Vật lý giúp hình học

22

Vật lý
giúp
hình học

B. Yu. Kogan

Khi học vật lý, dĩ nhiên người ta sử dụng toán học. Nhưng hóa ra cũng có trường hợp ngược lại — vật lý đem lại ích lợi cho toán học. Dưới đây là vài ví dụ về cách có thể sử dụng khái niệm trọng tâm trong hình học.

1. Định lý về các đường trung tuyến của tam giác. Đặt tại các đỉnh của tam giác (hình 1) các điểm vật chất có khối lượng bằng nhau. Trọng tâm của hệ các điểm A và B nằm tại điểm K — trung điểm của đoạn thẳng AB. Vậy trọng tâm của hệ các điểm A, B và C nằm trên đường trung tuyến CK. Lập luận tương tự, ta đi đến kết luận rằng trọng tâm này nằm trên đường trung tuyến AL và trên đường trung tuyến BM. Nhưng hệ các điểm A, B và C chỉ có một trọng tâm. Do đó, các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm.

Hơn nữa, vì điểm C có khối lượng m, còn điểm K “đại diện” cho hệ các điểm A và B có khối lượng 2m, nên KS nhỏ hơn SC hai lần. Do đó, giao điểm của các đường trung tuyến chia mỗi đường theo tỉ số 2:1.

2. Định lý về các đường trung bình của tứ giác. Đặt tại các đỉnh của tứ giác ABCD các điểm vật chất có khối lượng bằng nhau (hình 2). Vì trọng tâm của hệ các điểm A

23

hoặc các điểm A và D, ta đi đến kết luận rằng trọng tâm của hệ các điểm A, B, C và D nằm tại giao điểm của các đường trung bình KM và LN. Hơn nữa, vì hệ các điểm A và B có khối lượng bằng hệ các điểm C và D, nên KS=SM. Lập luận tương tự, ta thấy rằng LS=SN. Do đó, các đường trung bình của tứ giác, khi cắt nhau, chia đôi nhau.

Lưu ý rằng trong các lập luận của chúng ta không sử dụng sự kiện các điểm A, B, C và D nằm trong cùng một mặt phẳng. Vậy định lý đã chứng minh cũng đúng đối với tứ giác không gian. (Từ đó suy ra rằng các đường trung bình của tứ giác như vậy nhất thiết cắt nhau.)

3. Khái quát hóa định lý trước. Xét một tứ giác tùy ý ABCD (hình 3). Đặt tại các đỉnh của nó các điểm vật chất: tại đỉnh A — khối lượng m, tại đỉnh B — khối lượng αm, tại đỉnh D — khối lượng βm và tại đỉnh C — khối lượng αβm, trong đó α và β là các số dương tùy ý. Khi đó trọng tâm của hệ các điểm A, B, C và D sẽ nằm tại giao điểm của các đường thẳng KM và LN, trong đó K là trọng tâm của hệ các điểm A và B, M là trọng tâm của hệ các điểm C và D, L là trọng tâm của hệ các điểm B và C và N là trọng tâm của hệ các điểm A và D. Hơn nữa, vì độ dài các đoạn thẳng tỉ lệ nghịch với trọng lượng, nên

$$\frac{AK}{KB} = \frac{\alpha m}{m} = \alpha, \quad \frac{DM}{MC} = \frac{\alpha \beta m}{\beta m} = \alpha,$$

$$\frac{NS}{SL} = \frac{\alpha m + \alpha \beta m}{m + \beta m} = \alpha, \quad \frac{BL}{LC} = \frac{\alpha \beta m}{\alpha m} = \beta,$$

$$\frac{AN}{ND} = \frac{\beta m}{m} = \beta,$$

$$\frac{KS}{SM} = \frac{\alpha \beta m + \beta m}{\alpha m + m} = \beta.$$

Do đó, nếu chia các cạnh của tứ giác này sao cho

$$\frac{AK}{KB} = \frac{DM}{MC} = \alpha, \quad \frac{BL}{LC} = \frac{AN}{ND} = \beta,$$

thì các đoạn NL và KM sẽ được chia theo cùng

24

Ví dụ, trên hình 4 mỗi đoạn “thẳng đứng” được chia thành ba phần bằng nhau, còn mỗi đoạn “nằm ngang” — thành bốn phần bằng nhau *).

4. Tìm các tỉ số. Nhờ biểu tượng về trọng tâm, dễ dàng giải các bài toán thuộc dạng sau. Trên các cạnh của tam giác $ABC$ lấy các điểm $K$ và $L$ (hình 5). Biết rằng $\frac{AK}{KB} = \frac{1}{2}$ và $\frac{BL}{LC} = \frac{3}{5}$, hãy tìm các tỉ số $\frac{AS}{SL}$ và $\frac{CS}{SK}$.

Lời giải. Đặt tại các đỉnh $A, B, C$ các chất điểm sao cho có các hệ thức
$$\frac{m_B}{m_A} = \frac{AB}{KB} = \frac{1}{2}, \quad \frac{m_C}{m_B} = \frac{BL}{LC} = \frac{3}{5},$$
chẳng hạn, đặt
$$m_A = 10m, \quad m_B = 5m, \quad m_C = 3m.$$
Khi đó trọng tâm của hệ các chất điểm tại $A$ và $B$ sẽ nằm tại điểm $K$, còn trọng tâm của hệ các chất điểm tại $B$ và $C$ — tại điểm $L$. Do đó, trọng tâm của hệ các chất điểm tại $A, B$ và $C$ nằm trên đường thẳng $CK$ và đồng thời trên đường thẳng $AL$, tức là nằm tại giao điểm $S$. Từ đây dễ tìm được rằng
$$\frac{AS}{SL} = \frac{m_B + m_C}{m_A} = \frac{5m + 3m}{10m} = \frac{4}{5},$$
$$\frac{CS}{SK} = \frac{m_A + m_B}{m_C} = \frac{10m + 5m}{3m} = \frac{5}{1}.$$
Bài tập

1. Mỗi đỉnh của tứ diện được nối với giao điểm các đường trung tuyến của mặt đối diện. Chứng minh rằng bốn đoạn thẳng nhận được cắt nhau tại một điểm.
2. Trong tam giác $ABC$ kẻ đường trung tuyến $AK$. Đường thẳng nối đỉnh $C$ với trung điểm của đường trung tuyến cắt cạnh $AB$ tại điểm $L$. Tìm tỉ số $AL:LB$.
3. Trong tam giác $ABC$, được chỉ ra ở hình 6,
   $$\frac{AK}{AB} = \frac{BL}{BC} = \frac{CM}{CA} = \frac{1}{3}.$$
   Tổng diện tích các tam giác được tô bóng chiếm phần nào diện tích tam giác $ABC$?
   *) Định lý này cũng đúng đối với tứ giác không phẳng.