Kỳ thi viết đầu vào môn toán tại khoa Toán tính toán và Điều khiển học của ĐHTH Moskva năm 1970

42

Kỳ thi viết đầu vào môn toán tại khoa toán tính toán và điều khiển học của Đại học Quốc gia Moskva năm 1970

Sh. A. Alimov, F. P. Vasiliev, V. P. Modenov

Trong hai thập kỷ gần đây, vai trò của các khoa học toán học trong hệ thống tri thức chung của nhân loại đã tăng lên vô cùng to lớn. Nguyên nhân chủ yếu của điều này là sự phát triển của toán tính toán. Việc tạo ra các máy tính điện tử đã tạo nên một cuộc cách mạng thực sự không chỉ trong khả năng và phương pháp tính toán, mà còn trong chính tính chất của việc ứng dụng toán học. Đã trở nên rõ ràng rằng chất lượng và số lượng các máy toán học, việc sử dụng chúng và các hệ thống điều khiển chúng là một bộ phận cấu thành không thể tách rời, quyết định trình độ khoa học-kỹ thuật của đất nước.

Liên quan đến điều đó, nảy sinh nhu cầu đào tạo các nhà toán học thuộc chuyên ngành mới. Năm 1970, tại Đại học Quốc gia Moskva mang tên M. V. Lomonosov đã mở một khoa mới — khoa toán tính toán và điều khiển học. Cũng trong năm đó đã tiến hành tuyển sinh lần đầu vào khoa này.

Trong kỳ thi viết môn toán, mỗi thí sinh được đề nghị một đề gồm năm bài toán, để giải trong 4 giờ. Để đạt điểm đạt yêu cầu, cần giải được hơn hai bài toán. Điểm xuất sắc được cho khi giải đúng cả năm bài toán.

Hãy xét làm ví dụ một đề điển hình, được lập từ các bài toán đã được đưa ra trong kỳ thi viết.

Đề 0

1. Xác định mọi giá trị thực của $a$, sao cho với mỗi giá trị đó phương trình $\cos^4 x - (a-2)\cos^2 x - 3(a+1) = 0$
   có nghiệm, và tìm tất cả các nghiệm ấy.

2. Giải phương trình
   $$\left| 1 + \log \frac{1}{3} x \right| = 3 + \left| 2 - \log \frac{1}{3} x \right|.$$

3. Từ thành phố $A$ đến thành phố $B$, cách $A$ 240 km, một xe buýt khởi hành với tốc độ 40 km/h. Đồng thời với nó, từ $B$ đến $A$ một ô tô khởi hành với tốc độ không đổi $v$ km/h. Nửa giờ sau khi gặp nhau, ô tô, chưa đến thành phố $A$, quay lại và với tốc độ cũ đi về phía $B$. Xác định mọi giá trị của $v$ để ô tô đến $B$ sớm hơn xe buýt.

4. Trong tam giác $ABC$, độ dài cạnh $BC$ bằng trung bình cộng của độ dài các cạnh $AB$ và $AC$. Góc $A$ bằng $\alpha$. Tìm các góc $B$ và $C$, biết rằng $B \geq C$. Khảo sát xem với những giá trị nào của góc $\alpha$ thì bài toán có nghiệm.

5. Trong một hình nón tròn xoay có đỉnh $S$, góc giữa đường cao $SO$ và đường sinh bằng ф. Trên mặt phẳng đáy, ở ngoài hình nón, chọn hai điểm $A$ và $B$ sao cho các đường thẳng $SA$ và $SB$ vuông góc với nhau và tạo với đường cao $SO$ các góc lần lượt bằng $\alpha$ và $\beta$. Tính góc giữa các đường sinh mà theo đó mặt bên của hình nón cắt các tam giác $OSA$ và $OSB$.

43

Lời giải các bài toán

1. Nhận thấy rằng $0 \leq \cos^2 x \leq 1$ với mọi $x$. Khi đó, bằng phép đặt $\cos^2 x = t$, phương trình được đưa về hệ:

$$\begin{cases} t^2 - (a - 2)t - 3(a + 1) = 0, \\ 0 \leq t \leq 1, \end{cases}$$

hệ này có nghiệm $t = a + 1$ khi $-1 \leq a \leq 0$. Do đó,

$$\cos^2 x = a + 1,$$

trong đó $-1 \leq a \leq 0$. Suy ra

$$x = \pm \arccos \sqrt{a + 1} + \pi n$$

($n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots; -1 \leq a \leq 0$).

Đa số những người nộp bài giải bài toán này đã giải đúng. Một số thí sinh đã giải sai phương trình (1), vì nhầm rằng $\arccos (-\sqrt{a + 1}) = \arccos \sqrt{a + 1}$, và đã bỏ mất nghiệm tương ứng với phương trình $\cos x = -\sqrt{a + 1}$. Một số thí sinh không nêu tất cả các giá trị của $a$ mà bài toán có nghiệm.

2. Miền giá trị cho phép của ẩn số: $x > 0$. Viết lại phương trình dưới dạng

$$|1 + t| = 3 + |2 - t|,$$

trong đó $t = \log \frac{1}{3} x$. Xét lần lượt các khoảng $t \leq -1, -1 < t < 2, t \geq 2$. Khi $t \geq 2$ có $1 + t = 3 + t - 2,$

nghĩa là phương trình (1) được thỏa mãn đồng nhất với mọi $t \geq 2$. Tiếp theo, ta thấy rằng phương trình (1) không có nghiệm khi $t \leq -1$ và $-1 < t < 2$. Như vậy, phương trình (1) đúng với mọi $t \geq 2$. Suy ra $\log \frac{1}{3} x \geq 2$, và có tính đến miền xác định, nhận được

$$0 < x \leq 1/9.$$

Một số thí sinh, nhận thấy đồng nhất thức (2), đã viết rằng phương trình được thỏa mãn đồng nhất với mọi $t$, không xét đến điều kiện $t \geq 2$.

3. Gọi $t(u)$ là thời gian chuyển động của máy tự động đến lần gặp đầu tiên với máy tự động. Vì máy tự động và máy tự động xuất phát đồng thời, nên có đẳng thức

$$40t + vt = 240.$$

(1)

Ô tô bề mặt sau $t + \frac{1}{2}(u)$ kể từ khi rời thành phố $B$ và, do đó, trở về $B$ sau $2t + 1(u)$. Xe buýt sau lần gặp đầu tiên đã đi $vt(\kappa m)$, mất cho quãng đường này $\frac{vt}{40}(u)$. Như vậy, Xe buýt cần cho toàn bộ quãng đường từ $A$ đến $B$ $t + \frac{vt}{40}(u)$. Để ô tô đến $B$ sớm hơn xe buýt, bất đẳng thức sau phải đúng

$$2t + 1 < t + \frac{vt}{40}.$$

(2)

Theo điều kiện, ô tô không đi tới thành phố $A$. Vì tại thời điểm lần gặp đầu tiên nó cách $A$ một khoảng $40t(\kappa m)$ và trong thời gian nhận được đi quãng đường $\frac{v}{2}$, nên điều kiện này dẫn đến bất đẳng thức

$$\frac{v}{2} < 40t.$$

(3)

Kết hợp (1), (2) và (3), ta được hệ:

$$\begin{cases} 40t + vt = 240, \\ 2t + 1 < t + \frac{vt}{40}, \\ \frac{v}{2} < 40t. \end{cases}$$

Từ phương trình (1), tìm được $t = \frac{240}{v + 40}$ và thay vào các bất đẳng thức (2) và (3). Giải đồng thời các bất đẳng thức thu được theo $v$, ta tìm được $56 < v < 120$.

Việc lập phương trình (1) và bất đẳng thức (2) được đa số thí sinh làm đúng, mặc dù một số em đã thay dấu < trong (2)

44

bằng dấu ≤. Phần lớn sai lầm là do điều kiện (3), vì nhiều thí sinh không hiểu sự cần thiết của yêu cầu này và chỉ giải hệ thu được từ (1) và (2).

4. Theo điều kiện

$$BC = \frac{AB + AC}{2}.$$

(1)

Dùng định lý sin, ta tìm được

$$AB = BC \frac{\sin C}{\sin \alpha}, \quad AC = BC \frac{\sin B}{\sin \alpha}$$

và thay vào (1). Ta được

$$\sin B + \sin C = 2 \sin \alpha,$$

$$\sin \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2} = \sin \alpha.$$

Vì

$$B + C = \pi - \alpha,$$

(2)

nên $$\sin \frac{B + C}{2} = \cos \frac{\alpha}{2},$$ và

$$\cos \frac{B - C}{2} = 2 \sin \frac{\alpha}{2}.$$

(3)

Vì theo điều kiện $B \geq C$ và ngoài ra $0 < C < \pi, 0 < B < \pi$, nên

$$0 \leq B - C < \pi.$$

(4)

Nhận thấy rằng $$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$$, từ các điều kiện (2), (3), (4), để xác định $B$ và $C$ ta có hệ:

$$\begin{cases} B - C = 2 \arccos \left(2 \sin \frac{\alpha}{2}\right), \\ B + C = \pi - \alpha. \end{cases}$$

(5)

Từ (5) suy ra

$$\begin{cases} B = \frac{\pi - \alpha}{2} + \arccos \left(2 \sin \frac{\alpha}{2}\right), \\ C = \frac{\pi - \alpha}{2} - \arccos \left(2 \sin \frac{\alpha}{2}\right). \end{cases}$$

Vì vậy, với mọi giá trị $\alpha$ mà tại đó tồn tại tam giác $ABC$ thỏa mãn mọi điều kiện của bài toán, các góc $B$ và $C$ được tính theo các công thức (6).

Xét những giá trị $\alpha$ mà bài toán có nghiệm. Từ (6) tất yếu có

$$\left| 2 \sin \frac{\alpha}{2} \right| \leq 1.$$

Vì $0 < \alpha < \pi$, nên từ đây $0 < \sin \frac{\alpha}{2} \leq \frac{1}{2}$ và do đó $0 < \alpha \leq \frac{\pi}{3}$.

Với các giá trị tìm được của $\alpha$, các đại lượng $A = \alpha, B$ và $C$, được xác định bởi các công thức (6), đều dương và có tổng bằng $\pi$. Để chứng minh điều này, chỉ cần kiểm tra điều kiện $C > 0$, hoặc $0 < \alpha \leq \frac{\pi}{3}$ và, như suy ra từ (6), $B \geq C, \alpha + B + C = \pi$.

Ta sẽ chứng minh rằng $C > 0$ hoặc, theo (5),

$$\frac{\pi - \alpha}{2} > \arccos \left(2 \sin \frac{\alpha}{2}\right).$$

(7)

Vì cos $x$ trên đoạn $0 \leq x \leq \pi$ giảm đơn điệu, còn các đại lượng $\frac{\pi - \alpha}{2}$ và arccos $\left(2 \sin \frac{\alpha}{2}\right)$ thuộc đoạn này, nên khi lấy cosin của cả hai vế của bất đẳng thức (7), ta có $$\cos \frac{\pi - \alpha}{2} = \sin \frac{\alpha}{2} < 2 \sin \frac{\alpha}{2}.$$

Với $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$ bất đẳng thức này đúng.

Lặp lại lập luận của chúng ta theo thứ tự ngược lại, ta khẳng định được tính đúng đắn của bất đẳng thức $C > 0$.

Như vậy, với tam giác $ABC$ có các góc $A = \alpha, B \geq C$ và thỏa mãn các điều kiện của bài toán, các góc $B$ và $C$ được tính theo các công thức (6), $0 < \alpha \leq \frac{\pi}{3}$.

Nhiều thí sinh, sau khi nhận được hệ để xác định $B$ và $C$, đã không giải được hệ đó, còn một số người viết đáp số dưới dạng (6), nhưng không khảo sát xem bài toán có nghiệm với những giá trị nào của $\alpha$. Một bộ phận thí sinh chỉ nêu trường hợp tam giác đều

$$\alpha = B = C = \frac{\pi}{3}.$$

5. Gọi $x$ là góc cần tìm giữa các đường sinh $SA_1$ và $SB_1$, theo đó mặt bên của hình nón cắt các tam giác $OSA$ và $OSB$ (xem hình.ok): $\Rightarrow ASB = \frac{\pi}{2}, \Rightarrow OSA = \alpha,$

45

Chỉ có ít thí sinh giải được bài này.

Lưu ý rằng các công thức (1) và (2) biểu thị các quan hệ giữa các góc nhị diện trong và các góc phẳng tại đỉnh của góc tam diện. Trong trường hợp tổng quát, nếu $A, B$ và $C$ là các góc nhị diện trong đối diện với các góc phẳng tương ứng $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ của góc tam diện, thì có các công thức:

$$\cos A = \frac{\cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma},$$

$$\cos B = \frac{\cos \beta - \cos \alpha \cos \gamma}{\sin \alpha \sin \gamma},$$

$$\cos C = \frac{\cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta},$$

được suy ra giống như công thức (1). Các công thức này có thể hữu ích khi giải nhiều bài toán hình học không gian.

Cuối cùng, chúng tôi đề nghị tự giải biến thể sau đây, đã được đưa ra trong kỳ thi viết.

Biến thể 1

1. Xác định tất cả các giá trị thực của $a$ mà với mỗi giá trị đó phương trình $\cos^4 x - (a+2)\cos^2 x - (a+3)=0$ có nghiệm, và tìm tất cả các nghiệm ấy.

2. Giải phương trình

$$|1 - \log_1 x| + 2 = |3 - \log_1 x|.$$

3. Từ thành phố $A$ đến thành phố $B$, cách $A$ 105 km, một xe buýt xuất phát với vận tốc không đổi $v$ km/h. Sau 30 phút, từ $A$ một ô tô xuất phát theo sau với vận tốc 40 km/h; sau khi đuổi kịp xe buýt trên đường, nó quay lại và chuyển động với vận tốc cũ. Xác định tất cả các giá trị của $v$ mà ô tô trở về $A$ muộn hơn xe buýt đến $B$.

4. Trong tam giác $ABC$, cạnh $BC$ là đường kính của một nửa đường tròn có diện tích bằng diện tích tam giác $ABC$. Góc $A$ bằng $\alpha$. Tìm các góc $B$ và $C$, biết rằng $B \geq C$. Xét những giá trị nào của góc $\alpha$ để bài toán có nghiệm.

5. Trong một hình nón tròn xoay có đỉnh $S$, góc giữa các đường sinh $SA$ và $SB$ bằng $\alpha$, còn góc giữa các hình chiếu của chúng trên mặt phẳng đáy bằng $\beta$. Hãy tính góc giữa các đường phân giác của các góc $OSA$ và $OSB$, trong đó điểm $O$ là tâm của đường tròn làm đáy hình nón.