Эволюционные процессы и обыкновенные дифференциальные уравнения

Квант 2020, №1 с. 30, 41 Тег JIJ9

В.АРНОЛЬД

Уравнение было очень сложное, но профессор с присущей ему скромностью назвал его обыкновенным. Из газетного интервью с математиком

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – одно из основных орудий математического естествознания. Изобрел их Исаак Ньютон (1642–1727). Задачи, по существу приводящие к дифференциальным уравнениям, появлялись и до Ньютона. Однако решать их умели лишь такие гении, как президент французской Академии наук X.Гюйгенс (1629–1695) и учитель Ньютона, математик и богослов, проповедник английского короля И.Барроу (1630–1677). После Ньютона их решают любые студенты и даже школьники. Ньютон считал свое изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде $анаграммы^{1}$ , смысл которой в современ-

1 6accdael3eff7i3l9n4o4qrr4s9tl2vx. Расшифровка: data aequatione quotcunque fluentes quantitates invuolvente fluxiones invenire et vice versa, т.е. «по данному уравнению, содержащему сколько-нибудь функций, найти производную и обратно». Эта анаграмма содержится в знаменитом «втором письме» Ньютона секретарю Королевского общества (английской академии наук) Ольденбургу от 24 октября 1676 года. Письмо предназначалось Лейбницу (1646–1716) и содержало сообщение об изобретении математического анализа. Переписку с Лейбницем, жившим в Германии, Ньютон вел через Ольденбурга (которого впоследствии заключили в Тауэр за связь с иностранцами).

Опубликовано в «Кванте» №2 за 1986 год.

ных терминах можно вольно передать так: «полезно» решать дифференциальные уравнения (так как ими выражаются законы природы). В другой, более длинной анаграмме Ньютон зашифровал также и придуманный им рецепт решения всех уравнений, в том числе и дифференциальных. Теория дифференциальных уравнений перерабатывает вопросы естествознания в геометрические задачи о кривых, определенных векторными полями (см. ниже), подобно тому, как декартов метод координат превращает вопросы об алгебраических уравнениях в задачи о линиях и поверхностях.

Состояния процесса

Чтобы изучить какой-либо процесс, нужно прежде всего уметь описывать множество всевозможных состояний этого процесса. Посмотрим, как это делается, на примерах. 1. Движение точки по прямой. Опыт показывает, что для определения движе-

Рис. 1. Движение по прямой

КВАНТ 2020/№1

ния материальной точки по прямой в отсутствие внешних сил достаточно задать в начальный момент ее скорость и положение на прямой. Поэтому множество всех ее состояний математик отождествляет с координатной плоскостью s; v: каждой точке на этой плоскости отвечает материальная точка, движущаяся со скоростью v и занимающая положение с координатой s, и обратно – каждому состоянию отвечает своя точка плоскости (рис.1). 2. Колебания маятника. Состояние плоского маятника тоже описывается двумя параметрами, например углом отклонения T от вертикали и угловой скоростью Z маятника (рис.2). Стало быть, множе-

Рис. 2. Колебания маятника

ством состояний маятника снова будет плоскость? Не совсем. Дело в том, что при изменении угла T на 2S маятник возвращается в прежнее положение. Поэтому множество состояний здесь – цилиндрическая поверхность (см. рис.2). 3. Положение возов на двух дорогах. Города А к В соединены двумя непересекающимися дорогами, на каждой из которых находится воз; нас интересует их взаимное расположение. Положение воза на первой дороге (рис.3) можно определить числом –

Рис. 3. Задача о двух возах на двух дорогах

долей расстояния от А до В (по первой дороге), заключенной между А и возом; аналогично, воз на второй дороге определяется такой же долей по второй дороге. Поэтому интересующее нас множество состояний описывается точками x; y единичного квадрата ( 0 d x d 1, 0 d y d 1 ). Множества состояний процесса в теории дифференциальных уравнений называют фазовыми пространствами. Итак, каждая точка фазового пространства (фазовая точка) изображает состояние процесса. А само течение конкретного процесса изображается линией в фазовом пространстве; эти линии называются фазовыми траекториями. Введение фазового пространства процесса геометризует теорию – вопросы о ходе процесса превращаются в вопросы о поведении фазовых траекторий. Получающиеся геометрические задачи могут быть трудными. Однако бывает и так, что уже одно введение фазового пространства позволяет решить трудную задачу. Задача (Н.Н.Константинов). Из города А в город В ведут две непересекающиеся дороги. Известно, что две машины, выезжающие по разным дорогам из А в В и связанные веревкой некоторой длины, меньшей 2l, смогли проехать из А в В, не порвав веревки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два круглых воза с сеном радиуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг другу? Фазовым пространством здесь служит единичный квадрат. Начальное положение машин (в городе А) соответствует левому нижнему углу квадрата, а движение машин из А в В изображается кривой, ведущей в противоположный угол (см. рис.3). Точно так же начальное положение возов соответствует правому нижнему углу квадрата, а движение возов изображается кривой, ведущей в противоположный угол квадрата (левый верхний). Но всякие две кривые в квадрате, соединяющие разные пары противоположных вершин, пересекаются. Поэтому, как бы ни двигались возы, наступит момент, когда пара возов займет положение, в котором была в некоторый момент времени пара машин. В этот

ЗАДАЧНИК

те график зависимости напряжения на нагрузке, на которую замкнут источник, от сопротивления нагрузки. Подключим к источнику резистор с сопротивлением R. Напряжение на нагрузке связано с током простым соотношением: $U_{н} RI$ . На том же рисунке, где изображена зависимость U I напряжения источника от тока через него, нарисуем прямую $U_{н} RI$ . Точка пересечения графика U I и прямой $U_{н} RI$ даст нам искомые ток и напряжение. Для обычного источника, у которого напряжение на зажимах тем меньше, чем больше ток, никаких проблем больше не возникает – точка пересечения одна и результат определяется однозначно. А вот для необычного источника, у которого на некотором участке напряжение растет с ростом тока, есть область значений R, при которых точек пересечения целых три. Понятно, что ток не может иметь одновременно три значения; значит, с этой областью нужно разбираться отдельно – удобный графический способ нахождения тока в цепи тут явно не подходит. Подключим к источнику сначала резистор с очень большим сопротивлением, а затем будем постепенно сопротивление уменьшать. Первоначальный ток в цепи будет очень малым, и при уменьшении сопротивления он будет возрастать. На

Рис. 2

рисунке 2 такому режиму соответствует участок ab, на котором значения U и I U меняются от $U_{a} = 20$ В, $I_{a} = 0$ до $U_{b} | 10$ В, $I_{b} | 120$ мА. Каждая точка этого участка соответствует устойчивому

«КВАНТА»

состоянию (малые изменения тока в цепи приводят к изменениям напряжения, которые стремятся компенсировать изменения тока; это характерно для всех «нормальных» цепей). При дальнейшем уменьшении R режим меняется скачком от $U_{b}, I_{b}$ до $U_{c} | 22$ В, $I_{c} | 260$ мА, а затем – снова «устойчивый» режим (справа от точки с по кривой U I ). Если мы начнем с малых сопротивлений резистора, то при увеличении R мы дойдем до точки d (рис.3), затем – скачок от $U_{d} | 23$ В, $I_{d} | 210$ мА до $U_{e} | 8$ В, $I_{e} | 80$ мА и снова по кривой U I до точки а.

Рис. 3

А что если взять резистор, сопротивление которого лежит в области 80 Ом < < R < 100 Ом (значению R | 80 Ом соответствуют точки b и с на рисунке 2, значению R | 100 Ом – точки е и d на рисунке 3), и подключить его к источнику? Каковы будут напряжение и ток в цепи? Чтобы ответить на этот вопрос, надо знать такие параметры цепи, как индуктивность проводов, емкость между выводами резистора. Если, например, индуктивность проводов большая (длинные провода), а емкость между проводами маленькая, то в момент подключения резистора к источнику ток будет малым (влияние индуктивности), а затем будет нарастать – режим в цепи будет устанавливаться в соответствии с рисунком 2. Если велика емкость между подключаемыми к источнику проводами, а индуктивность проводов маленькая, то в первый момент ток будет большим и станет