Физика помогает геометрии

22

Физика
помогает
геометрии

Б. Ю. Коган

При изучении физики, конечно, используется математика. Но, оказывается, бывают и наоборот — физика приносит пользу математике. Вот несколько примеров того, как понятие центра тяжесте можно использовать в геометрии.

1. Теорема о медианах треугольника. Поместим в вершины треугольника (рис. 1) матерIALные точки одинаковой массы. Центр тяжесте системы точек А и В находится в точке K — середине отрезка AB. Значит, центр тяжесте системы точки А, В и С лежит на медиане СК. Рассуждая аналогично, мы приdem к выводу, что этот центр тяжесте лежит на медиане AL и на медиане BM. Но у системы точек А, В и С всего лишь один центр тяжесте. Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Далее, так как точка C имеет массу m, а точка K «представляет» систему точек А и В, имеющий массу 2m, то KS вдвое меньше SC. Следовательно, точка пересечения медиан делит каждой из них в отношении 2:1.

2. Теорема о средних линиях четырехугольника. Поместим в вершины четырехугольника ABCD матерIALные точки одинаковой массы (рис. 2). Так как центр тяжесте системы точек A

23

или о точках A и D, мы придем к выводу, что центр тяжестии системы точек A, B, C и D лежит на пересечении средних линей KM и LN. Далее так, как система точек A и B имеет такое массу, как и система точек C и D, то KS=SM. Рассуждая аналогично, найдем, что LS=SN. Следовательно, средние линей четырехугольника, пересекаясь, делятся пополам.

Заметим, что в наших рассуждениях ни используется тот факт, что точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. Значит, доказанная теорема верна и для пространственного четырехугольника. (Из нее следует, что средние линей такого четырехугольника обязательно пересекаются.)

3. Обобщение предыдущей теоремы. Расмотрим произвольный четырехугольник ABCD (рис. 3). Поместим в его вершины материальные точки: в вершину A — массы m, в вершину B — массы αm, в вершину D — массы βm и в вершину C — массы αβm, где α и β — произвольные положительные числа. Тогда центр тяжестии системы точек A, B, C и D будет лежать на пересечении прямых KM и LN, где K — центр тяжестии системы точек A и B, M — центр тяжестии системы точек C и D, L — центр тяжестии системы точек B и C и N — центр тяжестии системы точек A и D. Далее, так как длин们 образно произвольны соответствуют весам, то

$$\frac{AK}{KB} = \frac{\alpha m}{m} = \alpha, \quad \frac{DM}{MC} = \frac{\alpha \beta m}{\beta m} = \alpha,$$

$$\frac{NS}{SL} = \frac{\alpha m + \alpha \beta m}{m + \beta m} = \alpha, \quad \frac{BL}{LC} = \frac{\alpha \beta m}{\alpha m} = \beta,$$

$$\frac{AN}{ND} = \frac{\beta m}{m} = \beta,$$

$$\frac{KS}{SM} = \frac{\alpha \beta m + \beta m}{\alpha m + m} = \beta.$$

Следовательно, если стороны этого четырехугольника разделить так, что

$$\frac{AK}{KB} = \frac{DM}{MC} = \alpha, \quad \frac{BL}{LC} = \frac{AN}{ND} = \beta,$$

то отрезки NL и KM разделятся в том

24

Например, на рисунке 4 каждый «вертикальный» отрезок разбит на три одинаковых участка, а каждый «горизонтальный» — на четыре одинаковых участка *).

4. Нахождение соответствовств. С помощью представления о центре тяжестии легко решаются задачи следующого типа. На сторонах треугольника $ABC$ поставлены точки $K$ и $L$ (рис. 5). Знача, что $\frac{AK}{KB} = \frac{1}{2}$ и $\frac{BL}{LC} = \frac{3}{5}$, найти отношения $\frac{AS}{SL}$ и $\frac{CS}{SK}$.

Решение. Поместим в вершины $A, B, C$ матерIALные точки так, чтобы выполнялось соответствие
$$\frac{m_B}{m_A} = \frac{AB}{KB} = \frac{1}{2}, \quad \frac{m_C}{m_B} = \frac{BL}{LC} = \frac{3}{5},$$
например, положим
$$m_A = 10m, \quad m_B = 5m, \quad m_C = 3m.$$
Тогда центр тяжестии системы точки $A$ и $B$ будет лежать в точке $K$, а центр тяжестии системы точки $B$ и $C$ — в точке $L$. Следовательно, центр тяжестии системы точки $A, B$ и $C$ лежит на прямой $CK$ и в то же время на прямой $AL$, то есть он помещается в точке пересечения $S$. Отсюда легко найти, что
$$\frac{AS}{SL} = \frac{m_B + m_C}{m_A} = \frac{5m + 3m}{10m} = \frac{4}{5},$$
$$\frac{CS}{SK} = \frac{m_A + m_B}{m_C} = \frac{10m + 5m}{3m} = \frac{5}{1}.$$
Задание

1. Каждая вершина tetraэдра соединена с точкой пересечения медиан противоположной грани. Доказать, что четыре полученных отрезка пересекаются в одной точке.
2. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AK$. Прямая, соединяющая вершину $C$ с серединой медианы, пересекает сторону $AB$ в точке $L$. Найти отношение $AL:LB$.
3. В треугольнике $ABC$, показанном на рисунке 6,
   $$\frac{AK}{AB} = \frac{BL}{BC} = \frac{CM}{CA} = \frac{1}{3}.$$
   Какую часть от площади треугольника $ABC$ составляет сумма площадей защитыованных треугольников?
   *) Эта теорема верна и для неплоского четырехугольника.