Các lưỡi liềm của Hippocrates

⟦trang 17⟧

CÁC LƯỠI LIỀM
CỦA HIPPOCRATES

Vào thế kỷ thứ năm trước Công nguyên, tức gần hai nghìn năm trăm năm trước, ở Hy Lạp có một nhà khoa học tên là Hippocrates xứ Chios. Chính Hippocrates là người có nỗ lực đầu tiên được biết đến nhằm tạo ra “Cơ sở” hình học. Đáng tiếc, cuốn sách này đã không đến được với chúng ta.

Theo một truyền thuyết, thương nhân kém may mắn Hippocrates bị cướp biển cướp sạch và đi đến Athens để kiện họ. Tại đây ông gặp các hiền triết, những người dành thời gian chủ yếu để giải các bài toán hình học. Không tìm được cách trị bọn cướp, Hippocrates tự an ủi bằng việc vượt qua những hiền triết khéo léo nhất về hình học . . .

Hippocrates đã cố thực hiện phép vuông hóa hình tròn, nói cách khác, dựng bằng compa và thước một hình tròn có diện tích bằng một hình vuông cho trước. Và tuy dĩ nhiên ông không làm được điều đó, ông đã dựng được vài hình là những phần của mặt phẳng bị giới hạn bởi hai đường tròn, nhưng nevertheless lại có diện tích bằng hình vuông.

Trong lịch sử hình học, tên Hippocrates gắn với những hình đặc biệt, gọi là các lưỡi liềm. Có thể định nghĩa một lưỡi liềm (nói cách khác, hình trăng khuyết) như sau: trên một dây của một đường tròn bất kỳ, dựng ra phía ngoài một nửa đường tròn có các đầu mút trùng với các đầu mút của dây. Hình bị giới hạn bởi cung nhỏ hơn

của đường tròn đã cho và nửa đường tròn được dựng chính là một lưỡi liềm.

Trên hình 1, bốn lưỡi liềm cũng được tô màu vàng. Hippocrates nhận thấy tổng diện tích của chúng bằng diện tích hình vuông được tô màu xanh lam ở đây. Thật vậy, tổng diện tích các nửa hình tròn dựng trên các cạnh của hình vuông này bằng diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông. Nếu bỏ khỏi các nửa hình tròn những đoạn được tô màu tím, thì còn lại bốn lưỡi liềm; còn nếu bỏ chúng khỏi hình tròn lớn, thì còn lại hình vuông.

Hình 1.
17

⟦trang 18⟧

Hình 2.

Hình 2 minh họa thêm một định lý của Hippocrates. Hóa ra diện tích hình thang nội tiếp đường tròn có tâm tại điểm O bằng tổng diện tích các lưỡi liềm màu cam và nửa hình tròn màu cam (cả ba lưỡi liềm bằng nhau theo cách dựng, nửa hình tròn bằng những nửa hình tròn tạo nên các lưỡi liềm). Định lý này được chứng minh giống như khẳng định trước.

Trên hình 3 có một hình cũng do Hippocrates dựng. Hai cạnh bên và đáy nhỏ của hình thang bằng 1, đáy lớn bằng $\sqrt{3}$. Cung dưới của hình, được giới hạn trên hình bằng các đường màu đen và tự nhiên được gọi là lưỡi liềm tổng quát, tiếp xúc với đường chéo của hình thang. Hóa ra diện tích hình thang nội tiếp và lưỡi liềm bằng nhau (chứng minh điều này về diện tích các lưỡi liềm. Chứng minh sự kiện này dễ có được nếu dùng định lý Pythagoras. Nhân tiện, hình này còn có một tính chất đáng ngạc nhiên nữa. Các lưỡi liềm có cùng bề rộng. Chính xác hơn, đường kính của các đường tròn lớn nhất nội tiếp trong chúng đều bằng một nửa hiệu giữa tổng hai cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác được chỉ trên cùng hình.

⟦trang 20⟧

học vẫn là các cạnh của tam giác $T$).

Vì các đoạn đối xứng có diện tích bằng nhau, bây giờ chỉ cần chứng minh (xem hình 6 e) rằng tổng diện tích các tứ giác $R_1, R_2$ và $R_3$ trừ đi diện tích tam giác $L$ bằng hai lần diện tích tam giác $T$.

Các tam giác $L$ và $L'$ đối xứng qua cạnh $c$. Bây giờ phản xạ các tam giác $P$ và $Q$ trước hết qua cạnh $c$. Ta được các tam giác $P'$ và $Q'$. Sau đó phản xạ tam giác $P'$ qua cạnh $b$, còn tam giác $Q'$ — qua cạnh $a$. Ta được một hình gồm hai tam giác $T_1$ và $T_2$.

Cả hai tam giác này đối xứng

Hình 62.

$$\frac{S}{S'} = \pi$$

Hình 7

Hình 8a, b, c.