Что здесь — теряем или находим?

40

ЧТО ЗДЕСЬ—ТЕРЯЕМ ИЛИ НАХОДИМ?

В. А. Петров

Почти каждая письменная экзаменационная работа по математике включает в себя то или иное уравнение. Решая его, экзаменующейся должны не только безошибочно проверсти выкладки, необходимые для получения ответа, но и обязыванить правильность этих выкладок. Нужно уметить анализировать каждое из предложенных преобразований: приводит ли оно к равносильному уравнению, не угрожает ли потере или приобретением решения.

Вопросы тактики «борьбы» с построенными корнями и с потерей корней были рассмотрены в статье А. Г. Мордковича «Кто-то теряет, кто-то находит» («Квант» № 5, 1970)*). Теперь мы предлагаем вам проверить, достаточно ли твердо вы владеете этой тактикой. Сначала приводятся решения уравнений. Вам нужно проанализировать эти решения и ответить на следующее вопрос. Правильный ли получен ответ? Если нет, то что здесь — теряются корни или находятся построение? Почему? Каков правильный ответ? Сравните ваши соображения с нашими, помещенными на странице 62.

1. $2\sin 4x = \sqrt{2(1 - \cos 4x)}$.

Решение. Воспользовавшись формулой
$$2\sin^2\alpha = 1 - \cos 2\alpha,$$
получаем
$$2\sin 4x = \sqrt{4\sin^2 2x}$$
или
$$\sin 4x = \sin 2x,$$
что уже очень легко решается.

Ответ: $x = n\pi$ и $x = \frac{\pi}{6} + n\frac{\pi}{3}$, где $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

*) Более детально эта «тактика» освещена в очень полезной для абитриентов книге Г. В. Дорофеева, М. К. Потанова, Н. Х. Розова «Пособие по математике для построающих вузы», М., «Наука», 1970.

2. $8\cos x\cos 2x\cos 4x = 1$.

Решение. Умножив обе части уравнения на sin $x$ и трижды воспользовавшись формулой синуса двойного угла, получим простое уравнение
$$\sin 8x = \sin x.$$
Ответ: $x = (2n + 1)\frac{\pi}{9}$ и $x = 2n\frac{\pi}{7}$, где $n$ — любое целое число.

3. $\sin \left(\frac{1}{5}\arccos x\right) = 1$.

Решение. Из данного уравнения находим
$$\arccos x = \frac{5\pi}{2} + 10n\pi$$
($n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

41

Отсюда, по определению агссos $x$, получаем $x = \cos \left( \frac{5\pi}{2} + 10n\pi \right) = 0$.

Ответ: $x = 0$.

4. $\log_{x-1} (x^2 - 5x + 7) = 1$.

Решение. Найдем ОДЗ:

$$x^2 - 5x + 7 > 0, \quad x - 1 > 0,$$

откуда $x > 1$. Согласно определению логарифмической функции, имеем $x^2 - 5x + 7 = x - 1; \quad x_1 = 2, \quad x_2 = 4$.

Так как оба значения входят в ОДЗ, то они и являются решениями исходного уравнения.

5. $\sqrt[3]{2x - 1} + \sqrt[3]{x - 1} = 1$.

Решение. Возведем обе части уравнения в куб:

$$3x - 2 + 3\sqrt[3]{(2x - 1)(x - 1)} \times (\sqrt[3]{2x - 1} + \sqrt[3]{x - 1}) = 1.$$

Выражение в скобках представляется собой левую часть исходного уравнения — его можно заменить правой частью. После этого уравнение приводится к виду

$$(2x - 1) (x - 1) = (1 - x)^3.$$

Ответ: $x_1 = 0, \quad x_2 = 1$.

6. Может ли уравнение

$$\sqrt{x + a\sqrt{x + b}} + \sqrt{x} = c$$

иметь бесконечно много решений?

Решение. Перенесем $\sqrt{x}$ направо и возведем обе части в квадрат:

$$x + a\sqrt{x + b} = c^2 - 2c\sqrt{x} + x.$$

После приведения подобных членов получаем: $(a + 2c)\sqrt{x} = c^2 - b$. При $a + 2c = 0$ и $c^2 - b = 0$ (и только в этом случае), уравнение обращается в тожество, справедливо при всех неотрицательных $x$.

Ответ: уравнение имеет бесконечно много решений при $a = -2c$ и $b = c^2$. Решениями в этом случае является $x \ge 0$.

7. $$\cos \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + (7-\pi)x - 7\pi} = 1.$$

Решение. Если при возведении в степень неокоторого положи-