12
КВАНТ 2020/№1
ния энергии и импульса так же, как для других частиц? И хотя в положительном ответе на этот вопрос никто не сомневался, все же прямая экспериментальная проверка законов сохранения была бы очень полезной. Такая проверка была осуществлена в 1925 году Артуром Комптоном, который изучал, как рассеиваются кванты света, когда они падают на покоящийся электрон. Комптон обнаружил, во-первых, что электрон испытывает отдачу, т.е. электрон получает от кванта импульс, а вовторых, что квант теряет энергию и его частота уменьшается. Качественно картина была похожей на столкновение частиц. Но Комптон показал и больше – что энергия и импульс электрона и кванта в конце соударения как раз такие, какие получаются из уравнений, описывающих законы
сохранения.
Заключение
Таким образом, начав с изучения световых волн, физики постепенно пришли к механике квантов, очень напоминающей механику Ньютона, только с теми обобщениями, которые принесла с собой теория относительности. Рождение новой науки всегда происходило так, что в ней причудливо переплетались разные, в прошлом далеко стоящие друг от друга факты и выявлялись связи, не замечаемые ранее. Термодинамика, кинетическая теория газов, электродинамика, оптика и, наконец, теория относительности – вот тот фундамент, на котором из формулы Планка выросло здание современной физики.
НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ
Как дерево спасает от дождя
…кажется, дождик собирается, кажется, дождик собирается… А.Милн
Зададимся чрезвычайно простым вопросом: каким образом дерево укрывает от дождя? Конечно, о пальме, листом которой можно укрыть стадо слонов, речь не идет. Но ведь от дождя можно спрятаться и под елью, и под березой. Что же происходит при этом? Не спешите с ответом, который напрашивается сам собой, – что капли задерживаются на листьях. Ведь больше двух-трех капелек на листе не удержится. Не думайте, что капли испаряются с листьев во время дождя, – влажность столь велика при дожде, что даже выстиранное белье не сохнет. Как же маленькие листья, а тем более еловые или сосновые иглы, спасают от дождя? Или мы обманули себя, спрятавшись под дерево, когда «…разыгралась непогода: мол-
Опубликовано в «Кванте» №7 за 1991 год и «Кванте» №4 за 1992 год.
ния так и сверкала, а дождь лил как из ведра» (Г.X.Андерсен)? Как показывает житейский опыт, береза или ель – и не хуже, чем пальма – действительно спасает от дождя. И вот каким образом. Капля, упав на лист (или иголку), съезжает, как по канатной дороге, на самую удаленную от ствола часть листа – острие. С острия капля срывается и… падает на следующий лист, расположенный ниже. В дождливую погоду в лесу можно услышать «…множество различных оттенков стука дождевых капель, падающих с листа на листок» (Марсель Эме), и увидеть, как «…бежала с чашечки на чашечку грозой одуренная влага» (Б.Пастернак). Скатываясь с листа (иголки), капля удаляется от ствола на три-четыре сантиметра. А встретив на пути десять, двадцать листьев (игл), она будет отброшена на значительное расстояние. Как будто просто прокатилась по крыше. Вот и все. E.Гурович
19
КРИВЫЕ
ДРАКОНА
в) Если, как в задаче 10, выпустить из одной точки четыре Главные ломаные дракона ранга f, то по каждому отрезку сетки пройдет ровно одно звено одной из этих ломаных (рис.12). (Это – трудная теорема; ее впервые доказал Д.Э.Кнут.)
Еще несколько красивых кривых дракона изображены на рисунках 13–15.
б) а)
Рис. 12
а)
б)
Рис. 13. Эта кривая получается, если, начиная с отрезка, повторять процесс «удвоения» 12 раз, причем чередовать повороты по и против часовой стрелки. Чтобы лучше показать, как идет эта кривая, мы поворачиваем каждый раз не на 90q, а на 95q (черная линия); если уменьшить углы до 90q, то получится кривая дракона, которая изображена на рисунке цветной линией; она заполняет равномерным узором равнобедренный прямоугольный треугольник
20
КВАНТ 2020/№1
Ответы и указания
Рис. 14. Эта кривая дракона ранга 12 имеет специальное название «Папа, мама и сын». Найдите ее середину. Можете ли вы себе представить, что кривая разбивается этой точкой на два совершенно одинаковых куска, получающихся друг из друга поворотом на 90q? Чтобы поверить в это, придется, вероятно, пройтись по кривой цветным карандашом от начала до середины
Рис. 15. Здесь одна из двух половин кривой (она называется «Паровоз») нарисована цветной, чтобы показать, как эти две кривые «сцепляются» между собой. Одна половина после поворота ее вокруг средней точки на 90q совпадет с другой
- Меньше: см см см см = 10700 км, а до Луны примерно 384000 км. 2. Ломаная заменится зеркально симметричной. В записывающем ее слове каждая буква изменится на противоположную: R на L, a L на R. 3. б) (при n t 2); сравните с задачей 5, г, д. 4. Черепаха прочтет слово, которое получается из исходного слова, если записать его буквы в обратном порядке, а затем всюду поменять L на R, a R на L. Это утверждение верно для любой ломаной. Для ломаных дракона новое слово из старого получается совсем просто – надо только заменить в исходном слове среднюю букву на противоположную (см. задачу 5). 5. Используйте теоремы 1, 2 и задачу 3. 6. Вообще говоря, другие (например, для ломаной RRLLRLLLRRLRRLL). 7. Используйте теорему 2. 9. Можно провести индукцию по n (рангу ломаной), доказав с помощью задачи 8, что достраиваемые согласно теореме 2 треугольники не могут прилегать друг к другу катетами. 10. То, что две соседние ломаные (получающиеся друг из друга поворотом на 90q) не имеют общего отрезка, вытекает из теоремы 1 и задачи 9. Чтобы строго доказать, что две симметричные друг другу относительно точки О ломаные не могут иметь общего отрезка, можно использовать теорему Жордана: «замкнутая несамопересекающаяся линия делит плоскость на две такие области – внутреннюю и внешнюю, что любая линия, один конец которой лежит во внешней области, а другой во внутренней, пересекает данную линию»; при этом, поскольку наши ломаные дракона приходят в некоторые вершины по два раза, удобнее перейти к кривым дракона. 12. а) Проверьте, пользуясь теоремой 1 (индукция по n). б) Сравните с задачей 7.