Вступительный письменный экзамен по математике на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ в 1970 году

42

Вступительный письменный экзамен по математике на факультете вычислительной математики и киберnetики МГУ в 1970 году

Ш. А. Алимов, Ф. П. Васильев, В. П. Моденов

В последние два десятилетия значение математических наук в общей системе человекаских знаний возросло неизмеримо. Главной причиной этого является развитие вычислительной математики. Создание электронных вычислительных машин производно настоящую революцию не только в вычислительных возможностях и методах, но и в самом хараkteре применения математики. Стало ясным, что качество и количество математических машин, их применение и системы управления иммия является неотъемлемой составной частью, определяющей научно-технический уровень страны.

В связи с этим возникла необходимость подготовки математиков новой специализации. В 1970 году в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова был открыт новый факультет — факультет вычислительной математики и киберnetики. В том же году был произведен первый прием на этот факультет.

На письменном экзамене по математике каждому поступавему был предложен вариант из пяты задач, на решение которых отводилось 4 часа. Для получения удовлетворительной оценки нужно было решить более двух задач. Отличная оценка выставлялась за правильное решение всех пяты задач.

Разберем для примера типичный вариант, составленный из задач, предлагавшихся на письменном экзамене.

Вариант 0

1. Определить все действительные значения $a$, при каждом из которых уравнение $\cos^4 x - (a-2)\cos^2 x - 3(a+1) = 0$
   иммете решение, и найти все эти решения.

2. Решить уравнение
   $$\left| 1 + \log \frac{1}{3} x \right| = 3 + \left| 2 - \log \frac{1}{3} x \right|.$$

3. Из города $A$ в город $B$, нахождение на расстоянии 240 км от $A$, со скоростью 40 км/ч выходит авторус. Одновременно с ним из $B$ в $A$ с постоянной скоростью $v$ км/ч выезда авторомы. Через полчаса после встречи авторомы, не доезжая до города $A$, поворачивает обратно и с прежней скоростью движения по направлению к $B$. Определить все значения $v$, при которых авторомы приходят в $B$ равше, чем авторус.

4. В треугольнике $ABC$ длина стороны $BC$ равна среднему арфметическому длине стороны $AB$ и $AC$. Угол $A$ равен $\alpha$. Найти углы $B$ и $C$, считая, что $B \geq C$. Исследовать, при каких значениях угла $\alpha$ задача имеет решение.

5. В прямом круговом конусе с вершиной $S$ угол между высотой $SO$ и образующей равен ф. На плоскости основания вне конуса выбраны две точки $A$ и $B$ так, что прямые $SA$ и $SB$ взаимно перпендикулярны и образуют с высотой $SO$ углы, соответствующие равны $\alpha$ и $\beta$. Вычислить угол между образующими, по которым боковая поверхность конуса пересекает треугольники $OSA$ и $OSB$.

43

Разбор задач

1. Заметим, что $0 \leq \cos^2 x \leq 1$ при всех $x$. Тогда с помощью подстановки $\cos^2 x = t$ уравнение приводится к системе:

$$\begin{cases} t^2 - (a - 2)t - 3(a + 1) = 0, \\ 0 \leq t \leq 1, \end{cases}$$

которая имеет решение $t = a + 1$ при $-1 \leq a \leq 0$. Следовательно,

$$\cos^2 x = a + 1,$$

где $-1 \leq a \leq 0$. Отсюда

$$x = \pm \arccos \sqrt{a + 1} + \pi n$$

($n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots; -1 \leq a \leq 0$).

Большинство поступавших с решением этой задачи справилось. Часть абитриентов неверно решила уравнение (1), ошибочно полагая, что $\arccos (-\sqrt{a + 1}) = \arccos \sqrt{a + 1}$, и потеряла решение, соответствующие уравнению $\cos x = -\sqrt{a + 1}$. Некоторые абитриенты не указали всех значений $a$, при которых существует решение задачи.

2. Область допустимых значений неизвестного: $x > 0$. Перепишем уравнение в виде

$$|1 + t| = 3 + |2 - t|,$$

где $t = \log \frac{1}{3} x$. Последовательно расстоянием промежутки $t \leq -1, -1 < t < 2, t \geq 2$. При $t \geq 2$ имеем $1 + t = 3 + t - 2,$

то есть уравнение (1) удовлетворяется тогдадействно при всех $t \geq 2$. Далее убеждаемся, что уравнение (1) при $t \leq -1$ и $-1 < t < 2$ не имеет решения. Таким образом, уравнение (1) является все $t \geq 2$. Отсюда $\log \frac{1}{3} x \geq 2$, и с учетом области определения нахождения

$$0 < x \leq 1/9.$$

Некоторые абитриенты, заметив то жество (2), писали, что уравнение удовлетворяется тогдадействно при всех $t$, не учитывая ограничения $t \geq 2$.

3. Пусть $t(u)$ — время движения автоматоля до первого встречи с автоматом. Так как автоматль и автомат выехали одновременно, то справедливо равенство

$$40t + vt = 240.$$

(1)

Автомобиль поверхности через $t + \frac{1}{2}(u)$ после выхода из города $B$ и, следовательно, вернулся в $B$ через $2t + 1(u)$. Автобус после первого встречи прошел $vt(\kappa m)$, затратив на этот путь $\frac{vt}{40}(u)$. Таким образом, Автобусу потребовалось на весь путь от $A$ до $B$ $t + \frac{vt}{40}(u)$. Для того, чтобы автоматль приехал в $B$ раныше, чем автобус, должно выполнять неравенство

$$2t + 1 < t + \frac{vt}{40}.$$

(2)

По условияю автоматоля поверхности, не доезжая до города $A$. Поскольку в момент первого встречи он находится от $A$ на расстоянии $40t(\kappa m)$ и в течение получения путь $\frac{v}{2}$, то это условие приходит к неравенству

$$\frac{v}{2} < 40t.$$

(3)

Объединия (1), (2) и (3), мы приходим к системе:

$$\begin{cases} 40t + vt = 240, \\ 2t + 1 < t + \frac{vt}{40}, \\ \frac{v}{2} < 40t. \end{cases}$$

Из уравнения (1) найдем $t = \frac{240}{v + 40}$ и подставим в неравенства (2) и (3). Совместно решая получающие при этом неравенства относительно $v$, найдем $56 < v < 120$.

С составлением уравнения (1) и неравенства (2) справилось большимство абитриентов, хотя неокоторые из них заменили знак < в (2)

44

на знак ≤. Основная доля ошибок была вызвану условий (3), так как многие абитуренты не поняли необходимости этого требования и ограничились лишь решением системы, полученной из (1) и(2).

4. По условияю

$$BC = \frac{AB + AC}{2}.$$

(1)

С помощью теоремы синусов найдем

$$AB = BC \frac{\sin C}{\sin \alpha}, \quad AC = BC \frac{\sin B}{\sin \alpha}$$

и подставим в (1). Получим

$$\sin B + \sin C = 2 \sin \alpha,$$

$$\sin \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2} = \sin \alpha.$$

Так как

$$B + C = \pi - \alpha,$$

(2)

то $$\sin \frac{B + C}{2} = \cos \frac{\alpha}{2},$$ и

$$\cos \frac{B - C}{2} = 2 \sin \frac{\alpha}{2}.$$

(3)

Поскольку по условияю $B \geq C$ и, кроме того, $0 < C < \pi, 0 < B < \pi$, то

$$0 \leq B - C < \pi.$$

(4)

Заметая, что $$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$$, из условия (2), (3), (4) для определения $B$ и $C$ имеем систему:

$$\begin{cases} B - C = 2 \arccos \left(2 \sin \frac{\alpha}{2}\right), \\ B + C = \pi - \alpha. \end{cases}$$

(5)

Из (5) находится

$$\begin{cases} B = \frac{\pi - \alpha}{2} + \arccos \left(2 \sin \frac{\alpha}{2}\right), \\ C = \frac{\pi - \alpha}{2} - \arccos \left(2 \sin \frac{\alpha}{2}\right). \end{cases}$$

Таким образом, для всех значений $\alpha$, при которых существует треугольник $ABC$, удовлетворяющий всем условиям задачи, величины углов $B$ и $C$ вышесляются по формулам (6).

Исследуем, при каких значениях $\alpha$ задача имеет решение. Из (6) необходимо следует

$$\left| 2 \sin \frac{\alpha}{2} \right| \leq 1.$$

Так как $0 < \alpha < \pi$, то отсюда $0 < \sin \frac{\alpha}{2} \leq \frac{1}{2}$ и, следовательно, $0 < \alpha \leq \frac{\pi}{3}$.

При найденных значениях $\alpha$ величины $A = \alpha, B$ и $C$, определяемые по формулам (6), положительные и в сумме равны $\pi$. Для доказательства этого достаточно проверить условия $C > 0$, либо $0 < \alpha \leq \frac{\pi}{3}$ и, как следует из (6), $B \geq C, \alpha + B + C = \pi$.

Покажем, что $C > 0$ или, согласно (5),

$$\frac{\pi - \alpha}{2} > \arccos \left(2 \sin \frac{\alpha}{2}\right).$$

(7)

Так как cos $x$ на отрезке $0 \leq x \leq \pi$ монотонно убивает, а величины $\frac{\pi - \alpha}{2}$ и arccos $\left(2 \sin \frac{\alpha}{2}\right)$ принадлежат этому отрезку, то, вычисляя косинус от обеных частей неравенства (7), имеем $$\cos \frac{\pi - \alpha}{2} = \sin \frac{\alpha}{2} < 2 \sin \frac{\alpha}{2}.$$

При $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$ это неравенство верно.

Повторив наш рассужждение в обратном порядке, убеждаемся в справедливости неравенства $C > 0$.

Таким образом, треугольник $ABC$ с углами $A = \alpha, B \geq C$ и удовлетворяющий условиям задачи, величины углов $B$ и $C$ вышесляются по формулам (6), $0 < \alpha \leq \frac{\pi}{3}$.

Многие поступавшие, получив систему для определения $B$ и $C$, не смогли ее решить, а нехоторы выписали ответ в виде (6), но не исследовали, при каких значениях $\alpha$ задача имеет решение. Часть абитриентов указали лишь случай равностороннего треугольника

$$\alpha = B = C = \frac{\pi}{3}.$$

5. Пусть $x$ — исключый угол между образующими $SA_1$ и $SB_1$, по которым боковая поверхность конуса пересекает треугольники $OSA$ и $OSB$ (см. рис.ок): $\Rightarrow ASB = \frac{\pi}{2}, \Rightarrow OSA = \alpha,$

45

С этой задачей справились немного поступавшие.

Заметим, что формулы (1) и (2) выражают зависимости между внутренним двумя граныммым углом и плоскими углами при вершине трехгранного угла. В обшем случае, если $A, B$ и $C$ — внутренние двумя углами, противоложение соответствующего плоским углам $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ трехгранного угла, то справедливые формулы:

$$\cos A = \frac{\cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma},$$

$$\cos B = \frac{\cos \beta - \cos \alpha \cos \gamma}{\sin \alpha \sin \gamma},$$

$$\cos C = \frac{\cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta},$$

которые выводятся так же, как и формула (1). Эти формулы могут оказаться полезными при решении многих стереометрических задач.

В заключение предлагаем самостоятельное решить следующий вариант, предлагавшийся на письменном экзамене.

Вариант 1

1. Определить все действительные значения $a$, при каждой из которых уравнение $\cos^4 x - (a+2)\cos^2 x - (a+3)=0$ имеет решение, и найти все эти решения.

2. Решить уравнение

$$|1 - \log_1 x| + 2 = |3 - \log_1 x|.$$

3. Из города $A$ в город $B$, нахождение на расстоянии 105 км от $A$, с постоянной скоростью $v$ км/ч выходит авторус. Через 30 мин вслед за ним из $A$ со скоростью 40 км/ч выезда авторомобиль, который, догнав в пути автовосы, поворачивает обратно и движется с прежней скоростью. Определить все значения $v$, при которых авторомобиль возврашает в $A$ позже, чем автовосы приходит в $B$.

4. В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ служит основанием полукруга, площадь которого равна площади треугольника $ABC$. Угол $A$ равен $\alpha$. Найти углы $B$ и $C$, считая, что $B \geq C$. Исследовать, при каких значениях угла $\alpha$ задача имеет решение.

5. В прямом круговом конусе с вершиной $S$ угол между образующими $SA$ и $SB$ равен $\alpha$, а угол между их проекциями на плоскость основания равен $\beta$. Вычислить угол между биссертрисами углов $OSA$ и $OSB$, где точка $O$ является центром круга, служшего основанием конуса.