ШКОЛА В «КВАНТЕ»
Сверхзвуковые автобусы, лодки и… деревья
Грибники и автобус Хотя грибники и утверждают, что грибы начинают попадаться как раз тогда, когда опаздываешь на автобус, все-таки лучше не доводить дело до критической отметки. Следует четко следить за временем и рассчитывать свой график движения. Вот классическая задача на такой расчет. Задача 1. По прямому шоссе движется с постоянной скоростью автобус (рис.2). Нарисуйте так называемую
Е.СОКОЛОВ
ВСТАТЬЕ «СВЕРХЗВУКОВЫЕ САМОЛЕТЫ И КОНУС МАХА»
(«Квант» №3 за 2010 г.) было показано, насколько полезно использовать понятие конуса Маха при исследовании кинематики сверхзвуковых самолетов. Напомним, что это такой конус, у которого угол при вершине определяется соотношением sin , где в числителе и в знаменателе стоят скорости звука и самолета соответственно. Конусы Маха – вполне реальные образования, сопровождающие быстро движущиеся предметы: реактивные самолеты, пули и снаряды, метеориты. Они проявляются как уплотнения воздуха, которые можно видеть на фотографиях. Первую такую фотографию получил сам Эрнст Мах (интересно, что для этого ему пришлось сконструировать особый фотоаппарат). Конусы Маха можно увидеть и в обычной жизни (рис.1), надо только внимательно смотреть. Особенно хорошо они видны на мелкой воде. Например – после дождя по улицам бегут широкие, но мелкие потоки воды. Если на их пути попадает камень, то обтекающая его вода образует на поверхности потока две линии возвышения – конус Маха. А бывает, волна набежит на песчаный берег и при ее отступлении за каждой ракушкой образуется свой личный маленький конус Маха. – А я видел, как ворона шла по мелкой луже, ища место, где попить, и волны от ее лап сложились в конус Маха. – А я видела, как капли воды, падающие с весла, образовывали на поверхности воды конусы Маха. – Это очень хорошие примеры. Добавлю, что еще можно просто провести по поверхности лужи прутиком, и при этом тоже образуется конус Маха. – А то что вершины деревьев имеют коническую форму, это тоже конусы Маха? – Если ботаники подтвердят, что побеги растут с постоянной скоростью, то да. А вот в задачах конусы Маха встречаются не только при движении сверхзвуковых самолетов, метеоритов и пуль, но и при движении обычных автобусов или лодок.
Рис. 1
Рис. 2
область достижимости автобуса, т.е. область, из которой грибник еще может успеть на него. Примите, что скорость грибника в пять раз меньше скорости автобуса. Обсуждение. Прикинем, что нам надо сделать для того, чтобы получить ответ. Во-первых, в каждую точку плоскости (а их бесконечно много) нам надо поместить по грибнику. Во-вторых, нам надо разрешить каждому грибнику двигаться во всех возможных направлениях (а их тоже бесконечно много), чтобы выяснить, сможет ли он хоть при какомнибудь направлении движения успеть на автобус. – Мне лично кажется, что грибнику надо всегда идти по перпендикуляру ОА к дороге (рис.3). Это самый короткий путь, и он займет меньше всего времени. – Да, путь ОА самый короткий, но для грибника он не лучший – ведь у грибника нет цели Рис. 3 выйти на дорогу как можно быстрее, а есть цель выйти на дорогу раньше автобуса. При таком условии путь , который идет чуть правее, будет для грибника явно предпочтительнее. – А мне не очень понятно, почему более длинный путь предпочтительнее для грибника. И совсем не понятно, почему это явно видно! – Ну что же, давайте наберемся терпения и послушаем объяснения. В некоторых случаях, когда грибник оказывается совсем рядом с дорогой, ему практически все равно куда идти, лишь бы не в сторону от дороги. Но вот когда он находится далеко от дороги, может случиться так, что, идя по перпендикуляру ОА, он опоздает на автобус, а идя по тропе , успеет, хотя и будет идти дольше. Возьмем конкретный пример. Пусть отрезок ОА имеет длину 10 км, а точка лежит на 100 м правее точки А, и пусть грибник, идущий по тропе ОА, чуть-чуть опоздал на автобус. А вот у грибника, идущего к точке , еще есть время – ведь автобусу надо еще проехать до этой точки целых 100 м. – Ну так и грибнику надо больше пройти! – Конечно, но на сколько боль-
(Продолжение см. на с. 34)