и темных областей. Такие картины называются муарами – от красивого французского слова moire, означающего ткань с разводами, переливающуюся на свету различными оттенками. Муары возникают всегда, когда накладываются друг на друга периодические структуры, будь то нити полотна, решетки изгороди или зубья расчески (рис.3).

б) а)

наты, в нашем же случае мы рисуем решетки с резкими краями и изменение происходит только в пространстве. Но в принципе нам ничто не мешает нарисовать и синусоидальное распределение интенсивности – картина муаров существенно не изменится, только станет менее резкой. Ну, а теперь приступим к опытам. Распечатаем периодические системы штрихов (рис.4,а) или концентрических колец (рис.4,б) сначала на прозрачной

Рис.4. Периодические структуры штрихов и колец

пленке, а затем на бумаге. Наложим эти две распечатки – прозрачную и непрозрачную – друг на друга под различными углами, и мы увидим неоднородное распределение плотности штрихов (рис.5).

Рис.3. Возникновение муаров

Муары могут наблюдать и пользователи компьютера – при рассматривании в мелком масштабе полосатых рисунков откуда ни возьмись появляются кольца, причем при изменении масштаба рисунка размеры колец меняются. Для дизайнеров и фотографов муары превращаются в досадную помеху, с которой они стараются разными методами бороться. Мы предлагаем читателю создать свои узоры и поэкспериментировать с ними, а чтобы это не было пустой забавой, заодно промоделировать с помощью муаровых узоров явления интерференции волн. Действительно, у муаров и электромагнитных волн есть одно общее свойство – периодичность. Так, в электромагнитной волне периодически меняются в пространстве и во времени электрическое и магнитное поля, а для муара характерна периодичность в пространстве. Если в некоторой области пространства встречаются две волны, то происходит наложение волн друг на друга, подобно тому, как накладываются друг на друга две гребенки (см. рис.3,б). И при определенных условиях возникает интерференционная картина с характерным чередованием максимумов и минимумов интенсивности. Таким образом, для объяснения интерференции можно пользоваться моделью муаров. Правда, здесь нужно сделать небольшую оговорку – обычно для света характерна гармоническая, т.е. синусоидальная зависимость напряженности поля от времени и коорди-

Рис.5. Муаровая модель интерференции плоских и сферических волн

Те же самые опыты можно проводить даже без печати картинок на пленке, а просто разглядывая их на экране компьютера в каком-либо графическом редакторе, позволяющем работать с отдельными объектами и прозрачностью. Поворачивая решетки друг относительно друга, можно наблюдать, как меняется картина. Отметим, что случай параллельных линий моделирует интерференцию плоских волн, а системы концентрических окружностей – интерференцию сферических волн. На этих моделях легко увидеть, как зависит интерференционная картина от угла между плоскими волнами (см. рис.5,а) и от расстояния между точечными источниками (см. рис.5,б). Чем ближе друг к другу направления распространения волн или места расположения точечных источников, тем шире интерференционные полосы (рис.6). Этот факт хорошо известен, но, тем не менее, не очень хорошо укладывается в сознании человека, только начавшего изучать явление интерференции волн. Муаровая модель позволяет прочувствовать эти закономерности «на кончиках пальцев». Заметим еще одно свойство муаров (см. рис.6): муаровые узоры намного крупнее, чем породившая их структура. Это обстоятельство с успехом используется

МУАРАХ,

ОЖИВШИХ

ИЛЛЮСТРАЦИЯХ

ПОЛЬЗЕ

МОДЕЛЕЙ

Рис.6. Взаимное расположение источников света и ширина интерференционных полос

в современной микроскопии сверхвысокого разрешения. Представим себе, что мы хотим изучить поверхность с таким мелким рельефом, что в обыкновенный оптический микроскоп увидеть ее уже нельзя. И тут на помощь приходит эффект муаров: если осветить объект излучением с периодическим распределением интенсивности в пространстве, т.е. так, чтобы световое пятно само образовывало решетку из темных и светлых полос, то эти две решетки (рельеф и подсветка) дадут крупную муаровую картину, которую легко увидеть в микроскоп. Правда, нужно еще уметь отделить само изображение от муаров. Однако, зная структуру подсветки, а также сняв кадр при однородном освещении, с помощью вычислений можно получить изображение поверхности с разрешением, вдвое превосходящем возможности микроскопа. Конечно, объем вычислений при обработке изображений будет значителен, но в наш цифровой век это никого не смущает. А можно ли с помощью муаров делать количественные расчеты интерференционных картин? К сожалению, здесь все не так просто. Электромагнитная волна, в отличие от муаров, меняется и в пространстве и во времени, и разности хода двух волн в одной точке пространства нельзя однозначно поставить в соответствие какое-либо расстояние на картине муаров. В то же время для понимания качественных закономерностей интерференционных картин муары вполне помогают. Наконец, муары позволяют разобраться в одном из самых сложных вопросов физической оптики: в понятии когерентности. Напомним, что волны называются когерентными, если разность фаз возбуждаемых волнами колебаний остается постоянной во времени. Попробуем сопоставить понятию когерентности наглядные образы с помощью все той же муаровой модели. Нарисуйте на прозрачной пленке (или в графическом редакторе) несколько коротких элементов решеток со случайным расстоянием между ними (рис.7,а) или повернутыми на небольшой случайный угол друг относительно друга (рис.7,б). Здесь важно, чтобы рассто-

яние между системами решеток или угол, на который они повернуты, были именно случайными величинами, т.е. не подчинялись никакому заранее заданному закону. Если наложить такие решетки друг на друга, то уже не будет видно четкой интерференционной картины с определенным периодом, а получится некоторое среднее распределение освещенности (рис.7,в, г). В таком случае говорят, что волны являются некогерентными, причем определить на глаз причину некогерентности нельзя. Но в случае с рисунками 7,в и 7,г все же понятно, что причины, вызвавшие некогерентность, разные.

Рис.7. Иллюстрация нарушения когерентности на модели муаров

Обычно выделяют два вида когерентности – пространственную и временнэю. Пространственная когерентность означает, что разность хода волн, излученных разными точками протяженного источника в один и тот же момент времени, остается постоянной во времени. Временнбя когерентность означает, что разность хода волн, излученных одной точкой источника в разные моменты времени, остается постоянной во времени.

КВАНТ 2010/№6

Иллюстрацией нарушения временнуй когерентности будет случайное распределение расстояний между системами решеток (см. рис.7,а), а иллюстрацией нарушения пространственной когерентности – случайное распределение углов наклона решеток (см. рис.7,б). При этом можно считать, что по горизонтальной оси на этих рисунках представлено время. Как же количественно охарактеризовать когерентность? Для этого существуют понятия длины и времени когерентности. (В школьном курсе физики эти понятия не вводятся, более подробно с ними можно ознакомиться в учебниках для вузов, например – в «Курсе общей физики» И.В.Савельева.) Длина когерентности – это максимальная разность хода волн, излученных источником, при которой еще наблюдается устойчивая интерференционная картина. Время когерентности – это максимальная разность времен прихода волн в данную точку пространства, при которой еще наблюдается устойчивая интерференционная картина. Для света, распространяющегося в вакууме, длина когерентности l связана со временем когерентности $\tau$ следующим образом: $l = c \tau$ , где с – скорость света. Время когерентности для точечного источника можно определить как длительность одного импульса, или, как говорят, цуга излучения. За это время случайное изменение фазы колебаний достигает значения порядка $\pi$ . Длина отдельного элемента периодической структуры на рисунке 7,а как раз и характеризует время когерентности. Если мы будем рассматривать части муара размером меньше этой длины, то увидим четкую картину, а если будем рассматривать в более крупном масштабе – увы, видно будет только нечто среднее. Для пространственной когерентности вводится радиус когерентности – характерный размер источника, при котором волны, излучаемые им, можно считать когерентными. Радиус когерентности определяется как $r = \lambda / \phi$ , где $\lambda$ – длина волны излучения, $\phi$ – диапазон углов, в котором наблюдатель может зарегистрировать излучение источника. В случае пространственной когерентности максимальный угол, на который повернуты решетки друг относительно друга на рисунке 7,б, и характеризует радиус когерентности. Для каждого источника света ограничения пространственной и временнуй когерентности действуют одновременно, только могут проявляться в разной мере. Например, для источников малых размеров, излучающих разные длины волн (таких, как лампочка накаливания ), сильнее проявляется ограничение временнуй когерентности, а для протяженных источников, излучающих в узком диапазоне длин волн, сильнее проявляется ограничение пространственной когерентности. На пространственных масштабах меньше длины когерентности или на временнѣ ых интервалах меньше времени когерентности интерференцию волн наблюдать можно, а если мы рассматриваем большую область пространства или большой интервал времени, то в среднем распределение энергии будет однородным. Именно такую картину мы и наблюдаем при наложении света, например, двух лампочек накаливания. Для лампочки время когерентности составляет около $10^{-} 8 c$ ,

и наш глаз, конечно, не замечает быстрых мельканий интерференционной картины – ведь характерное время реакции глаза приблизительно 0,1 с. Получается, что за время реакции глаза интерференционная картина успевает измениться десятки миллионов раз! Большинство природных источников света имеют малое время когерентности, и поэтому мы не наблюдаем интерференции независимых источников. Чтобы побороть временнэю некогерентность, «делают» два источника из одного. Например, в классическом опыте Юнга два небольших отверстия в экране освещались одной световой волной. В таком случае эти источники-отверстия уже будут связаны друг с другом по времени, т.е. будут когерентными. Для борьбы с пространственной некогерентностью необходимо уменьшить размер источника, т.е. выделить из него малую часть. В том же опыте Юнга, если отверстия расположить слишком далеко друг от друга или сделать их слишком крупными, вступит в действие ограничение пространственной когерентности, и интерференционная картина размажется. Но существуют и такие источники света, которые без всяких дополнительных ухищрений могут давать интерференционную картину. Это – лазеры. Для лазера время когерентности оказывается порядка $10^{3}$ с, а длина когерентности составляет приблизительно $10^{11}$ м – больше диаметра земной орбиты! Однако и в лазерах часто вступает в действие ограничение пространственной когерентности. Например, если внимательно посмотреть на пятно, даваемое обычной лазерной указкой (только не заглядывайте прямо в сам лазер, это опасно для глаз), там можно увидеть постоянно изменяющуюся структуру из множества точек. Эти точки действуют как независимые источники, и такой свет не обладает пространственной когерентностью, что связано с большим углом расходимости обычной лазерной указки. О лазерах можно рассказывать долго, но о них можно прочитать в других статьях и книгах. Наша же статья подходит к завершению, и мы надеемся, что сравнение таких, казалось бы, далеких вещей – света и муаров – позволит вам лучше понять и то и другое.

Рис.8. Что же здесь изображено?

Напоследок попробуйте отгадать, что изображено на рисунке 8. Догадались? А сможете подобрать такую решетку, чтобы оживить эту картинку?