Реконструкция генома: головоломка из миллиарда кусочков

Квант 2014, №3 с. 2, 3, 4, 6, 9, 14, 15, 16, 17, 18, 23 Тег CRIB

КВАНТ 2014/№3

Ф.КОМПО, П.ПЕВЗНЕР

СОВРЕМЕННАЯ БИОЛОГИЯ ЕЩЕ НЕ НАУЧИЛАСЬ читать последовательности нуклеотидов в больших молекулах ДНК букву за буквой. Вместо этого ученые расшифровывают последовательности коротких (длиной примерно 100–300 нуклеотидов) кусочков ДНК, называемых ридами, не имея ни малейшего представления, из какого места генома был вырезан каждый кусочек. Процесс сборки генома из таких ридов, называемый по-научному секвенированием ДНК, сродни попытке собрать головоломку из миллиарда кусочков. Это серьезная математическая задача, и мы расскажем увлекательную историю ее математического и биологического аспектов.

Секвенирование ДНК – введение

Секвенирование ДНК и задача о перекрывающихся кусочках

Представьте, что целый тираж какой-то газеты лежал в одном ящике, а потом этот ящик взорвался. Допустим, что газеты не сгорели, как это случилось бы в реальной жизни, а разлетелись на маленькие кусочки наподобие конфетти (рис.1). Естественный вопрос:

можно ли по этим обрывкам восстановить то, что было написано в газете? Задача интереснее, чем может показаться на первый взгляд, – она не сводится лишь к склеиванию обрывков друг с другом, как будто это были кусочки пазла. Вопервых, мы вполне могли потерять часть обрывков. Вовторых, в сундуке было много экземпляров газеты, и поэтому какие-то обрывки могут перекрываться между собой и содержать куски одних и тех же фраз. Таким образом, задачу о восстановлении газеты можно назвать задачей о перекрывающихся кусочках. Хоть наша аналогия с обрывками газет несколько притянута за уши, задача восстановления текста газеты по своей сути аналогична задаче сборки ДНК из фрагментов. Напомним, что ДНК можно представлять себе как цепочку из звеньев (нуклеотидов) четырех типов, обозначаемых буквами А, Т, Г и Ц. К сожалению, технология, которая позволила бы нам читать целый геном последовательно, нуклеотид за нуклеотидом, еще не придумана. Тем не менее, ученые научились определять последовательность нуклеотидов в коротких кусочках ДНК. На данный момент самые распространенные технологии имеют дело с ридами длиной всего лишь 100–300 нуклеотидов (рис.2). Прочитывается множество ридов из нескольких копий одного генома, и получается гигантский пазл (в котором кусочки могут перекрываться). Например, геном млекопитающего длиной в 3 миллиарда нуклеотидов потребует сборки пазла из миллиарда кусочков – кажется, это рекорд для головоломок такого рода.

Рис.1. После взрыва ящика с газетами от них останется лишь куча обрывков. Можно ли по ним восстановить содержание газеты?

Перевод статьи с английского Д.Виноградова.

Рис.2. При секвенировании ДНК многочисленные (обычно их больше миллиарда) копии этой молекулы «рвутся» в случайных местах, чтобы получились гораздо более короткие риды

РЕКОНСТРУКЦИЯ

ГЕНОМА:

Таким образом, задача секвенирования генома сводится к чтению (т.е. определению последовательности) ридов (биологическая часть) и сборке фрагментов (математическая часть). Первая задача ведет свою долгую и запутанную историю с 70-х годов, когда Уолтер Гилберт (Walter Hilbert) и Фред Сэнгер (Fred Sanger) получили Нобелевскую премию за изобретение первого метода чтения ридов. В начале 1990-х на рынке появились современные секвенаторы (машины для определения кусочков последовательности ДНК), и с этого момента для задачи секвенирования началась новая эра. В 2000 году несколько сотен таких машин, работая без остановки более года, прочитали достаточно большое число ридов, чтобы удалось возможно определить последовательность генома человека. Сборка этого генома потребовала нескольких месяцев работы одних из самых производительных суперкомпьютеров того времени.

Сложности сборки фрагментов

ГОЛОВОЛОМКА

ИЗ

МИЛЛИАРДА

КУСОЧКОВ

Рис.3. а) При восстановлении газеты помогают логические связи между словами: хотя эти два обрывка и не пересекаются, можно предположить, что они должны быть расположены близко друг к другу, потому что слова «murder» («убийство») и «suspect» («подозреваемый») связаны по смыслу. б) В этом случае кусочки «oz» и «zone» скорее всего являются частями слова «ozone» («озон»), и можно эти два обрывка склеить, даже несмотря на то, что они пересекаются всего по одной букве. В задаче секвенирования ДНК, где в алфавите всего 4 буквы, таких подсказок не будет – правила этого «языка» нам пока почти не известны. в) Повторяющиеся фрагменты усложняют задачу, как видно на примере головоломки «Triazzle», в которой каждая рыбка встречается не меньше трех раз. г) Секвенаторы ДНК не идеальны: здесь красный нуклеотид «Т» был определен неправильно, и на самом деле на его месте должен быть «Ц». Ошибка всего в одном нуклеотиде может привести к тому, что мы будем считать два рида пересекающимися, хотя на самом деле они таковыми не являются

Чуть позже мы достаточно подробно расскажем о том, как читают риды, а пока остановимся на вычислительной задаче сборки фрагментов – как, используя полученные риды, определить последовательность всего генома. Хотя и восстановление газеты, и сборка фрагментов сводятся к складывания пазла, задача сборки значительно сложнее, и не только из-за своего гигантского масштаба (напомним, что нам может потребоваться обработать миллиард ридов). Во-первых, газета написана на некотором понятном языке. Его правила будут подсказывать нам, могут ли какие-то два отрывка находиться рядом, вне зависимости от того, перекрываются они или нет (рис.3,а). В то же время правила «языка» ДНК по большей части неизвестны биологам, и исходя из одной только последовательности практически невозможно понять, могут ли два непересекающихся рида располагаться близко или далеко друг от друга. Вторая сложность сборки фрагментов состоит в том, что алфавит последовательностей ДНК состоит всего из 4 букв: А, Т, Г и Ц. Работа с маленьким алфавитом усложняет восстановление исходной последовательности, поскольку большее количество пересечений будет вызвано случайными причинами (рис.3,б). В-третьих, любая последовательность ДНК содержит множество «консервативных участков» – нуклеотидных «слов», которые повторяются много раз подряд практически без изменений. Например, в геноме человека последовательность так называемого Alu- повтора (длиной примерно 300 нуклеотидов) встречается свыше миллиона раз, причем в каждом вхождении изменены всего несколько нуклеотидов. Поэтому для

конкретного фрагмента бывает трудно определить, в каком именно консервативном участке генома он находится. Подходящей иллюстрацией этого затруднения может быть популярная когда-то в США головоломка «Triazzle». Хотя по сути это обычный пазл всего из 16 кусочков, исходное изображение содержит много одинаковых фигурок, повторяющихся на многих кусочках, из-за чего собрать «Triazzle» существенно сложнее, чем обычный пазл (рис.3,в) Наконец, современные секвенаторы далеко не совершенны, и считываемые ими риды содержат много ошибок. Поэтому, например, два рида, находившиеся в геноме далеко друг от друга, могут быть в результате ошибки интерпретированы как пересекающиеся (рис.3,г). Теперь, когда мы выяснили, какие трудности связаны с процессом секвенирования ДНК, можно рассказать о математическом аппарате, с помощью которого можно подойти к задаче сборки фрагментов.

Математика секвенирования ДНК

Исторический экскурс

Перед тем как перейти непосредственно к математике, давайте немного отвлечемся, чтобы лучше представить исторический контекст. Начнем с XVIII века и прусского города Кенигсберга (в настоящее время –

КВАНТ 2014/№3

Калиниград). Кенигсберг располагался тогда на двух берегах реки Преголи и двух ее островах. Эти четыре части города соединялись между собой семью мостами (рис.4,а). Жители Кенигсберга любили прогуливаться, и им стало любопытно: можно ли пройти по каждому из семи мостов ровно один раз и вернуться после этого в исходную точку? Этот вопрос стали называть «задачей о Кенигсберских мостах». Окончательный ответ на него дал в 1735 году великий математик Леонард Эйлер (его портрет приведен на рисунке 14). Решение Эйлера, которое мы обсудим чуть ниже, очень любопытно, потому что его можно применить не только к мостам Кенигсберга, но и к любой другой сети мостов. Вторая история случилась в Дублине, где в 1857 году ирландский математик Уильям Гамильтон (его портрет приведен на рисунке 14) изобрел $«Икосаэдрическую^{1}$ игру». Эта «игра», наслаждаться которой довольно непросто даже по современным меркам, состояла из деревянной доски с 20 лунками, некоторые из которых были соединены между собой линиями, и 20 пронумерованных фишек, которые можно было вставлять в эти лунки (рис.5,а). Цель игры заключалась в следующем:

кой 1. Другими словами, если бы мы шли по линиям от фишки к фишке в порядке возрастания номеров, то мы побывали бы у каждой фишки ровно один раз и в конце вернулись бы к исходной.

Графы

Закончив с историческим экскурсом, перейдем к определениям. Назовем графом набор вершин, соединенных ребрами, где каждое ребро связывает две вершины. Абстрактность этого определения может несколько отпугнуть, поэтому поясним, что граф всегда можно представлять себе как карту дорожной сети, где города – это вершины, а дороги, их соединяющие, – ребра. Теория графов (область математики, занимающаяся изучением графов) применима ко многим типам задач. Приложения этой теории включают в себя не только дорожные и телефонные или компьютерные сети, но и менее очевидные примеры, такие как изучение распространения эпидемий или моделирование ссылок между web-страницами в интернете. В частности, мы можем применить теорию графов и к двум нашим историческим задачам. В задаче о Кенигсберских мостах мы получим граф K, если сопоставим каждой из четырех частей города по вершине, а затем проведем между двумя такими вершинами по одному ребру для каждого моста, который связывает две соответствующие части города (рис.4,б). А для «Икосаэдрической игры» мы построим граф I, сопоставив каждой лунке вершину и превратив соединяющие их линии в соответствующие ребра (рис.5,б).

Рис.4. а) Старый Кенигсберг, иллюстрация Йоахима Беринга, 1613 г. б) «Граф мостов Кенигсберга», который получается, если сжать каждый остров в точку, а мосты изобразить линиями

Рис.5. а) «Икосаэдрическая игра». б) Соответствующий граф

расставить фишки по лункам так, чтобы фишка 1 была соединена на доске линией с фишкой 2, та, в свою очередь, соединялась с фишкой 3, и так далее вплоть до фишки 20, которая должна быть связана с фиш-

1 Интересно, что хоть игра и называется икосаэдрической, в действительности в ней приходится совершать обход ребер додекаэдра.

Эйлеровы и гамильтоновы циклы

Теперь мы обобщим две наши исторические задачи на все возможные графы. Предположим, что у нас есть некий граф, который мы обозначим G, и представим, что на какой-то вершине в G сидит муравей. Так же, как жители Кенигсберга, ходившие по мостам между разными частями города, муравей может ползать по ребрам от вершины к вершине. Если муравей вернулся туда, откуда начал, результатом его прогулки будет цикл на G. Мы зададимся двумя вопросами о циклах на G: 1. Существует ли цикл на G, при котором муравей проползет по каждому ребру в точности один раз? 2. Существует ли цикл на G, при котором муравей побывает в каждой вершине ровно один раз? Первый вопрос называется Задачей эйлерова цикла (ЗЭЦ) – заметьте, что решение ЗЭЦ в том случае, когда нашим графом является K, соответствует решению задачи о Кенигсберских мостах. Поэтому мы определим эйлеров цикл на графе G как цикл на G,

КВАНТ 2014/№3

улиц с односторонним движением; тогда наш исходный неориентированный граф будет схемой улиц с двусторонним движением. Соответственно, эйлеров цикл в ориентированном графе G – это просто эйлеров цикл, который проходит по улицам в правильном направлении. Гамильтонов цикл в G определяется аналогично (рис.8).

Рис.8. а) Простой пример ориентированного графа. Стрелки определяют ориентацию на ребрах. б) Пример эйлерова цикла в ориентированном графе; ребра пронумерованы в порядке их обхода по циклу. в) Пример гамильтонова цикла (выделен красным) в ориентированном графе

Для каждой вершины v в ориентированном графе G определим входящую степень вершины v как число ребер, входящих в v, а исходящую степень v как число ребер, выходящих из v. Теперь мы готовы сформулировать результат Эйлера применительно к ориентированным графам. Вторая теорема Эйлера. Наличие у ориентированного графа G эйлерова цикла равносильно тому, что у каждой вершины G равны входящая и исходящая степени (напомним, что граф предполагается связным). Доказательство второй теоремы Эйлера приведено в конце этой статьи вместе с обсуждением того, как можно найти эйлеров цикл достаточно «быстро» в смысле теории компьютерных вычислений. Основная идея состоит в том, что нам не надо проверять по очереди все возможные циклы в ориентированном графе G для того, чтобы понять, содержит ли G эйлеров цикл. Достаточно лишь посчитать входящие и исходящие степени всех вершин: если у каждой вершины входящая и исходящая степени совпадают, то эйлеров цикл можно легко построить; если же есть хоть одна вершина, у которой входящая и исходящая степени различны, то провести эйлеров цикл невозможно.

Решаемые и нерешаемые задачи

Вдохновленные теоремой Эйлера, мы можем задаться вопросом, существует ли подобный простой результат для решения ЗГЦ. Но несмотря на то, что выиграть в «Икосаэдрическую игру» не так уж сложно, решение ЗГЦ для произвольного графа остается неизвестным. Главная трудность заключается в том, что если для решения ЗЭЦ у нас есть теорема Эйлера, то для ЗГЦ аналогичное простое условие неизвестно. Конечно, вы всегда можете задействовать для решения ЗГЦ метод «грубой силы», т.е. запрограммировать компьютер перебирать все пути по графу и сообщать, как только он найдет гамильтонов цикл. Понять этот метод довольно легко, но представьте себе огромный граф, в котором нет гамильтонова цикла. Для этого графа компьютеру придется проверить каждый путь по нему, перед тем как сообщить вам, что гамильтонова пути не существует. Катастрофический недостаток этого метода состоит в том, что в среднем графе всего лишь из тысячи вершин разных путей существует больше, чем атомов во вселенной! ЗГЦ была одной из первых алгоритмических задач, которую не удалось решить даже самым блестящим ученым. После многих лет бесплодных усилий специалисты в области computer science начали задумываться, является ли ЗГЦ эффективно разрешимой. Другими словами, не может ли оказаться так, что их неудачи в поисках быстрого алгоритма вызваны не недостатком сообразительности, а тем, что эффективного алгоритма для решения ЗГЦ просто не существует. Более того, в 1970-х годах ученые-компьютерщики обнаружили еще тысячи разных алгоритмических задач с той же судьбой, как у ЗГЦ: несмотря на то, что они чрезвычайно просто выглядят, никто не смог придумать для них эффективного решения. ЗГЦ вместе со многими из этих задач теперь называют $«NP-полными»^{2}$ задачами. Еще больше усилил разочарование, вызванное неудачей всех попыток найти простое условие разрешимости ЗГЦ, такой факт: хотя все NP-полные задачи различны, оказывается, они все эквивалентны друг другу – если найти быстрый алгоритм решения одной такой задачи, то из него автоматически получится быстрый алгоритм для всех остальных! Задача эффективного решения NP-полных задач (или окончательного доказательства того, что такого решения не существует) настолько фундаментальна для computer science и математики, что она вошла в список «Задач Тысячелетия» от Математического Института Клэя, опубликованный в 2000 году: найдите эффективный алгоритм для какой-нибудь NP-полной задачи или докажите, что его нет, и институт вручит вам приз в размере миллиона долларов. С этого момента мы будем называть ЗЭЦ «простой», а ЗГЦ – «сложной». Не забывайте об этом различии, поскольку в скором времени оно станет критичным.

2 NP – от слов non-deterministic polynomial (англ.).

РЕКОНСТРУКЦИЯ

ГЕНОМА:

ГОЛОВОЛОМКА

тью рида). Оказывается, мы сможем справиться со сборкой фрагментов и в этом случае. Мы используем для этого практически тот же граф E, с одним лишь изменением: если копийность какогото l-мера равна k, то будем соединять его префикс с суффиксом не одним, а k ребрами. Продолжим разбирать наш пример из рисунка 10: если во время чтения ридов обнаружилось, что у четырех 3-меров ТГЦ, ГЦГ, ЦГТ и ГТГ копийность равна 2, а у шести 3- меров АТГ, ТГЦ, ГГЦ, ГЦА, ЦАА и ААТ копийность равна 1, то мы построим граф, изображенный на

Рис.13. Граф с рисунка 10, в который добавились кратные ребра – было учтено, что копийность некоторых ридов больше 1. К счастью, такое обобщение не усложняет задачу поиска эйлерова цикла, и цикл для нового графа также будет давать кандидата для последовательности «ДНК»

рисунке 13. В общем случае, легко видеть, что граф с ребрами, добавленными согласно копийности, тоже эйлеров, поскольку полустепени исхода и захода вершины (соответствующей (l – 1)-меру) равны числу раз, которое этот (l – 1)-мер встречается в геноме. На практике точную информацию о копийности (l – 1)-меров в геноме с помощью современных технологий секвенирования получить довольно сложно. Тем не менее, ученые-алгоритмисты недавно придумали способ восстановления геномной последовательности даже тогда, когда эти данные отсутствуют. Есть и другие осложнения: машины, секвенирующие ДНК, подвержены ошибкам, длина ридов может различаться и так далее. Однако, в конечном счете, для всех методов сборки фрагментов оказывается очень полезно применить какой-нибудь вариант графов де Брёйна для того, чтобы свести естественное построение гамильтоновых циклов к алгоритмически более простой задаче об эйлеровых циклах.

ИЗ

МИЛЛИАРДА

КУСОЧКОВ

сами при всем желании не смогли бы встретиться друг с другом. Зато в 1988 году встретились пути трех других ученых (рис.15). Радое Дрманац (Radoje Drmanac, Сербия), Андрей Мирзабеков (Россия) и Эдвин Саузерн (Edwin Southern, Великобритания) одновременно и независимо разработали футуристический и на тот момент совершенно невероятный метод чтения ридов с использованием ДНК-чипов. Никто из этих трех биологов не знал о работах Эйлера, Гамильтона и де Брёйна; никто не мог и предположить, что результаты их собственных экспериментов столкнут их лицом к лицу с этими математическими гигантами. В 1977 году Фред Сэнгер (Fred Sanger) с коллегами отсеквенировали первый вирус – крошечный бактериофаг $\phi$ X174 длиной 5375 нуклеотидов. Несмотря на то, что в конце 1980-х биологи регулярно секвенировали вирусы длиной в сотни тысяч нуклеотидов, мысль о секвенировании бактериального генома (не говоря о человеческом) казалась преждевременной и с экспериментальной, и с вычислительной точек зрения. Дрманац, Мирзабеков и Саузерн поняли, что важнейшим недостатком исходной технологии секвенирования ДНК, разработанной в 1970-х, является то, что для более длинных геномов она слишком затратна. В самом деле, чтение одного рида в конце 1980-х стоило более одного доллара и поэтому секвенирование генома какого-нибудь млекопитающего стоило бы миллиарды долларов. Из-за этой высокой цены прочитать все l-меры генома было невозможно, а это непременное условие успешного применения эйлерова подхода. ДНК-чипы были изобретены для того, чтобы удешевить чтение всех l-меров в геноме, пусть и с меньшей, нежели у исходной технологии секвенирования ДНК, длиной рида l. Например, в то время как традиционные технологии секвенирования считывали риды длиной приблизительно 500 нуклеотидов, изобретатели ДНК-чипов ориентировались на чтение ридов длиной около 15 нуклеотидов. ДНК-чипы устроены так: сначала синтезируют все $4^{l}$ возможных l-меров (т.е. все фрагменты ДНК длины l), потом их присоединяют к ДНК-микрочипу, который представляет из себя решетку с отдельной ячейкой для каждого l-мера. Потом берут (неизвест-

Короткая история чтения ридов

Сказка о трех биологах: ДНК-чипы

Хотя математическое наследие Эйлера, Гамильтона и де Брёйна (рис. 14) тесно переплелось, они

Рис.14. Три математика. Слева направо: Леонард Эйлер, Уильям Гамильтон, Николас де Брёйн

КВАНТ 2014/№3

зеркале (вы смотрите в зеркало) вместо нейтрино вы видите антинейтрино, а не нейтрино. Вот парадокс, с которым столкнулись физики в 1956–57 годах. Точно так же вы можете сделать, например, такой эксперимент. Рассмотрите поляризованное ядро, которое у вас распадается, вылетают электроны под углом $\theta$ , и вы делаете отражение. У вас поляризованное ядро останется поляризовано в ту же сторону, а импульс поменяет знак. Если бы у вас закон сохранения четности выполнялся, то оба процесса были бы одинаковы. А на самом деле оказывается, что при бета-распаде частицы вылетают в основном по или против момента ядра. Вот это и есть знаменитый эксперимент Ву, который был сделан в 1957 году буквально за полгода. И было показано: да, в физике слабого взаимодействия, т.е. в нейтринной физике, нарушается четность. И вот здесь выяснилось, что Нильс Бор был прав. Действительно, Нильс Бор что говорил? Он придирался к закону сохранения энергии, но он был прав в своей логике: на уровне в $10^{-} 13 - 10^{-} 17$ см законы сохранения могут быть другими. И в этом плане его идея как бы ожила заново. Ничего не пропадает, хорошие идеи сохраняются и дальше. Вот сегодняшняя точка зрения: безмассовое нейтрино поляризовано против импульса, а антинейтрино – по импульсу. Мир внутри, в слабом взаимодействии, оказывается несимметричным. В зеркале вы видите не нейтрино, а антинейтрино. И еще одно открытие было сделано вскоре после этого: процессы, связанные с направлением времени, тоже оказались разными. Были открыты процессы в распаде $K^{o}$ -мезонов, которые по времени и против (со сменой знака времени) – разные. Итак, вот что произошло в теоретический период с 1953 по 1967 год. Ли и Янг придумали гипотезу для решения проблемы $\tau - \theta$ , т.е. гипотезу о нарушении четности. Оно было экспериментально открыто в 1957 году – сначала в бета-распаде ядер, потом в бета-распаде различных частиц: $\mu$ -мезонов, $\pi$ -мезонов, K-мезонов; ныне это тривиальность. И, наконец, что было действительно новостью для физиков, оно было обнаружено во взаимодействии нуклонов с нуклонами в ядрах. Кстати, это до сих пор некоторая загадка. Мы прекрасно знаем, что есть так называемые нарушающие четность ядерные силы. Эти силы существуют, они экспериментально показаны. К слову сказать, Россия здесь очень много поработала – например Лобашёв (экспериментатор) и Абов Юрий Георгиевич. Но по сию пору эта область явлений никак не связана с остальными, вы не можете рассчитать ее, исходя из элементарных частиц. Элементарная частица живет сама по себе, а ядерная физика с ее нарушением нуклон-нуклонного слабого взаимодействия живет сама по себе. Наконец, было открыто слабое взаимодействие и в атомах тоже – взаимодействие между ядром и электронами, кроме обычного кулоновского, имеет еще некую маленькую добавку. Эта добавка связана с тем, что электрон с нуклонами еще взаимодействует слабым образом. Вот эти процессы были впервые тогда открыты. А теория, после того как было открыто, что нейтрино на самом деле имеет строго определенную поляризацию, а антинейтрино имеет совершенно дру-

гую поляризацию, вернулась к Вейлю, т.е. к тому предельному случаю, который может быть получен из уравнения Дирака и который игнорировался в 1928–29 годах. Оказалось, что нейтрино описывается именно уравнением Вейля. Возьмите уравнение Дирака, положите массу равной нулю, получите нейтрино. Все просто! Но тогда это отрицалось. Отрицалось, потому что нарушение сохранения четности было. Никто не мог в это поверить. И вот теперь такая интересная парадоксальная вещь. Я говорю про 1956 год. Итак, вернулись к двухкомпонентному нейтрино. Была попытка Ландау ввести нарушение четности, но сохранить хотя бы идею о том, что если вы смотрите на нейтрино, то в зеркале у вас антинейтрино, т.е. ввести так называемое CP-сохранение $^{1}$ . Это сохранение, к сожалению, тоже оказалось нарушенным, хотя намного в меньшей степени (так, доля распадов нейтральных K-мезонов с нарушением СР-инвариантности составляет примерно $10^{-} 3 ).$ Затем, и это было сформулировано в основном Фейнманом, был реально написан $гамильтониан^{2}$ слабого взаимодействия с нарушением четности (так называемое V-A слабое $взаимодействие^{3} ).$ И еще было открыто нарушение CP-четности (т.е., если хотите, $T-четности^{4} )$ в эксперименте – это следующий момент. И, наконец, приблизительно в 1963–66 годы была сформулирована так называемая Стандартная $модель^{5}$ . Это модель, в которой (я немного дальше буду об этом говорить) объединены две вещи: электромагнитное взаимодействие и слабое взаимодействие – то, которое происходит с нейтрино. Стандартная модель была сформулирована именно в это время, но еще потребовалось достаточно большое время, порядка 20 лет, чтобы доказать, что это действительность.

1 CP-симметрия, или комбинированная четность, это инва- риантность физических законов относительно преобразования, при котором происходит одновременно пространственное (P) зеркальное отражение физической системы и замена каждой частицы на соответствующую ей античастицу (C, зарядовое $сопряжение).^{2}$ Гамильтониан – оператор полной энергии системы при квантово-механическом $описании.^{3}$ V-A-теория – универсальная теория слабого взаимодействия, учитывающая нарушение четности (P-симметрии) при слабом взаимодействии. Предложена в 1957 году М.Гелл- Манном, Р.Фейнманом, Р.Маршаком и $Дж.Сударшаном.^{4}$ T-симметрия, или симметрия по отношению к обращению времени, это инвариантность физических законов относительно замены времени t на –t. Поскольку фундаментальным качеством физических законов считается CPT-симметрия (т.е. инвариантность по отношению к одновременному пространственному зеркальному отражению физической системы, зарядовому сопряжению и обращению времени), то нарушение CP-симметрии возможно лишь при одновременном нарушении $T-симметрии.^{5}$ Точнее, здесь идет речь о теории электрослабого взаимодействия, которая была сформулирована к 1967 году С.Вайнбергом, Ш.Глэшоу и А.Саламом и легла в основу (наряду с квантовой хромодинамикой) созданной в течение следующего десятилетия Стандартной модели физики элементарных частиц.

ОЧЕРК

ИСТОРИИ

ИССЛЕДОВАНИЙ

Но вот что интересно: несмотря на то что, казалось бы, все сформулировано и все открыто, оставались два островка в это время, которые были не поняты. Первый – это гипотеза Понтекорво о нейтринных осцилляциях, про которые я сейчас скажу, и второй – майорановская гипотеза. Так вот, теперь я хочу сказать несколько слов о Бруно Понтекорво и его гипотезе 1957 года. Это – гипотеза осцилляций, она была опубликована опять в препринте, только теперь в Дубне. Помня про работу Майорана (Понтекорво в какой-то мере был его учеником), он все время думал о том, нейтрино и антинейтрино это одно и то же или нет? Если это одно и то же, то получаются одни процессы, если это разные вещи, то – другие процессы. И вот, размышляя над этим, Бруно Понтекорво сформулировал такую очень любопытную гипотезу. В заключении своей статьи он пишет, что если у вас нет нейтрино и антинейтрино, а есть нарушение сохранения лептонного заряда (т.е. если нейтринный заряд не сохраняется), то при этом возможно превращение нейтрино в антинейтрино в процессе движения, $( \nu$ ´ $\nu ɶ ),$ и тогда будут происходить процессы, похожие на те, которые были открыты в $K^{0} -$ мезонах. А в $K^{0}$ -мезонах в это время были открыты осцилляции, когда $K^{0}$ переходит в анти- $K^{0}$ и анти- $K^{0}$ переходит в $K^{0}$ . И Понтекорво написал даже, что, повидимому, этот процесс может быть очень вероятно открыт, как минимум, в астрофизике, в астрофизических масштабах. Больше того, он даже дал оценку длины этих осцилляций. Средняя энергия нейтрино, которые, например, испускает Солнце, это 1 МэВ, и тогда длина осцилляций порядка $10^{3}$ км. А сегодня осцилляции открыты, и их величина порядка 100– 200 км. Иными словами, масса нейтрино не равна нулю (Понтекорво для массы нейтрино предположил величину $10^{-} 11$ эВ). Таким образом, если все в это время увлекались Вейлем и считали, что масса нейтрино ноль и не о чем говорить, то Понтекорво высказал вот такую гипотезу. И я еще раз подчеркиваю, это была на самом деле линия от Майорана: гипотеза Майорана – это 1937 год, 1946 год – размышления Понтекорво относительно нейтринной физики, а в 1957 году, уже в России, он высказывает идею нейтринных осцилляций. В то время нейтрино было одно. Но, кстати, он пишет, что если нейтрино будет не одно, а нескольких типов, то тоже могут быть нейтринные $осцилляции^{6}$ . И в 1958 году Понтекорво высказывает идею, что нейтрино на самом деле не одно, а их может быть два, что возможны нейтрино, связанные с электронами, и нейтрино, связанные с мюонами. По его идее в ЦЕРНе был поставлен эксперимент, в котором были открыты два типа нейтрино: нейтрино электронное и нейтрино мюонное (1962 г.). Вот так. А потом нам говорят, что японцы в 1962 году первые сказали: «нейтринные осцилляции». Хорошо. Пойдем дальше. Как видите, все не просто. Стандартная модель есть, а он (Понтекорво) – все свое. Он говорит о том, что у

6 Осцилляции уже не между нейтрино и антинейтрино, а между двумя типами нейтрино.

НЕЙТРИНО

нейтрино могут быть совершенно другие свойства. Это время, приблизительно с 1956 по 1966 год, – «теоретическое» время, время дискуссий, там много чего сложилось, много было высказано всяких идей. После этого теоретики затихли, начали работать экспериментаторы. Экспериментаторы за следующие 20 лет доказывают, что Стандартная модель действительно работает. Возникают три главных – теперь уже научились с нейтрино работать – направления в нейтринной физике. Во-первых, нейтрино низких энергий – реакторные нейтрино в основном или бета-распад. Идут исследования свойств нейтрино, делаются оценки на массу нейтрино, поляризацию нейтрино, ищутся доказательства того, что нейтрино не равно антинейтрино. И, наконец, был открыт так называемый нейтральный канал реакции, когда нейтрино не рождает электрон в обратном процессе, а просто рассеивается. Рассеивается, и все. Причем оно может рассеиваться на нуклонах – ну, на дейтроне, например, и на электронах. При этом оказалось, что в таких процессах физики вынуждены работать с совершенно экстремально малыми сечениями: $10^{-} 43 см^{2}$ – это еще хорошо. Сейчас работают на грани $10^{-} 46 см^{2}$ . Фантастически малые величины – ничего ниже мы не сможем мерить. Но именно тогда это было осознано. Второе направление – нейтрино высоких энергий. Оно возникло, в частности, в связи с тем, что физики научились работать с ускорительными пучками. В пучках пи-мезонов, например, у вас нейтрино рождаются от распада пионов, и эти нейтрино имеют энергию, уже гораздо большую – не порядка 1 МэВ, как в реакторной физике, а порядка 1 ГэВ и даже выше. А сечение взаимодействия нейтрино с нуклонами, и вообще всех слабых процессов в этой области, пропорционально квадрату энергии падающего нейтрино. Раз так, то вы теперь можете, беря пучки нейтрино достаточно высоких энергий, выходить на большие сечения. Действительно, это направление развивалось, появились новые методы регистрации нейтрино, в частности – камеры всякие, и было доказано, что нейтрино электронное не похоже на нейтрино мюонное, что нейтрино мюонное не похоже на свое антинейтрино и что существует еще третий тип нейтрино, так называемое тау-нейтрино, от распада тау-мезона. Таким образом, появились три семейства нейтрино. Были исследованы процессы рассеяния нейтрино на электронах и на нуклонах и в параллель с этим были открыты новые кварки, c, b, t, причем была найдена некая аналогия между нейтрино и кварками. Нейтрино есть трех типов, и кварков есть три семейства. Наконец, самым мощным доказательством того, что Стандартная модель реализуется в природе, было два открытия: первое – открытие нейтральных $процессов^{7}$ , которые предсказаны только в Стандартной модели, и второе –

7 Нейтральные токи – один из механизмов слабого взаимодействия, осуществляемый за счет обмена виртуальными Z- бозонами между кварками и лептонами без изменения электрического заряда начальных и конечных частиц. Предсказаны в 1973 году А.Саламом, Ш.Глэшоу и С.Вайнбергом, экспериментально подтверждены в 1974 году в ЦЕРНе.

КВАНТ 2014/№3

открытие W- и Z-бозонов (элементарных частиц – переносчиков слабого взаимодействия), 1983 год. Причем выясняется, что их масса строго соответствует Стандартной модели. Все, физики должны были успокоиться, Стандартная модель работает. И параллельно возникает третье направление – нейтринная астрофизика. Начинаются поиски нейтрино от Солнца, от звезд, от коллапса сверхновых, возникает идея о том, что во Вселенной существует нейтринное море – нейтрино очень низких энергий, которые образуют некий фон. Начинаются солнечные эксперименты. Один из первых экспериментов как раз велся по реакции, которую предложил Понтекорво: нейтрино падает на хлор, получается аргон. Это эксперимент Дэвиса, который делался в течение 30 лет в Хоумстейке в Америке. И, наконец, возникают подземные лаборатории и первые нейтринные телескопы. Итак, в этот период наше знание о свойствах нейтрино расширяется до процессов рассеяния, идут исследования в рамках Стандартной модели, нейтрино превращается в инструмент исследования, появляются нейтринные пучки и нейтринные детекторы. Выявляется особая роль нейтрино в мировой картине Вселенной. Вот какая любопытная картина возникла, если посмотреть начиная с 30-х годов. Появилась гипотеза нейтральных частиц, 1930 год, произошло открытие нейтрона. Квантовая электродинамика была сформулирована, возникла нейтрон-протонная модель ядра. И параллельно начинаются, с одной стороны, экспериментальные исследования, практически не зависящие от теоретиков, а с другой стороны, теоретические исследования. Экспериментальные исследования – бетараспад ядер, элементарных частиц, новые экспериментальные методы – идут начиная с 1930–32 годов и до конца 1956 года. Здесь возникает та самая проблема $\tau - \theta$ , о которой я рассказал. Теоретики тоже, как говорится, не дремлют, развивают свои собственные методы, размышления: Ферми придумал феноменологическую теорию бета-распада; возникает гипотеза Майорана, которая еще висит сама по себе, никто ничего не может про нее сказать. Появляется идея о том, что должна быть симметрия по отношению к пространственным преобразованиям, которая как раз здесь и нарушилась. Вот так сошлись теоретическая и экспериментальная физика. В 1956–58 годы возникает мощный скачок, когда эксперимент нуждается в теории, а теория нуждается в эксперименте. Начинаются опять совершенно независимые процессы, я это подчеркиваю – очень мало влияющие друг на друга: с одной стороны, развитие экспериментальных методов, с другой стороны – развитие теории. Экспериментальные методы – в чистой физике высоких энергий, с астрофизическими объектами. А в плане теории – это структура частиц, Стандартная модель, новые кварки. И к середине 1980-х годов складывается вот такая ситуация: утверждена Стандартная модель и начинается поиск выхода из Стандартной модели. Вопрос – что дальше? Ну нельзя же остановиться, должно быть развитие дальше. Тогда – что? Есть ли что-нибудь вне Стандартной модели? Вот

этот вопрос себе впервые задают физики. Но для того чтобы о нем говорить, я напомню вам, что такое Стандартная модель с сегодняшней точки зрения. Стандартная модель электрослабого взаимодействия, я буду о ней в основном говорить, с точки зрения математики – своеобразная вещь. Время от времени в физике возникают такие модели, в которых объединяются математика и физика. И это как раз особые точки, когда действительно происходит какой-то взрыв нашего понимания. Стандартная модель с точки зрения математики это так называемая SU(2)–U(1) симметрия, которая хорошо изучена математиками уже давно, еще с конца прошлого века. С точки зрения физики: существуют лептоны, которые образуют дублеты левых и синглеты правых $частиц.^{8}$ Соответственно – для электронных, мюонных и тау-семейств. Вот массы этих частиц: 0,5 МэВ у электрона, 105 МэВ у мюона, 1777 МэВ у тау-частицы. Нейтрино же существуют только левые, никаких правых нейтрино нет в Стандартной модели. Есть ли масса у нейтрино? Вот первый вопрос, который возникает. По Стандартной модели, на этом уровне, нет массы, ноль, нейтрино только левые, и никаких вопросов нет. У кварков – то же самое, есть дублеты кварков и есть синглеты, есть правые и есть левые. Есть u- и d-кварки, c- и s-кварки, t- и b-кварки. Вот массы кварков на сегодняшний день: от 2–5 МэВ для u- и d-кварков до 180 ГэВ у t-кварков. Они не так давно открыты, кстати. Оказывается (и это первый вопрос к теории), часть этих кварков, а именно d, s, b, не сами по себе входят в теорию, а смешиваются. И существует чисто феноменологическая, никак не объясняемая пока матрица Кобаяши–Маскавы, которая описывает эти смешивания. Откуда она взялась, что это такое? Вопрос. Но возникает следующий вопрос: а есть ли смешивание нейтрино? Дальше. Все взаимодействия в Стандартной модели устроены очень просто. Есть так называемое калибровочное взаимодействие и есть константы, связывающие различные взаимодействия. В нулевом приближении в теории все безмассовое, ничего нет массивного. Затем включается механизм появления массы, так называемый хиггсовский механизм. Источник массы – вот этот бозон Хиггса, который до сих пор не $открыт^{9}$ , а дальше часть из этих частиц, в частности бозонов, получает массы. Гамма-квант остается безмассовый, а Z- и W- бозоны получают определенную массу. Значит, для того чтобы охарактеризовать эти упомянутые константы, достаточно ввести один экспериментальный угол, угол $Вайнберга^{10}$ . При этом впервые в физике возникает некий механизм появления массы. Мы до сих пор не знаем, правильный или неправильный механизм

8 Частицы с «левой» спиральностью – это те частицы, у которых спин направлен против направления движения частицы. У «правых» спин направлен по движению $частицы.^{9}$ Бозон Хиггса открыт экспериментально в 2012 году (был предсказан британским физиком П.Хиггсом в $1964 году).^{10}$ Параметр в теории электрослабого взаимодействия, который определяет связь между константами слабого и электромагнитного взаимодействий.

ОЧЕРК

ИСТОРИИ

ИССЛЕДОВАНИЙ

предложен, но, во всяком случае, на том уровне, на котором мы сегодня физику понимаем, этот механизм работает. Итак, существуют лептоны и кварки, это частицыфермионы, т.е. частицы с половинным спином. Существуют передатчики калибровочного взаимодействия – $\gamma$ -кванты, W- и Z-бозоны, и взаимодействия происходят универсально: вот у вас летит кварк или лептон, он испускает при взаимодействии один из этих бозонов и переходит в новое состояние. Это схема всех взаимодействий, которые мы сейчас знаем и которые описываются в Стандартной модели. Значит, возникает универсальная взаимосвязь всех полей, т.е. возможно, что есть даже некая общая единая константа, которая постепенно, за счет разных этапов нарушения спонтанной симметрии, переходит в другие, и источником возникновения массы является спонтанное нарушение симметрии вакуума. Вот что сегодня мы знаем. Какие недостатки у этой теории? Прежде всего, непонятно, как эти поколения образовались, почему у них совершенно разные массы и т.п. Дальше. Какова масса нейтрино? Здесь (в Стандартной модели) она ноль, но, может быть, она не ноль? Почему происходит смешивание этих поколений? И, наконец, откуда взялись вот это нарушение и вот эта константа, которая связана с этими нарушениями (т.е. угол Вайнберга)? Здесь я хочу обратить ваше внимание на очень интересную аналогию между ньютоновской теорией, которую все знают, и Стандартной моделью. В Стандартной модели вы имеете безмассовые частицы, в нулевом приближении. Безмассовые частицы – это вещь, которая описывает геометрию. Не нужно никакой физики, чтобы описать безмассовые частицы. Чистая геометрия, с точки зрения современной высшей геометрии. Точно так же в ньютоновской теории вы имеете инерционное движение – если у вас нет никакого взаимодействия, все выключено, то частицы будут двигаться по инерции по прямым. Но прямые – это опять же чистая геометрия. В основу и той, и другой теорий положена чистая геометрия. А дальше включается физика. В ньютоновской механике включаются силы, и все частицы начинают двигаться по некоторым траекториям, т.е. начинается нарушение геометрии. Точно так же в физике элементарных частиц включаются калибровочные взаимодействия, хиггсовский механизм, и у вас все начинается, возникает физика. Физика отличается от математики тем, что в ней есть нарушение симметрии. Вот такие маленькие размышления… Ну, теперь мы переходим, делаем шаг, к современной теории, к современной физике. С 1980-х годов теория начинает искать выход из Стандартной модели. Есть два пути, по которым идет теория. Первая идея была связана с Великим объединением. Давайте в Стандартной модели, где у нас была простейшая симметрия, введем все более и более высокие математические симметрии – вместо SO(2) рассмотрим SO(5) и т.д. Иными словами, математически будем все более и более расширять поле этих частиц. При этом мы начнем объединять между собой электродинамику с физикой слабого взаимодействия, затем присоединим к

НЕЙТРИНО

ним сильное взаимодействие, потом добавим гравитацию, и таким образом у нас будет развиваться теория. Вот общая идея теории Великого объединения. Но возможен другой путь – и, скорее всего, по этому пути пошла Природа: а вдруг у нейтрино (именно у нейтрино в данном случае) есть нестандартные свойства? Например, есть майорановское нейтрино, т.е. нейтрино равно антинейтрино. Или у вас есть осцилляции – переход нейтрино электронного и мюонного в таунейтрино. Или осцилляции в веществе, которые были придуманы немножко позже. У нейтрино есть магнитный момент, а давайте вводить прецессию этого магнитного момента нейтрино в веществе. И так далее, т.е. второй путь – это путь, связанный с нестандартностью нейтрино. И как на это начинают отвечать эксперименты? Надо сказать, что очень интересным моментом, связанным с развитием эксперимента, оказался взрыв сверхновой. В 1987 году, специально для физиков, в Большом Магеллановом облаке взорвалась сверхновая. В день Советской Армии, 23 февраля. Именно по этой причине российские физики не все зарегистрировали этот взрыв. Например, в Красноярске под землей был выходной день в честь 23 февраля. И впервые в истории человечества был наблюден взрыв сверхновой не только в световой области, но и в нейтринной области. А именно, было зарегистрировано приблизительно около двух десятков нейтринных вспышек, нейтринных следов в пяти основных детекторах, которые в это время работали на земле. Но даже и здесь возникла очень забавная ситуация, еще одна загадка нейтрино. Все зарегистрировали эти вспышки приблизительно в одно и то же время. Хотя, надо сказать, возникла фантастическая ситуация – у японцев(!) часы сломались. Причем не просто сломались – там на минуту где-то отличие было, хотя все вспышки в секундах считаются. Но, в конце концов, договорились, сдвинули японские часы в нужное место, и вроде все сошлось. Так вот, за пять часов до этой вспышки – это зарегистрировали пять детекторов – было зарегистрировано еще четыре события. Вот это – загадка, которая существует до сих пор, правда в последнее время мы начинаем ее разгадывать. Никто просто в это не верил в течение всех двадцати лет. Дальше – реакторные нейтрино. К этому времени были померены взаимодействия нейтрино с протонами, с дейтронами, с электронами, измерен магнитный момент нейтрино, и начали искать нейтринные осцилляции в реакторных нейтрино. И, наконец, была придумана совсем интересная вещь. Оказывается, с помощью нейтрино можно диагностировать работу реакторов – на расстоянии 100 м поставить детекторы и смотреть, как работают реакторы. В Иране, например. И сообщать в МАГАТЭ – сегодня они нарабатывают плутоний или не нарабатывают. Это называется нейтринной диагностикой. К сожалению, она пока не реализуется, но принципиально она существует, она возможна. Дальше – солнечные нейтрино. Первые эксперименты, как я уже говорил, это были эксперименты Дэвиса.

КВАНТ 2014/№3

Солнечные нейтрино изучались с помощью хлор-аргонового метода, потом был создан большой детектор Камиоканда в Японии, и было доказано, что существует дефицит нейтрино от Солнца. Этот дефицит потом был подтвержден в экспериментах у нас на Баксане, на детекторе Супер-Камиоканда, и, наконец, в Солнечной нейтринной обсерватории в Канаде. Дальше – ускорительные нейтрино. Действительно, в ускорителях начали работать с высокими энергиями, и был найден эффект, который до сих пор остается непонятым. В Америке, на ускорителе в Лос-Аламосе, были зарегистрированы необычные нейтринные осцилляции. Есть они или нет – мы до сих пор не знаем. Может быть, это ошибка, может быть – нет. Наконец, в ускорительных нейтрино на больших расстояниях тоже работают с осцилляциями, сегодня это уже становится тривиальностью. Дальше – атмосферные нейтрино. Нейтрино, которые рождаются в процессах в космических лучах, можно тоже регистрировать, и в 1998–99 годах были найдены осцилляции этих нейтрино. Пока это остается загадкой, хотя идет много исследований по бета-распаду нейтрона. То он влезает в Стандартную модель, то делается следующий эксперимент и оказывается, что там расхождение на несколько $сигма^{11}$ . И так до сих пор. До последнего времени мы были уверены, что время жизни нейтрона меряется с точностью одной секунды. А недавно Анатолий Серебров из Ленинграда сделал эксперимент и показал, что у него получилось отличие на 10 секунд. Ну и, наконец, – масса нейтрино. Еще Понтекорво предложил использовать тритий, для того чтобы измерить массу нейтрино. Сейчас эти эксперименты ведутся, и они позволили нам сказать, что масса электронного нейтрино, которое вылетает из трития, во всяком случае меньше чем 2 эВ. Что тоже неплохо. Я заканчиваю свой рассказ об истории развития наших представлений о нейтрино. Как видите, очень много нового и неожиданного, много ключевых для физики идей принесла эта область. Я думаю, что именно в ней нам и в будущем следует ждать сюрпризов, новых идей и поворотных моментов в развитии физики.

Именной комментарий

(расположение – по мере упоминания в тексте статьи )

Чжэндао Ли (род. в 1926 г.) – китайский и американский физик. Лауреат Нобелевской премии по физике (совместно с Ч.Янгом) «за пристальное изучение так называемых законов четности, которое привело к важным открытиям в области элементарных частиц» за 1957 год. Чжэньнин Янг (род. в 1922 году) – китайский и американский физик. Лауреат Нобелевской премии по физике (совместно с Ч.Ли) за 1957 год. Цзяньсюн Ву (1912–1997) – американский физик китайского происхождения, поставила знаменитый «эксперимент Ву», доказавший несохранение пространственной четности в слабых взаимодействиях.

11 Сигма $( \sigma )$ – величина стандартной ошибки измерения.

Владимир Михайлович Лобашёв (1934–2011) – советский и российский физик-ядерщик. Юрий Георгиевич Абов (род. в 1922 г.) – советский и российский физик, открыватель слабого взаимодействия нуклонов в ядрах. Ричард Филлипс Фейнман (1918–1988) – выдающийся американский ученый, один из авторов знаменитых «Фейнмановских лекций по физике», прекрасный популяризатор науки. Лауреат Нобелевской премии по физике (совместно с С.Томонагой и Дж.Швингером) за 1965 год. Раймонд Дэвис младший (1914–2006) – американский химик и физик. Лауреат Нобелевской премии по физике «за создание нейтринной астрономии» за 2002 год. Стивен Вайнберг (род. в 1933 г.) – американский физик. Угол Вайнберга – один из параметров теории электрослабого взаимодействия Глэшоу–Вайнберга–Салама. Лауреат Нобелевской премии по физике (совместно с Ш.Глэшоу и А.Саламом) за 1979 год. Питер Уэйр Хиггс (род. в 1929 г.) – британский физиктеоретик, член Лондонского Королевского общества. В 1960-е годы предсказал существование новой элементарной частицы, называемой теперь бозоном Хиггса. Лауреат Нобелевской премии по физике (совместно с Ф.Энглером) за 2013 год. Анатолий Павлович Серебров (род. в 1944 г.) – российский физик, специалист в области исследования фундаментальных взаимодействий и нейтронной физики.

Рекомендуемая литература

История уравнения Дирака и связанные с ним представления и события физики тех лет описаны самим П. Дираком в статье «Релятивистское волновое уравнение электрона» (Успехи физических наук, 1979, т. 129, в. 4, с. 681–691). В русском переводе статья доступна в интернете по адресу: http://ufn.ru/ufn79/ufn79_8/Russian/r798e.pdf 2. Об истории гипотезы Ландау о существовании «плотных звезд», которую можно рассматривать как первое предсказание нейтронных звезд (сделанное до открытия нейтрона), можно прочитать в статье Д.Г.Яковлева, П.Хэнселя, Г.Бейма и К.Петика «Л.Д.Ландау и концепция нейтронных звезд» (Успехи физических наук, 2013, т. 183, в. 3, с. 307–314). Адрес статьи в интернете: http://ufn.ru/ru/articles/2013/ 3/f/ 3. Гипотеза Майорана подробно обсуждается в статье самого Э.Майорана «Симметричная теория электрона и позитрона» (Физика элементарных частиц и атомного ядра, 2003, т. 34, в. 1, с. 242–256), а также в статье Ю.В.Гапонова «Начало майорановской физики. Памяти Э.Майораны» (там же, с. 240–241). Обе статьи доступны в интернете по адресам: http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/v-34-1/ 7.htm; http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/v-34-1/v-34- 1-6.pdf 4. Об эволюции Вселенной, супергравитации и суперструнах, о квантовой хромодинамике, попытках построения единой теории поля и их создателях прекрасно написано в популярной книге Барри Паркера «Мечта Эйнштейна. В поисках единой теории строения Вселенной» (М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1991, перевод с английского В.И. и О.И.Мацарских, под редакцией Я.А.Смородинского). Адрес книги в интернете: http:// www.ega-math.narod.ru/Reid/Parker.htm

ЗАДАЧНИК

Пусть точки $I_{a}, I_{b}, I_{c}$ – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC, CA, AB соответственно (см. рисунок). Так как прямые $CI_{c}$ и $I_{a} I_{b}$ – биссектрисы внутреннего и внешнего угла ACB, то прямая $I_{c} C$ – высота в треугольнике $I_{a} I_{b} I_{c}$ . Аналогично, прямые $I_{a} A$ и $I_{b} B$ являются его высотами. Поэтому треугольник ABC является ортотреугольником (т.е. треугольником с вершинами в основаниях высот) треугольника $I_{a} I_{b} I_{c}$ . Так как точка I является ортоцентром треугольника $I_{a} I_{b} I_{c}$ , то треугольник ABC является также ортотреугольником треугольника $II_{a} I_{b}$ . Заметим, что точки $A, B, I_{a}, I_{b}$ лежат на одной окружности (с диаметром $I_{a} I_{b} ),$ поэтому треугольники $II_{a} I_{b}$ и IAB совмещаются преобразованием подобия – симметрией относительно биссектрисы угла AIB с последующей гомотетией с центром I. Следовательно, окружность (ABC) (описанная около ортотреугольника треугольника $II_{a} I_{b} )$ и окружность, описанная около ортотреугольника треугольника AIB, совмещаются тем же преобразованием подобия. Значит, и их центры О и $O_{C}$ , и лучи $IO_{C}$ и IO переводятся друг в друга этим же преобразованием. Следовательно, точка $E_{C}$ лежит на прямой IO. Аналогично, точки $E_{A}$ и $E_{B}$ лежат на прямой IO. С.Ильясов

$M2333^{*}$ . Граф – это конечное множество вершин, некоторые пары вершин соединены ребрами. Говорят, что граф правильно раскрашен в m цветов, если каждой из его вершин приписан один из m данных цветов так, что любые две вершины, соединенные ребром, окрашены в разные цвета. Вершины некоторого графа разбиты на три множества A, B, C так, что вершины из множества A не связаны ребрами с вершинами из множества C. Известно, что если удалить из графа все вершины множества C (вместе с выходящими ребрами), то полученный граф можно правильно раскрасить в k цветов, а если удалить из него все вершины множества A – то в n цветов. В какое минимальное количество цветов можно с гарантией правильно раскрасить такой граф?

«КВАНТА»

Ответ. k + n – 1. Покажем, что в k + n – 1 цвет правильно раскрасить все вершины можно всегда. Раскрасим B » C в n цветов, назовем один из этих цветов первым, и пусть D – совокупность всех вершин из B, покрашенных в первый цвет. Теперь раскрасим A » D в k цветов (при этом вершины из множества D перекрашиваем), использовав в качестве одного из них первый цвет (а остальные k – 1 цветов взяв отличными от уже использованных n цветов). У вершин, не входящих в A » D, сохраним прежнюю раскраску. Поскольку никакие вершины из A » D не связаны ребрами с вершинами из C, покрашенными в первый цвет (из D – в силу правильности раскраски B » C в n цветов, из A – по условию), получится правильная раскраска графа в k + n – 1 цвет. Теперь покажем, что меньшего числа цветов может и не хватить. Расположим kn точек в виде прямоугольника из n строк и k столбцов. Примем это множество за B. Снизу добавим нулевую строку из k точек, примем ее за A, слева добавим нулевой столбец, примем его за C. Ребрами в B соединим любые две точки, не лежащие ни в одной строке, ни в одном столбце. В A соединим ребрами каждые две точки, в C – тоже. Кроме того, соединим ребрами каждую точку из A со всеми точками из B, не лежащими с ней в одном столбце, и каждую точку из C со всеми точками из B, не лежащими с ней в одной строке. Очевидны правильные раскраски A » B в k цветов (по столбцам) и C » B в n цветов (по строкам). Покажем, что полученный граф нельзя раскрасить меньше чем в k + n – 1 цвет. Допустим, есть правильная раскраска A » B » C в k + n – 2 цвета. Поскольку точки множества A раскрашены в k различных цветов, а точки множества C – в n различных цветов, то имеются $m \ge 2$ цветов (назовем их общими), в которые покрашены точки обоих этих множеств. Отметим строки и столбцы, в которых находятся такие точки; на их пересечении находится $m^{2}$ точек множества B. Заметим, что в каждый из m общих цветов может быть покрашено не больше одной из этих $m^{2}$ точек, а именно, точка, стоящая на пересечении соответствующих столбца и строки. Стало быть, среди этих $m^{2}$ точек есть $m^{2} - m$ точек, раскрашенных в другие цвета. Это не могут быть общие цвета, но не могут быть и другие цвета, использованные при раскраске точек множеств A и С, потому что со всеми точками таких цветов точки из отмеченных строк и столбцов связаны ребрами. Всего при раскраске точек из A и С было использовано k + n – m цветов. Из упомянутых выше $m^{2} - m$ точек можно выбрать m точек, никакие две из которых не лежат в одной строке или одном столбце. Каждые две из этих m точек связаны ребром, поэтому они раскрашены не менее чем в m цветов. Получается, что всего использовано не менее k + n цветов. Противоречие. И.Богданов