Bài toán M106—M110; F118—F122

Kvant 1971, số 10 tr. 33, 36, 38, 39, 41, 42, 43, 44 Thẻ 1QIM

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

NHIỆM VỤ

Trong số này, “Bài toán Kvant bao gồm bài toán, được đưa ra trong các kỳ thi cuối kỳ của Olympic Toán và Vật lý toàn Liên minh say rượu.

M106. Chứng minh rằng nếu các số $p_1, p_2, q_1, q_2$ thỏa mãn bất đẳng thức
$(q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 - p_2q_1) < 0,$
thì tam thức vuông
$x^2 + p_1x + q_1$ và $x^2 + p_2x + q_2$
có rễ thực sự và giữa hai rễ của mỗi cái là gốc của cái kia.

I. F. Sharyn

M107. a) Cho một đa giác lồi $A_1A_2 \dots A_n$ . (Hình 1). Ở bên $A_1A_2$ lấy điểm $B_1$ và $D_2$ , ở bên $A_2A_3$ - lấy điểm $B_2$ và $D_3$ , …, ở bên $A_nA_1$ điểm $B_n$ và $D_1$ sao cho nếu dựng hình bình hành $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2, \dots, A_nB_nC_nD_n,$ thì thẳng $A_1C_1, A_2C_2, \dots, A_nC_n$ sẽ cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng
$A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot \dots \cdot A_nB_n = A_1D_1 \cdot A_2D_2 \cdot \dots \cdot A_nD_n$ .

Chứng minh rằng mệnh đề ngược lại cũng đúng với một tam giác: chọn các điểm $B_1$ và $D_2$ ở cạnh $A_1A_2$ , chọn các điểm $B_2$ và $D_3$ ở cạnh $A_2A_3$ , các điểm $B_3$ và $D_1$ ở cạnh $A_3A_1$ sao cho nếu dựng hình bình hành $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2, \dots, A_nB_nC_nD_n,$ thì các đường $A_1C_1, A_2C_2, \dots, A_nC_n$ sẽ giao nhau tại một điểm.

V. L. Gutemacher

M108. a) Chứng minh rằng đường thẳng chia tam giác đã cho thành hai đa giác có diện tích và chu vi bằng nhau đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Chứng minh khẳng định tương tự cho một đa giác tùy ý có thể nội tiếp một đường tròn.

Yu. I. Ionin

M109. a) Tại đỉnh $A_1$ của 12 giác đều $A_1A_2A_3 \dots A_{12}$ có dấu trừ, còn lại có đồ thị. Cho phép đồng thời đổi dấu sang dấu ngược lại tại sáu đỉnh liên tiếp bất kỳ của đa giác. Chứng minh rằng trong một số phép toán như vậy không thể đạt được điều đó tại đỉnh

không phải $A_2$ hóa ra là dấu trừ và ở các đỉnh còn lại có các ô.

Chứng minh khẳng định tương tự nếu cho phép đổi dấu đồng thời không phải tại sáu mà tại bốn đỉnh liên tiếp của đa giác.

c) Chứng minh kết luận tương tự nếu cho phép đổi dấu đồng thời tại ba đỉnh liên tiếp của một đa giác.

M110. Trên một tờ giấy dán vô tận, các lưới $N$ được sơn màu đen. Chứng minh rằng có thể cắt ra một số hữu hạn các ô vuông từ một lá sao cho thỏa mãn hai điều kiện:

tất cả các ô vuông màu đen sẽ nằm trong các ô vuông đã cắt ra;
trong bất kỳ hình vuông cắt nào $K$ diện tích ô đen ít nhất là $\frac{1}{5}$ và không quá $\frac{4}{5}$ của diện tích $K$ .

G. A. Rosenblom

F118. Một khối lượng $m$ hydro và lượng oxy cần thiết để đốt cháy hoàn toàn đi vào buồng đốt của động cơ phản lực trong mỗi giây. Đầu ra vòi phun $S$ . Áp suất ở phần này là $P$ , nhiệt độ tuyệt đối là $T$ . Xác định lực kéo của động cơ. (lớp 9-10)

G. L. Komkin

Cơm. 2. Hình 3.

F119. Một hộp diêm $AB$ với một quả bóng có khối lượng $M$ được treo vào hộp diêm $BC$ với một quả bóng có khối lượng $m$ (Hình 2). Điểm $A$ dao động theo phương nằm ngang với chu kỳ $T$ . Tìm độ dài của sợi chỉ $BC$ nếu biết rằng sợi chỉ $AB$ luôn thẳng đứng. (10 lớp)

G. L. Komkin

F120. Một vận động viên trượt băng tốc độ trên đường băng cố gắng rẽ càng gần mép trong càng tốt. Người đi xe đạp trên đường dành cho xe đạp rẽ càng xa mép trong càng tốt. Làm thế nào để thực thi sự khác biệt này trong chuyển động của một vận động viên trượt băng và một vận động viên đua xe đạp khi rẽ? Cấu hình đường đi được hiển thị trong Hình 3. (8 ô)

M. M. Balatsov

F121. Trong một bình kín, một khối băng có khối lượng $M$ nổi trong nước, trong đó một viên chì có khối lượng $m$ bị đóng băng. Cần bao nhiêu nhiệt lượng để viên bi chìm xuống? Mật độ của chì là $11,3 \text{ e/cm}^3$ , mật độ của băng là $0,9 \text{ e/cm}^3$ , nhiệt nóng chảy của băng là $80 \text{ кал/е}$ . Nhiệt độ của nước trong bình là $0^\circ \text{C}$ . (8 lớp)

F122. Ba vật có khối lượng $m_1$ , $m_2$ và $m_3$ có thể trượt dọc theo mặt phẳng ngang mà không ma sát (Hình 4), và $m_1 \gg m_2$ và $m_2 \ll m_3$ . Xác định vận tốc cực đại mà hai vật cực đại có thể đạt được nếu tại thời điểm ban đầu

Cơm. 4.

cả hai đều không tích lũy được, nhưng cơ thể trung bình có tốc độ $v$ . Các tác động được coi là hoàn toàn đàn hồi. (9 lớp)

** Đ. Kuznetsov**

Còn lại phải giải bài toán sau bài toán: tìm điểm M trên đường thẳng l sao cho góc PMQ là nhỏ nhất: một đường tròn đi qua các điểm P, Q và M tiếp xúc với đường thẳng l. Để dựng điểm M, bạn cần (nếu đoạn PQ không song song với đường thẳng l) từ điểm C của giao điểm của PQ và l trên đường thẳng l, vẽ các đoạn CM₁ = CM₂ = √(CP·CQ), sau đó từ các điểm thu được M₁ và M₂ chọn điểm mà góc MᵢCP là nhọn (hoặc thẳng). Bằng chứng cho thấy góc PMQ là lớn nhất ở điểm này gần như hiển nhiên và được để lại cho người đọc *) (Hình 2).

Thật kỳ lạ, nhiều độc giả gửi thư cho chúng tôi đã nghĩ về một trong các khả năng 1) và 2). lời giải cao nhất được gửi bởi O. Kim, G. Levin, A. Pukhalsky, V. Luzzin, Yu. Obolonkov, A. Kostyurin.

M65

a) Gọi E, F, G là các điểm trên các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC sao cho $\frac{AE}{EB} = \frac{BF}{FC} = \frac{CG}{GA} = k$ , trong đó 0 < k < 1.

Tìm tỉ số diện tích của tam giác KLM tạo bởi các đường thẳng AF, BG và CE so với diện tích của tam giác ABC (Hình 3a).

Cắt hình tam giác có đường thẳng thứ sáu thành các mảnh sao cho có thể gấp được bảy hình tam giác bằng nhau.

a) Gọi diện tích tam giác có các đỉnh X, Y, Z là s(XYZ). Vận dụng tính chất tỉ số các tam giác có cùng chiều cao (hoặc cùng đáy) bằng tỉ số hai đáy (tương ứng với tỉ số chiều cao), không khó để chứng minh rằng

$s(ACK) = \frac{1}{k} s(ABK) = \frac{k+1}{k^2} s(AEK) = \frac{k+1}{k^2+k+1} s(AEC) = \frac{k}{k^2+k+1} s(ABC).$

Bằng cách tương tự có thể chứng minh rằng

$s(BLA) = s(CMB) = \frac{k}{k^2+k+1} s(ABC).$

Pozny

$\frac{s(KLM)}{s(ABC)} = 1 - \frac{3k}{k^2+k+1} = \frac{(1-k)^2}{k^2+k+1} = \frac{(1-k)^3}{1-k^3}.$

Lưu ý rằng với k = $\frac{1}{2}$ thì tỷ lệ này bằng $\frac{1}{7}$ và mỗi đoạn trong ba đoạn AF, BG, CE được chia cho hai đoạn còn lại theo tỷ lệ 3:3:1, do đó nếu vẽ các điểm M, K, L thì có thêm ba đường thẳng tương ứng song song với các đoạn này thì mỗi cạnh của tam giác ABC sẽ được chia theo tỷ lệ 2:1:1:2.

*). Để biết thêm thông tin về điều này, hãy xem cuốn sách “Đường thẳng và đường cong” của N. B. Vasiliev và V. L. Gutenmacher, bộ “Thư viện của Trường Vật lý và Toán học”. “Khoa học”, 1969, trang 76-78.

Bây giờ không khó để ghép 7 hình tam giác bằng nhau từ 13 mảnh được cắt thành tam giác ABC (một trong số chúng bao gồm một mảnh KLM; Hình 36).

Tương tự lời giải bài toán được thêm bởi A. Alekseev từ Leningrad, A. Alyaev từ vùng Penza, E. Turkevich, A. Chernyak, Yu. Obolenkov.

M66

Dưới đây là một số ví dụ trong đó tổng bình phương $k$ của các số tự nhiên liên tiếp bằng tổng bình phương $(k-1)$ của các số tự nhiên sau:
$3^2+4^2=5^2, 36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2,$
$55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2.$
Tìm công thức tổng quát cho tất cả các trường hợp như vậy.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $k$ luôn tồn tại duy nhất một số tự nhiên $n$ sao cho
$(n-k+1)^2+(n-k+2)^2+\ldots+(n-1)^2+n^2=(n+1)^2+$
$+(n+2)^2+\ldots+(n+k-1)^2.$

(Lưu ý rằng ở vế phải của đẳng thức $(k-1)$ là mệnh lệnh và ở vế trái là $k$ ). Đẳng thức (1) tương đương với đẳng thức sau:
$n^2=[(n+1)^2-(n-k+1)^2]+[(n+2)^2-(n-k+2)^2]+\ldots$
$\ldots+[(n+k-1)^2-(n-1)^2]$
$n^2=k(2n-k+2)+k(2n-k+4)+\ldots+k(2n+k-2),$
$n^2=2k(k-1)n.$

Do đó, mệnh đề đã nêu đã được chứng minh: đẳng thức (1) đối với $k$ tự nhiên và $n$ được thỏa mãn khi và chỉ khi $n=2k^2-2k$ . (Khi chuyển từ (3) sang (4), chúng ta đã lợi dụng thực tế là tổng các số hạng $(k-1)$ của cấp số cộng $(2n-k+2)+(2n-k+4)+\ldots+(2n+k-2)$ bằng $(k-1)\frac{(2n-k+2)(2n+k-2)}{2}=2(k-1)n$ . Do đó, chúng ta thu được một công thức loại trừ. Ví dụ, nó có thể được viết như thế này:
$(2k^2-3k+1)^2+(2k^2-3k+2)^2+\ldots+(2k^2-2k)^2$
$=(2k^2-2k+1)^2+(2k^2-2k+2)^2+\ldots+(2k^2-k-1)^2,$
trong đó $k$ là số tự nhiên tùy ý. Các ví dụ được đưa ra trong các điều kiện được lấy từ nó với $k$ bằng 2, 4 và 5.

Công thức này (hoặc những công thức khác tương đương với nó) đã được nhiều người tìm ra - hầu hết họ đều đưa ra cách chứng minh gần giống với công thức của chúng ta hoặc sử dụng công thức tính tổng bình phương của các số tự nhiên trong phép tính của họ (xem Bổ đề 1, trang 17).

M67

Người thợ kim hoàn được đặt mua một chiếc nhẫn vàng có chiều rộng $h$ , có hình khối, bề mặt giới hạn của một quả bóng có tâm $O$ và bề mặt của một hình trụ có bán kính $r$ , trục của nó đi qua điểm $O$ (Hình 4). Thầy làm một chiếc nhẫn như vậy nhưng lại chọn $r$ quá nhỏ. Cần thêm bao nhiêu vàng vào nếu $r$ cần tăng $k$ lần, nhưng chiều rộng $h$ vẫn giữ nguyên?

Không khó để chứng minh rằng thể tích của một vòng hình cầu - vật thể thu được bằng cách biểu thị đoạn $AB$ xung quanh đường kính $MN$ , không cắt đoạn này - bằng $\frac{\pi}{6} AB^2 \cdot A_1B_1,$ trong đó $A_1B_1$ là hình chiếu của dây cung $AB$ lên đường kính $MN$ . Ví dụ, công thức này được đưa ra trong cuốn sách “Hình học cơ bản” của J. Adam, phần II, chương. IV, 500.

Cơm. 4.

Thể tích của chiếc nhẫn bằng $\frac{\pi}{6} h^3$ , tức là không phụ thuộc vào bán kính $r$ nên vàng được thêm vào chủ.

M68

Lưới các đường thẳng ở Hình 5 (xem thêm bìa “Kvat” số 2, 1971) gồm các đường tròn đồng tâm có bán kính 1, 2, 3, 4, … có tâm tại điểm $O$ , đường thẳng $l$ đi qua điểm $O$ và tất cả các tiếp tuyến có thể có của đường tròn song song với đường thẳng $l$ . Toàn bộ mặt phẳng được chia bởi các đường này thành các ô, được tô màu theo kiểu bàn cờ. Trong chuỗi các chấm màu hồng như trên hình, cứ hai chấm liền kề là các đỉnh đối diện của một ô tối. Chứng minh rằng tất cả các điểm của chuỗi vô hạn như vậy đều nằm trên cùng một parabol (hình dường như được dệt từ các parabol màu vàng và tối).

Lấy đường thẳng $l$ làm trục $Ox$ và điểm $O$ làm gốc tọa độ của hệ trực tràng, như trong Hình 5. Đơn vị tỷ lệ đã được chỉ định trong các điều kiện. Lưới các đường được thảo luận trong các điều kiện bao gồm các đường tròn có bán kính $n$ có tâm $O$ (phương trình của đường tròn như vậy $x^2 + y^2 = n^2$ ) và các đường thẳng $y = m$ , trong đó $m$ và $n$ đều là các số nguyên có thể có; $n > 0$ . Do đó, mỗi điểm giao nhau (hoặc tiếp tuyến) của các đường này—mỗi “nút” $(x, y)$ của lưới của chúng ta—tương ứng với một cặp giá trị nhất định $n = \sqrt{x^2 + y^2}$ và $m = y$ . Lưu ý rằng khi chúng ta di chuyển từ một trong các chấm màu hồng sang chấm màu hồng liền kề, cả $m$ và $n$ đều thay đổi một, do đó hiệu $n - m = \sqrt{x^2 + y^2} - y$ của chúng không đổi; sự khác biệt này cho tất cả các chấm màu hồng là 6.

Phương trình $\sqrt{x^2 + y^2} - y = 6$ tương đương với phương trình sau: $x^2 + y^2 = (y + 6)^2$ ; $y = \frac{x^2}{12} - 3$ . Như vậy, tất cả các điểm màu hồng đều nằm trên parabol $y = \frac{x^2}{12} - 3$ .

Trong một chuỗi điểm tương tự khác mà chúng tôi đã vẽ bằng màu đầu, khi di chuyển từ một điểm sang điểm lân cận, $\sqrt{x^2 + y^2}$ và $y$ thay đổi một đơn vị sao cho tổng của chúng không đổi: $\sqrt{x^2 + y^2} + y = 4$ . Phương trình này sau khi biến đổi các điểm sẽ trở thành phương trình của parabol $y = -\frac{x^2}{6} + \frac{3}{2}$ .

Theo cách tương tự, có thể chỉ ra rằng bất kỳ chuỗi điểm vô hạn nào trong đó các điểm lân cận là các đỉnh đối diện của cùng một ô (hoặc một đoạn) đều nằm trên parabola $y = -\frac{x^2}{2p} + \frac{p}{2}$ , trong đó $p$ là một số nguyên khác 0. Ngược lại, bất kỳ parabol nào trong số này đều chứa một chuỗi điểm vô hạn như vậy (đây là những điểm giao nhau của parabol với tất cả các đường thẳng có thể có $y = m$ ).

Lưu ý rằng nếu $p < 0$ , tức là nếu các nhánh của parabolaOLS hướng lên trên thì nếu $p$ chẵn thì parabol đi dọc theo các ô tối, còn nếu $p$ lẻ thì đi dọc theo các ô màu vàng; nếu $p > 0$ thì ngược lại. Hơn nữa, qua mỗi giao điểm của đường thẳng và đường tròn trong lưới của chúng ta (không bao gồm các điểm tiếp tuyến nằm trên đường $x = 0$ ), hai parabol đi qua; một cái đi dọc theo ô màu vàng, cái kia đi dọc theo ô tối; một cái hướng lên trên, cái kia hướng xuống.

Lời giải điều này bài toán với việc bổ sung nhiều danh hiệu. Một số người sử dụng định nghĩa hình học sau đây của parabol trong lời giải của họ: parabol là một tập hợp các điểm có khoảng cách bằng nhau từ một điểm cho trước và một đường thẳng cho trước. Về cơ bản lời giải bài toán M68 rất gần với việc chứng minh sự tương đương giữa định nghĩa parabol này và định nghĩa đã biết từ khóa học ở trường (parabola là đồ thị của một tam giác vuông). Nếu chúng ta chọn hệ tọa độ sao cho một điểm cho trước là tọa độ nacal và một đường thẳng cho trước là phương trình $y = c$ , thì điều kiện là điểm $(x, y)$ cách đều một điểm đã cho và một đường thẳng đã cho được viết bằng phương trình $\sqrt{x^2 + y^2} = |y - c|$ , tương đương với phương trình $y = -\frac{x^2}{2c} + \frac{c}{2}$ .

M69

Số 76 có đặc tính kỳ lạ này: hai chữ số cuối của số $76^2 = 5776$ lại là số 76.

a) Có số nào có hai chữ số giống như vậy không?

b) Tìm tất cả các số có ba chữ số $A$ sao cho ba chữ số cuối của $A^2$ tạo thành số $A$ .

b) Có dãy vô hạn các chữ số $a_1, a_2, a_3, \dots$ sao cho với bất kỳ $n$ nào thì bình phương của số “ $a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1$ ” là “… $a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1$ ” không? (Dấu ngoặc kép ở đây biểu thị ký hiệu thập phân của số. Chúng tôi loại trừ đáp số $a_i = O$ cho tất cả $i > 1$ .)

Đáp số trong bài toán này như sau: với bất kỳ $n > 1$ nào, có chính xác hai số có $n$ chữ số $n > 1$ , bình phương của nó là $A$ (không tính những số rất dài: 0 … 0000 và 0 … 0001), - đối với $n = 2$ đây là 76 và 25, đối với $n = 3$ - 376 và 625, với $n = 4$ - 9376 và 0625, với $n = 5$ - 09376 và 90625, v.v., sao cho có hai dãy số vô hạn được thảo luận ở điểm c): một dãy bắt đầu bằng các số 6, 7, 3, 9, 0, 1, …, chuỗi kia - từ các số 5, 2, 6, 0, 9, 8, …*).

Hãy bắt đầu với bài toán a). Cách dễ nhất để tìm các số có hai chữ số mà chúng ta cần, biểu thị số nhiều, như sau. Nếu $A^2$ có hai chữ số giống $A$ thì $A^2 - A = A$ (A - 1) chia hết cho 100 = 25 4, và vì các số $A$ và $(A - 1)$ là hai số nguyên tố cùng nhau (không có thừa số chung lớn hơn 1) nên một trong số chúng phải chia hết cho 25 và số còn lại cho 4. Hãy thử để xem mỗi số có phù hợp 25, 50 và 75 cho vai trò $A$ hoặc cho vai trò $A - 1$ (cả hai số này đều có hai chữ số). Để làm điều này, bạn chỉ cần kiểm tra xem số nào bên cạnh chia hết cho 4. Số này sẽ chỉ là 76 và 24 nên $A$ chỉ có thể bằng 25 và 76.

Tương tự, chúng ta có thể giải bài toán 6), nhưng chúng ta phải hiểu ngay: nếu bình phương của số $B = \langle a_{n-1} a_{n-2} \dots a_1 \rangle$ hóa ra là các chữ số “… $a_{n-1} a_{n-2} \dots a_1$ ”, thì có thể, theo một cách duy nhất, chọn chữ số $a_n$ sao cho bình phương của số $A = \langle a_n a_{n-1} \dots a_1 \rangle$ hóa ra là “… $a_n a_{n-1} \dots a_1$ ”.

Hãy để $B^2 = \langle ... b_n a_{n-1} a_{n-2} \dots a_1 \rangle$ . Sau đó $(n \geqslant 2 = > 2n > n + 1)$

$A^2 = (10^n a_n + B)^2 = 10^{2n} a_n + 2 \cdot 10^n a_n B + B^2 = \langle ... c_n a_{n-1} a_{n-2} \dots a_1 \rangle,$

trong đó $c_n$ là chữ số cuối cùng của số $2a_n a_1 + b_n$ . Chúng ta phải chọn $a_n$ sao cho $c_n$ bằng $a_n$ , tức là sao cho $2a_n a_1 + b_n = a_n = (2a_1 - 1)a_n + b_n$ chia hết cho 10. Rõ ràng, điều này có thể được thực hiện theo một cách duy nhất. Trong các hàm $a_1 = 5$ và $a_1 = 6$ mà chúng ta quan tâm, các hàm $b_n \rightarrow a_n$ mà chúng ta phải chỉ ra đặc biệt đơn giản: nếu $a_1 = 5$ thì $a_n = b_n$ và nếu $n = 6$ thì $a_n = 10 - b_n$ với $b_n > 0$ và $a_n = 0$ với $b_n = 0$ .

Cách tiếp cận lời giải bài toán M68 này được Ya thảo luận chi tiết hơn trong cuốn sách. I. Perel - về “Đại số giải trí”, trang 81-85.

*) Chúng tôi không loại trừ khỏi việc xem xét các số “ $a_n a_{n-1} \dots a_1$ ”, trong đó chữ số đầu tiên $a_n$ (hoặc một số chữ số đầu tiên) bằng 0. Bạn đọc nào chưa xem xét các số như vậy thì đương nhiên chỉ tìm đến số có 4 chữ số 9376 và số có 3 chữ số là 625.

Một chiếc vòng nặng với những chiếc kim đan nhẹ được đặt trong mặt phẳng thẳng đứng và có thể quay quanh một trục ngang đi qua tâm. Một quả bóng nhỏ được cố định bằng độ dày của vành của nó, có khối lượng bằng chính cái vòng. Chu kì của vòng bánh xe quanh trục sẽ là bao nhiêu? Nó sẽ thay đổi như thế nào nếu: a) cái vòng này được chuyển lên Mặt trăng? b) đặt nó vào một chất lỏng mà anh ta sẽ ngạc nhiên mà không cần run?

Sẽ tham gia vào sự tương tự. Độc giả có thể làm quen với anh qua bài viết của Ya. A. Smorodinsky “Những chuyển động tương tự” trên tạp chí năm nay. Hãy sử dụng phép tương tự với ma trận toán học có độ dài $R$ .

Nếu góc lệch tối đa của ma trận và quả bóng gắn vào vòng bằng $\alpha_0$ (Hình 7), thì chúng ở độ cao $h=R(1-\cos \alpha_0)$ tính từ vị trí cân bằng. Ở góc lệch $\alpha$ , động năng của ma trận (và vòng với quả bóng) bằng hiệu giữa các thế năng ở góc $\alpha_0$ và góc $\alpha$ . Đối với ma trận toán học, chúng tôi nhận được

$\frac{mv^2}{2} = mgR(\cos \alpha - \cos \alpha_0).$

Do đó ma trận tốc độ

$v = \sqrt{2gR(\cos \alpha - \cos \alpha_0)}.$

Cũng giống như ma trận, thế năng của vòng với quả bóng thay đổi. Bản thân thế năng của vòng không thay đổi, nhưng động năng trong trường hợp này bằng tổng động năng của quả bóng $E_{\text{ш}} = \frac{mv^2}{2}$ và vòng $E_0 = \frac{mv^2}{2}$ (để biết động năng của vòng, xem bài viết của A.K. Kikon “Chuyển động quay của các vật”, «Kvant» Số 1, 1971). Do đó, trong trường hợp một cái vòng có một quả bóng, nó tuân theo định luật bảo toàn năng lượng:

$\frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mgR(\cos \alpha - \cos \alpha_0),$

và tốc độ bóng

$v = \sqrt{gR(\cos \alpha - \cos \alpha_0)}.$

Ở một góc lệch bất kỳ so với vị trí cân bằng, tốc độ của quả bóng nhỏ hơn $\sqrt{2}$ lần so với tốc độ của ma trận toán học. Kể từ đây,

và chu kỳ dao động của vòng với một quả bóng lớn hơn $\sqrt{2}$ lần chu kỳ dao động của ma trận và bằng

$T = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}.$

Bạn có thể tiếp cận lời giải cái này bài toán, v.v. Nếu ma trận toán học lệch khỏi vị trí cân bằng một góc $\alpha$ thì nó được đưa về vị trí cân bằng bởi thành phần lực hấp dẫn tiếp tuyến với quỹ đạo của ma trận (Hình 8):

$F = mg \sin \alpha.$

Vì góc $\alpha$ nhỏ nên $\sin \alpha \approx \alpha \approx \frac{x}{R}$ , trong đó $x$ là độ dịch chuyển của ma trận khỏi vị trí cân bằng. Từ đây

$F \approx mg \frac{x}{R}.$

Do đó, đối với thành phần tiếp tuyến của ma trận gia tốc chúng ta có thể viết phương trình

$mg \frac{x}{R} = ma$ hoặc $a = \frac{g}{R} x = cx,$

trong đó $c = \frac{g}{R}$ là một hệ số không đổi nào đó của một ma trận nhất định. Chu kỳ dao động của ma trận bằng $2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ , tức là $2\pi/\sqrt{c}$ .

Chúng ta sẽ thu được kết quả tương tự đối với một vật nặng gắn vào một đường tròn và dao động dọc theo mặt phẳng nằm ngang. Phương trình chuyển động của một vật nặng như vậy là $kx = ma$ , và chu kì dao động là $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ .

Trong trường hợp của chúng ta, lực đưa quả bóng về vị trí cân bằng là bằng nhau, như trong trường hợp của ma trận toán học, $mg \frac{x}{R}$ , và gia tốc $a$ được truyền cho cả quả bóng và vòng, tức là khối lượng $2m$ . Vì vậy $mg \frac{x}{R} = 2ma$ ; điều này có nghĩa là $c = \frac{g}{2R}$ và chu kỳ dao động của hệ là $T = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$ .

Nếu một vòng với một quả bóng được chuyển lên Mặt trăng hoặc đặt trong một bình chứa chất lỏng, thì chu kỳ dao động của nó sẽ thay đổi giống hệt như chu kỳ dao động của ma trận toán học: trong trường hợp đầu tiên, nó sẽ tăng $\sqrt{6}$ lần ( $g_{\text{л}} = \frac{1}{6} g_3$ ) do thay đổi gia tốc rơi tự do, và trong trường hợp thứ hai, nó sẽ giảm $\sqrt{1 - \frac{\rho}{\rho_T}}$ lần ( $\rho$ - mật độ của nước và $\rho_T$ - vật liệu bóng mật độ) do ảnh hưởng của lực nổi Archimedean.

lời giải chính xác được gửi bởi S. Ivanov (Moscow), G. Zaitsev (Gagra), A. Proskurykov (Moscow).

F77

Một khối hình chữ nhật có chiều cao vượt quá đáng kể chiều dài và chiều rộng của nó, đứng trên một bề mặt nằm ngang. Làm thế nào để xác định hệ số ma sát giữa khối và bề mặt khi chỉ có một dụng cụ đo - thước kẻ?

Sau khi tạo một vòng từ sợi chỉ, chúng tôi đặt nó vào khối và kéo nó theo hướng ngang (Hình 9). Nếu sợi chỉ được treo trên một khối gần bề mặt

Nếu cần, khối sẽ trượt. Nếu chúng ta nhấc sợi chỉ dọc theo khối thì khi nó ở một độ cao nhất định $h_0$ so với bề mặt, khối sẽ không trượt nữa mà bắt đầu lật. Trong trường hợp này, lực $F$ mà chúng ta kéo khối bằng lực ma sát:

$F = kmg,$

và mô men của lực $F$ đối với trục đi qua điểm $A$ bằng mô men của lực hấp dẫn:

$Fh_0 = mg \frac{a}{2},$

trong đó $a$ là cạnh của hình vuông ở đáy khối.

Giải hai phương trình này với nhau, ta tìm được

$k = \frac{a}{2h_0}.$

Bằng cách đo $a$ và $h_0$ bằng thước, ta tìm được hệ số ma sát của khối trên bề mặt.

Sự bổ sung lời giải này I. Sidorov (Moscow), A. Petrov (Asbest của vùng Sverdlovsk), M. Rozov (Minsk), S. Yudin (Volgograd), D. Shapiro (Chelyabinsk), A. Alexandrov (Glazov Udm. Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị), G. Simonenko (Kaunas).

Thú vị lời giải được thêm bởi A. Kalika từ Baku và S. Sobolev từ Moscow. Đây rồi.

Sau khi nghiêng khối và giữ nó ở một góc nhất định so với phương thẳng đứng, chúng ta tác dụng một lực nhất định $F$ lên khối, hướng dọc theo khối (Hình 10). Trong trường hợp này, phản lực $N = mg + F \cos \alpha$ và lực ma sát $F_{trp}$ cũng sẽ tác dụng lên khối. Nếu lực ma sát không đạt giá trị cực đại bằng $kN = k (mg + F \cos \alpha)$ thì đầu khối sẽ không trượt. Trong trường hợp này, lực ma sát bằng $F \sin \alpha$ . Như vậy đầu thanh không bị trượt khi

$F \sin \alpha < kmg + kF \cos \alpha,$

tức là khi

$F < \frac{kmg}{\sin \alpha - k \cos \alpha}.$

Dễ dàng nhận thấy rằng ở $k > tg \alpha$ khối không thể chuyển động được, cho dù lực $F$ có lớn đến đâu. Chúng ta hãy tìm góc $\alpha_0$ tại đó khối bắt đầu. Dùng thước đo chiều cao từ mặt phẳng ngang đến mép khối nghiêng và chiều rộng của khối rồi tính $tg \alpha_0$ , ta tìm được hệ số ma sát $k$ .

20 heli chứa trong xi lanh dưới pít-tông chuyển rất chậm từ trạng thái I ( $P_1 = 4,1$ amm, $V_1 = 32$ l) sang trạng thái II ( $P_2 = 15,5$ amm, $V_2 = 9$ l). Mỗi khí ở nhiệt độ cao nhất sẽ đơn giản hơn nếu đồ thị áp suất theo thể tích là một đường thẳng (Hình !i)?

Chúng ta hãy vẽ lưới đẳng nhiệt trên đồ thị—hyperbola $PV = \text{const} \frac{m}{\mu} RT$ . Nhiệt độ khí càng cao thì đỉnh của hyperbol càng xa gốc tọa độ. Do đó, rõ ràng là trong quá trình I-II, khí đạt đến nhiệt độ cao đến mức tại đó hyperbol tương ứng không cắt đường I-II mà chỉ chạm vào nó.

Vì điểm có tọa độ $P$ và $V$ tương ứng với nhiệt độ cực đại, nằm trên cả đường hyperbol và đường thẳng nên tọa độ của nó phải thỏa mãn hai phương trình: phương trình của hyperbol

$PV = \frac{m}{\mu} RT$

và phương trình của đường thẳng

$P = \alpha V + \beta$

(α và β là các hằng số. Chúng ta sẽ định nghĩa chúng sau). Thay $P$ từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất, chúng ta thu được phương trình bậc hai cho $V$ :

$\alpha V^2 + \beta V - \frac{m}{\mu} RT = 0.$

Vì hyperbol và một đường thẳng chỉ có một điểm chung nên phương trình này chỉ có thể có một nghiệm, nghĩa là xác định của nó phải bằng 0:

$\beta^2 + 4\alpha \frac{m}{\mu} RT = 0.$

Giải phương trình cuối cùng cho $T$ , ta tìm được

$T = -\frac{\beta^2 \mu}{4\alpha m R}.$

Trong biểu thức này, bạn cần thay thế các giá trị của các hệ số $\alpha$ và $\beta$ . Vì điểm I và II thuộc cùng một đường thẳng $P = \alpha V + \beta$ nên $P_1 = \alpha V_1 + \beta$ và $P_2 = \alpha V_2 + \beta$ . Giải hệ phương trình này, ta tìm được

$\alpha = -\frac{P_2 - P_1}{V_1 - V_2}, \quad \beta = \frac{P_2 V_1 - P_1 V_2}{V_1 - V_2}.$

Pozny

$T = \frac{(P_2 V_1 - P_1 V_2)^2 \mu}{4 (P_2 - P_1) (V_1 - V_2) m R}.$

Thay thế các giá trị bằng số của các đại lượng có trong biểu thức này, chúng ta thu được

$T \approx 490^\circ \text{ K}.$

Đúng lời giải được thêm bởi M. Preger (Tomsk), V. Rudko (Kyiv), N. Fedin (Omsk), G. Zaitsev (Gagra), L. Knizherman (Moscow), O. Maslyuk (Novomirgorod, vùng Kirovograd), V. Trunkov (Gomel), E. Rozov (Minsk), A. Petrov (Asbest of Sverdlovsk, vùng), L. Tsiferblam (Lvov), I. Vidorovich (Simferopol), V. Tyryshkin (Kuibyshev), V. Martivov (Ioshkar-Ola), V. Klimov (Solnechnogorsk, vùng Moscow), A. Tovbi (Odessa), G. Fast (Karaganda), M. Glikman (Chisinau), A. Zisman (Pskov), A. Esin (Liggul, vùng Tashkent), A. Tarnopolsky (Nikolaev), M. Sargsyan (làng Agaran, quận Meghri, Liên Xô Armenia).

Tôi. Sh. Tiếng Slovodechkiy