Графики потенциальной энергии

8

ГРАФИКИ
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ
ЭНЕРГИИ

Р. Г. МИНЦ

Как выяснить, ограничено ли движение тела и в каких пределах? Существуют ли положения равновесия, и если да, то какие они — устойчивые или неустойчивые?

В этой статье мы показем, что на подобные вопросы легко ответить, если известна потенциальная энергия тела. Мы обсуим, когда имеет смысл говорить о потенциальной энергии и как вычислить ее величины в каждой точке.

Раз哗заша о потенциальной энергии, значит, мы хотим изучать движение тела, точнее говоря, материальных точек *), исходя из закона сохранения механической энергии.

Этот закон утверждает, что для замкнутой системы материальных точек (тел) сохраняется величины

$$E = T + U.$$

(1)

Сумма

$$T = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} + \dots + \frac{m_n v_n^2}{2}$$

называется кинетической энергей системы, а $U$ — потенциальной энергей взаимодействия тела. Кинетическая энергия в формуле (1) отражает собственное движение тела, а потенциальная энергия, которая зависит от расстояний между телами, их взаимное влияние друг на друга.

В дальнейшем, для простоты, мы будем рассматривать движение лишь

*) Как обычно, под материальной точкой мы подразумеваем тело, собственные размеры которого в данной задаче пренебрежимо малы.

одной из материалов точек *), предполагая, что все остальные покояться. В таких случаях обычно говорят о движении частицы во внешнем силом поле, а формула (1) принимает вид

$$E = \frac{mv^2}{2} + U.$$

(2)

Говоря о движении частицы во внешнем поле, мы рассматриаем влияние неподвижных части на движущиеся, причем все системы части как целое является замкнутой. В этом, однако, содержится некая тонкость. Проследим ее визмательно на примере двух материалов точек с массами $m$ и $M$. Пусть частица массы $M$ в некоторый момент покопалась. Выясним, при каком условиях она и дальше остается неподвижной, то есть можно будетоворить о движении частицы массы $m$ во внешнем поле. Воспользовемся законом сохранения количества движения

*) Задча о движении большого числа взаимодействующих между собой телерезвычайно сложна. До них пор удалость в общем виде решить лишь задачу о двух телах.

9

ния (ведь наша система тел замкнутая): $M\vec{v} + m\vec{v}_1 = m\vec{v}_0$. (Здесь $\vec{v}_0$ — на чальна скорость частицы с массой $m$, $v_1$ — ее скорость через некоторое время и $v$ — скорость, приобретаемая частиц с массой $M$.)

Отсюда $\vec{v} = \frac{m}{M} (\vec{v}_0 - \vec{v}_1)$. Если $\vec{v}_1 \neq \vec{v}_0$, то $\vec{v} = 0$ только при $M \to \infty$ Физические это означает, что $m \ll M$. Таким образом, внешнее поле — результат действия тяжелых неподвижных частица на легкую. Напомним два типичных примера внешнего поля: спутник в поле прятяжения Земли, электрон в поле ядра. В каждом из этих примеров, конечно же, выполняется условие $m \ll M$.

Если полная энергия $E$ частицы задана, то соответствие (2) накладывает ограничения на то, в какой области пространства может находиться частица. Действительно, ведь кинетическая энергия $E_{\text{kin}} = \frac{mv^2}{2}$ позволяет на основе $\sqrt{\frac{2}{m}} E_{\text{kin}}$ должна быть минимой!), а из закона сохранения энергии следует, что

$$\frac{mv^2}{2} = E - U.$$

Таким образом, $E \geq U$; мы получили критерий для определения области, в которой возможно движение с полной энергейой $E$. В точках, где $E = U$, кинетическая энергия, а значит и скорость, обращается в нуль.

Рассмотрим в качестве примера движение тела вдоль прямой (ось $x$). Тогда потенциальная энергия зависит лишь от положения на этой прямой: $U = U(x)$. В этом случае наш критерий очень удобно применять графические. Проведем на график потенциальной энергии горизонтальной прямую $U(x) = E$. Всюду, где график потенциальной энергии проходит ниже прямой, $E > U$ и движение возможно В точках пересечения скорость

10

Рис. 2. Тело, движясь влево, подходит к точке $x_1$, где его скорость равна нулю. Одно накопается в этой точке оно не может, так как на него действует сила (см правило санок на стр. 12). Поэтому дальше будет движаться вправа, увеличивая скорость.

Зная потенциальную энергию, легко определять скорость частицы в каждой точке. Так как $\frac{mv^2}{2} = E - U$, то $v = \pm \sqrt{\frac{2}{m} [E - U]}$.

Два знака скорости соответствуют двум возможным направлениям движения вдоль оси $x$. На рисунке 2 графические показаны зависимости скорости частицы от ее положения для случая, когда энергия и потенциальная энергия соответствуют рисунку 1a. направление движения обозначает на графике стрелкой.

Итак, мы видим, что с помощью графиков потенциальной энергии можно просто и наглядно выяснить, где возможность движения, какой вид имеет траектории и как зависит скорость тела от его положения. При выяснения этих вопросов нам нужно было знать поведение потенциальной энергии как функция координат «в целом», то есть как она ведет себя на всей траектории.

Давайте теперь посмотрим, с чем связана скорость изменения потенциальной энергии, то есть величины

$$\frac{\Delta U}{\Delta x} = \frac{U(x_2) - U(x_1)}{x_2 - x_1},$$

где $\Delta x = x_2 - x_1$ очень мало

По закону сохранения механической энергии

$$\Delta U = U(x_2) - U(x_1) = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_2^2}{2} = \frac{m}{2} (v_1 + v_2) (v_1 - v_2)$$

где $v_1$ — скорость тела в точке $x_1$, а $v_2$ — его скорость в точке $x_2$. На малом участке $\Delta x$ действующего на тело силу можно считать постоянной Движение под действием постоянной силы, которое обозначает $F$, равную скоренению, аускорение $a = F/m$. В таком случае $v_2 - v_1 = a \Delta t = \frac{F}{m} \Delta t$ ($\Delta t$ — время движения), а $\frac{v_1 + v_2}{2}$ равно средней скорости $\frac{v_1 + v_2}{2} = v_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$. Подставим эти выражения в формулу (4):

$$\Delta U = m \frac{\Delta x}{\Delta t} \left( -\frac{F}{m} \Delta t \right) = -F \Delta x.$$

Отсюда

$$\frac{\Delta U}{\Delta x} = -F.$$

Формулу (5) можно получить и инчае, учитывая, что при равномерном движении меняется лишь потенциальная энергия тела и изменение ее равно работе силы, действующего на тело.

Выясним геометрический смысл формулы (5). Пусть нам задан график потенциальной энергии. Ясно, что чем меньше величины $x_2 - x_1$, тем точнее скорость изменения потенциальной энергии совпадает с тангенсом угла наклона касательной к кривой потенциальной энергии (рис. 3). Действие

11

тельно, $tg\alpha_1 = \frac{a}{b} = \frac{U(x_2) - U(x_1)}{x_2 - x_1}$, а чем меньше $x_2 - x_1$, тем с большей точностью угол $\alpha_1$ равен углу $\alpha$. Таким образом, мы приходим к выводу, что тангенс угла наклона касательной к графику потенциальной энергии, взятый с обратным знаком, совпадает с действующей на тело силой. Это значит, что чем круге растет потенциальная энергия, тем больше величины силы и наоборот.

После того как формула (5) приобрела наглядный геометрический смысл, легко, например, выяснить, существуют ли положения равновесия и какие они. Положением равновесия мы называем точку, в котором тело может пребивать сколь уголдо долго, если, конечно, вначале оно обладает нулевой скоростью. Когда это возможно? Изменение скорости характеристируется ускорением: если оно равно нулю, то скорость тела неизменна. Ускорение же пропорционально действующей на тело силе. Значит, положения равновесия — это те точки, где сила обращается в нуль.

Обратимся снова к графику потенциальной энергии. Как мы уже видели, сила, действующая на тело, равна взятому с обратным знаком тангенсу угла наклона касательной к кривой потенциальной энергии. Если этот угол равен нулю, то равна нулю и сила. Таким образом, на графике потенциальной энергии, положения равновесия соответствуют тем точкам, в ко-
Рис. 4

Рис. 5a,6

торых касательная параллельна оси абсцисс. Очевидно, например, что положения равновесия являются максимумы и минимумы потенциальной энергии (рис. 4).

Положения равновесия могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Что имеется в виду? Пусть мы слегка отклонили тело от положения равновесия. Если при этом сила, действующая на тело, возврашает его обратно, то равновесие называется устойчивым, если нет, то неустойчивым.

Исследуем на устойчивость положение равновесия, соответствующей минимуму на кривой потенциальной энергии (точка $A$ на рис. 4). Пусть тело сдивинулось от точки $A$ вправа. В новом положении $A_1$ (рис. 5 a) тангенс угла наклона касательной положительного, а сила отрицательна, то есть направлена в противоположную смесению сторону и возврашает тело к

12

точке $A$. Если следует сливнуть влево от точки $A$, то в таком положении ($A_2$ на рис. 5 а) тангенс угла наклона касательной отрицательный, сила положительная, то есть направлена к точке $A$ и заставляет тело вернуть в исходное положение. Таким образом, положение равновесия в минимуме потенциальной энергии является устойчивым. Аналогично можно рассмотреть устойчивость положения равновесия, если потенциальная энергия максимальная (рис. 5 б).

Итак, мы видим, что по кривой потенциальной энергии можно найти величину действующего на тело силы, легко определять, где находится положения равновесия и какие они. В этом смысле график потенциальной энергии можно сравнить с ледяной горкой, откуда спускается на санкх. В тех местах, где горка кругта, санк разгоняется быстрое, на пологом спуске — медленнее. Вершина горки и углубления в ней — положения равновесия. Ведь если поставить туда санкки, они там и останутся. При этом вершина — положение неустойчивого равновесия, а ложбинки — устойчивого.

Теперь, пожалуй, пооговорить о том, как вычислить величину потенциальной энергии. Для этого вернемся снова к формуле (5) и перепишем ее в виде

$$U(x_2) - U(x_1) = -F \cdot (x_2 - x_1).$$

Напомним, что длина $\Delta x = x_2 - x_1$

Рис. 6

13

Энергий тела равна взятой с обратным знаком *) площади под график зависимости действия на тело силы от координат **). Тогда ее график — прямая, параллельная оси абсцисс. Площадь под ней равна $F \cdot (x - x_0)$, откуда для разности потенциальных энергий получаем

$$U(x) - U(x_0) = -F \cdot (x - x_0)$$

(рис. 7а,б).

С помощью соответствия (8) получаем

$$\frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = F \cdot (x - x_0).$$

$$\frac{mv^2}{2} - Fx = \frac{mv_0^2}{2} - Fx_0,$$

то есть потенциальная энергия $U = -Fx$. Однако это не единственная возможность, с тем же основанием мы могли бы написать и такое равенство

$$\frac{mv^2}{2} - Fx + C = \frac{mv_0^2}{2} - Fx_0 + C,$$

где $C$ — постоянное число. Но тогда потенциальная энергия $U = -Fx + C$. Таким образом, мы видим, что потенциальная энергия определяется точно до произвольной постоянной. Это объясняется следует уже из самого закона сохранения механической энергии. Ведь если мы говорим, что сохраняется величины $E = \frac{mv^2}{2} + U$, то сохраняется и $E' = \frac{mv^2}{2} + U + C$, где $C$ — некоторая постоянная. Но в таком случае $U' = U + C$. Это означает, что потенциальную энергию можно определить лишь с точностью до произвольной постоянной, которое всегда выбирают из сообщений удобства *). Конечно же, такая неопределенность потенциальной энергии никак не сказывается на сделанных нами выводах о характеристике движения в данном поле, о наличии в нем положений равновесия и на зависимости скорости тела от координаты. В этом вы легко можете убедиться, надо только одновременно с изменением потенциальной энергии на величины $C$ изменить и полную энергию тела на такую же величины. Дело в том, что для полного описания движения тела надо задать его положение и скорость в некоторый момент

*) Надо отметить, что если сила отрицательна, то соответствующему участип следует приписать знак минус.

*) Поле, в котором сила, действующая на тело, всюду постоянна, называется однородным. Оdnородными, например, является поле тяготения вблизи поверхности Земли $F = mg$ и электрическое поле внутри плоского конденсатора.

14

Рис. 8

времени, тем самым мы будем знать
$\frac{mv_0^2}{2}$ и $U(x_0)$ Поляная же энергия
$E = \frac{mv_0^2}{2} + U(x_0)$ Позному при добавлении к $U$ некоторой постояной величины, энергия $E$ увеличитсяровно на столько же.

Рассмотрим теперь движение кубика наружке в отсутствие трения (рис. 8) и вычислим, чем равна по тенциальная энергия в этом случае По закону Гука сила, действующая на кубик, равна $F = -kx$, где $k$ — жесткость пружины $x$ — ее деформация В таком случае график силы — пряма, тангенс угла наклона которого к оси $x$ равен $k$ (рис. 9a)

Разность потенциальных энергии $U(x_1) - U(x_0)$ равна площади защитыхованной на рис. 9a трапеции $ABCD$, высота которого $BC = x_1 - x_0$. а получим основный $\frac{AB + CD}{2} = \frac{kx_0 + kx_1}{2}$. Воспользовшись формулой площади трапеции, находим, что $U(x_1) - U(x_0) = \frac{(x_1 - x_0)(kx_0 + kx_1)}{2} = \frac{k(x_1^2 - x_0^2)}{2} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_0^2}{2}$.

В результате для $U(x)$ получаем следующие выражение: $U(x) = \frac{kx^2}{2}$

*) Аналогично случаю однородного поля постоянию $C$ мы выбрали здесь так, чтобы $U(0) = 0$.

15

случаев ($F = \text{const.} \quad F = -kx$) вычислить эту площадь окзывается не под силу без знания интегрального исчисления. Если же ее найти, то оказывается, что для силы меняющейся по закону $F = \frac{\alpha}{r^2}$, потенциальная энергия

$$U = \frac{\alpha}{r}$$

Обратите внимание, что в формуле (10) мы выбрали постоянную $C$ так, чтобы потенциальная энергия обращалась в нуль на бесконечности. По чему это удобно и когда? Вспомним что потенциальная энергия характеризует действие тел друг на друга—взаимодействие; если на бесконечности сила обращается в нуль, то чем дальше тела отстоять друг от друга, тем слабее их взаимное влияние. Именно этому и соответственно выбор постоянной в нашем и аналогичных ($F(\infty) = 0$) случаях.

Из формулы (10) следует, что вид потенциальной энергии существенно образом зависит от знака $\alpha$ (см. рис. 106). Если $\alpha > 0$, то сила $F = \frac{\alpha}{r^2} > 0$, и мы имеем дело с отталкиванием (одномименные заряды, $\alpha = q_1 q_2 > 0$). Если $\alpha < 0$, то сила $F = -\frac{|\alpha|}{r^2} < 0$, что соответствует притяжению (разноименные заряды, $\alpha = -q_1 |q_2|$). Здесь пожалуйста, стоит еще раз вернуть к аналогии с санками, спускающимся с ледяной горки. Заметьте, что если поставить санк на горку, имеющий профиль интерсуошей нас потенциальной энергии, то они показывают в направлении действия силы. Такое множество правило дает возможность сразу определить, что имеет место — притяжение или отталкивание. Действительно, ведь если санк показуется к точке $r = 0$ (например, нижняя кривая на рис. 106), то имеет место притяжение, если наоборот (например, верхняя кривая), то — отталкивание.

Это же правило позволяет качественно построить вид потенциальной

16

Дуюшее. На больших расстояниях притяжение быстро убивает, а откалкивание при сближении, начиная с некоторого расстояния, возвращает очень резко. Описанной картине взаимодействия atomов соответствует график потенциальной энергии. Показан-

16

ный на рисунке 11 Убедитесь в этом, воспользоваться аналогией с ледяной горкой. Точка $r=r_0$ соответствует положению устойчивого равновесия, и поэтому $r_0$ равно расстоянию между atomами в молекуле.

В заключение подведем некоторые итоги. Мы видели, что по графику потенциальной энергии можно выяснить ряд существенных характеристик движения (число различных траекторий в зависимости от энергии, ограничено движение или нет, имеются ли положения равновесия и какие они: устойчивые или неустойчивые). Каждая из них, как оказалось, имеет простой геометрический смысл. Легко также определять величины и направление действия на тело силы («правило санок»). Мы показали, что площадь под графиком силы, взятая с обратным знаком, равна потенциальной энергии тела. Это дает возможность в ряде случаев неосредственно вычислять потенциальную энергию. Что сильно облегчает решение различных задач.

И, наконец, мы видели, как качественный вид потенциальной энергии позволяет уяснить существующее и дать на него ответ.

Попробуйте теперь самостоятельно решить следующие задачи.

Упражнения

1. Выяснить область возможного движения при
   $E<U_0$ и $E>U_0$.
   если потенциальная энергия имеет вид изображенный на рис. 12.

2. Найти положения равновесия по кривой потенциальной энергии (рис. 13) и выяснить их устойчивость.

Нарисовать график зависимости силы от координаты.

3. Показать геометрические, что при изменении потенциальной энергии на постоянную величины $C$ сила, действующая на тело в каждой точке, не изменится.

4. Кубик со стороны $a$ плотности $\rho_1$, плавает на поверхности жидкости, плотность которого $\rho_2$. Нарисовать графики силы, действующей на кубик, и потенциальной энергии в зависимости от глубины порружения.