47
«КВАНТ»
ДЛЯ
МЛАДШИХ
ШКОЛЬНИКОВ
Про умножение
А.САВИН
КОМУ КАК, А МНЕ ТАБЛИЦА УМНОЖЕ- ния давалась с трудом. Конечно, «дважды два – четыре» и «пятью пять – двадцать пять» запомнились легко, а вот «семью восемь» или «девятью шесть» никак не укладывались в голове. «Трудные» произведения я вычислял примерно так: «пятью восемь – сорок, да дважды восемь – шестнадцать, значит, всего пятьдесят шесть». Но учитель требовал беглых ответов, и таблицу приходилось «долбить» наизусть. Это знакомо не только мне одному – недаром сотни лет школяры разных стран, каждый на своем языке, называли ее «долбица умножения». (Между прочим, среди моих учеников – студентов физтеха – встречаются такие, кто знает ее весьма нетвердо.) В конце концов таблицу я выучил. Впоследствии выяснилось, что это было нужно не учителю, а мне самому: с ее помощью оказалось возможным перемножать любые числа, причем довольно быстро. Так я прожил много лет в полной уверенности, что без таблицы умножения числа быстро не перемножить. Эту уверенность подкрепляло то, что я узнавал о способах умножения в Индии, Китае, в Европе эпохи Возрождения… И вот однажды я наткнулся на «русский крестьянский способ умножения», который был распространен в России два столетия назад, и с изумлением обнаружил, что русские крестьяне умели перемножать числа без помощи таблицы умножения! Им достаточно было уметь умножать и делить на два, а также складывать числа. Вот как они это делали. Напишем одно из чисел слева, второе – справа на одной строчке. Левое число будем делить, правое – умножать на два,
Опубликовано в «Кванте» №2 за 1992 год.
а результаты записывать в столбик так, как показано на рисунке 1. Если в какой-то момент придется делить на два нечетное число, остаток отбросим. Когда от левого числа останется единица, все те строки, в которых слева стоят четные числа. Все, что осталось справа, сложим. Полученное число – произведение тех двух чисел, с которых мы начали! Сначала я, конечно, не поверил прочитанному и честно перемножил 13 и 17 по предложенному рецепту. Получился правильный ответ: 221. Я поменял числа местами и перемножил их снова. Ответ не изменился – опять 221 (рис.2). Я отказывался верить своим глазам: уж слишком это походило на фокус вроде известных примеров неправильных действий, дающих верные зультаты, – таких, как изображенное на рисунке 3 «сокращение» дробей.
Рис. 3
Но метод оказался абсолютно правильным! Прежде чем читать дальше, попробуйте таким способом перемножить несколько пар чисел, чтобы освоиться с ним и набрать некоторый запас уверенности в его справедливости. Посчитали? А теперь я покажу, что это действительно способ умножения, всегда дающий верный результат. В двух предыдущих номерах нашего журнала были опубликованы статьи И.Яглома «Системы счисления» и «Две игры со спичками», в которых подробно рассказы-
49
«КВАНТ»
ДЛЯ
МЛАДШИХ
ШКОЛЬНИКОВ
вод: пожалуй, накладно будет хватать бумагу и ручку, чтобы подсчитать, сколько стоят 8 пирожков по 70 копеек за штуку, или лезть для этого в сумку за тетрадью, на обложке которой помещена «таблица Пифагора» (рис.7).
Рис. 8
Рис. 7
Она действительно такая древняя – более двух тысяч лет назад пифагорейцы умножали числа с ее помощью. (Недавно ташкентский математик А.Азамов заметил любопытное ее свойство: если четыре числа этой таблицы расположены в вершинах квадрата, центр которого – тоже число таблицы Пифагора, то число в центре квадрата равно среднему арифметическому чисел в его вершинах. Так, для чисел, выделенных на рисунке 7, имеем: 42 = ( 25 + 48 + 63 + 32 ) 4 .) За долгие тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик конца XV – начала XVI веков Лука Пачиоли в своем трактате об арифметике приводит 8 различных способов умножения. Вот два из них, на мой взгляд, наиболее интересные. В первом, который носит название «маленький замок» (рис.8), цифры верхнего числа, начиная со старшей, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей, а затем результаты складываются. Преимущество этого метода пе- ред обычным в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно при прикидочных расчетах. Второй способ носит не менее романтическое название: «ревность» (или «решетчатое умножение»). Рисуется решетка, в которую затем вписывают результаты промежуточных вычислений (на самом деле – нужные числа из таблицы умножения). Эта решетка представляет собой прямоугольник, разбитый на квадратики, каждый из которых разделен диагональю (рис.9). «Такая решетка на-
Рис. 9
поминает решетчатые ставни-жалюзи, которые вешались на венецианские окна, мешая уличным прохожим видеть сидящих у окна дам и монахинь»,– пишет Лука Пачиоли. Перемножим этим способом числа 567 и 3984. Сверху таблицы запишем один сомножитель, а слева – другой. Затем в