Bài toán M136—M140; F148—F152

40

NHIỆM VỤ

Trong số này và các số tiếp theo, “Bài toán Kvant” bao gồm một số bài toán đã được đưa ra trong năm nay tại các kỳ Olympic khu vực và tài nguyên.

Lời giải bài toán có thể được gửi không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi xuất bản số tương ứng của tạp chí tới địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, nhà xuất bản “Nauka”, tòa soạn tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi; ví dụ: “Bài toán Kvant, M137, F139.” Ở đầu thư, hãy cho biết họ, tên, họ hàng, địa chỉ nhà của bạn (cũng như lớp và trường nơi bạn học).

NHIỆM VỤ

M136. Có thể di chuyển 50 viên đá khỏi một mỏ đá có trọng lượng lần lượt là 370 kg, 372 kg, 374 kg, …, 468 kg (tất cả đều tạo thành một cấp số cộng với chênh lệch 2 kg), trên bảy chiếc xe ba bánh?

V. P. Fedomov

M137. Gọi $a, b, c, d$ là độ dài bốn cạnh liên tiếp của tứ giác, $S$ diện tích của nó.

a) Chứng minh rằng $2S \leq ab + cd$.
b) Chứng minh rằng $2S \leq ac + bd$.
b) Chứng minh rằng nếu có ít nhất một trong các bất đẳng thức này bằng nhau thì tứ giác nội tiếp được là đường tròn.

M138. Chứng minh rằng nếu $m$ và $n$ là số nguyên và $1 \leq m < n$ thì

$$\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^m C_n^k = 0,$$

trong đó $C_n^k$ là các hệ số biomp, tức là hệ số của đa thức

$$(1+x)^m = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k.$$

(Ví dụ: nếu $n=4$ thì $C_4^0=1$, $C_4^1=4$, $C_4^2=6$, $C_4^3=4$, $C_4^4=1$ và các đẳng thức đều đúng

$$-1 \cdot 4 + 2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 + 4 \cdot 1 = 0,$$

$$-1^2 \cdot 4 + 2^2 \cdot 6 - 3^2 \cdot 4 + 4^2 \cdot 1 = 0,$$

$$-1^3 \cdot 4 + 2^3 \cdot 6 - 3^3 \cdot 4 + 4^3 \cdot 1 = 0.$$

M. I. Sidorov

M139. Từ đỉnh $B$ của hình bình hành $ABCD$, chiều cao của nó $BK$ và $BH$ được vẽ. Các phân đoạn $KH=a$ và $BD=b$ đã được biết. Tìm khoảng cách từ điểm $B$ đến giao điểm các đường cao của tam giác $BKH$.

F. A. Barmenev

M140. Với số tự nhiên (viết theo hệ thập phân), bạn có thể thực hiện các thao tác sau:

A) thêm số 4 vào cuối;
B) thêm số 0 vào cuối;
B) chia cho 2 (nếu số chẵn).

Ví dụ: nếu thực hiện các thao tác $B$, $B$, $A$ và $B$ với số 4, bạn sẽ được số 140.

a) Làm thế nào để lấy số 1972 từ số 4?

6. • Chứng minh rằng từ số 4 có thể tìm được số tự nhiên bất kỳ.

A. K. Tolpieo

41

F148. Một hạt nhân có khối lượng $M$, bay với tốc độ $V$, vỡ thành hai mảnh giống hệt nhau. Nội năng của hạt nhân là $E_1$, nội năng của mỗi ổ cắm là $E_2$ ($E_1 > 2E_2$). Xác định góc lớn nhất có thể có giữa vectơ vận tốc của một trong các ổ cắm và vectơ $Y$.

F149 *. Lực hấp dẫn giữa hai quả bóng nhỏ, một quả tích điện và quả còn lại trung tính, sẽ giảm bao nhiêu lần nếu khoảng cách giữa hai quả bóng tăng gấp đôi?

I. F. Ginzburg

F150. Trong một thiên hà nào đó, một ngôi sao Z với hành tinh P đã được phát hiện, thực hiện một vòng quay quanh ngôi sao trong thời gian $T_1$ và một vòng quanh trục của nó trong thời gian $T_2$. Vệ tinh S của hành tinh P thực hiện một vòng quanh hành tinh trong thời gian $T_3$. Mất bao lâu để nhật thực của vệ tinh S lặp lại tại một vị trí nhất định trên hành tinh? Mọi vật đều quay trong cùng một mặt phẳng.

G. L. Komkin

F151. Hai gương phẳng tạo thành một góc đôi với raster $90^\circ$. Một thấu kính có tiêu cự $F$ được lắp vào góc sao cho trục quang chính của thấu kính tạo một góc $45^\circ$ với mỗi gương. Bán kính của thấu kính bằng tiêu cự của nó. Tìm vị trí của ảnh nguồn nằm trên trục quang chính của thấu kính và cách nó một khoảng 1,5 $F$.

F152. Thể tích của bọt khí hình thành do độ sâu của vụ nổ dưới nước dao động với chu kỳ tỉ lệ với $P^a \cdot \rho^b \cdot E^c$ ($P$ là áp suất, $\rho$ là mật độ của nước, $E$ là tổng năng lượng của vụ nổ). Tìm $a, b$ và $c$.

HAI TRÒ CHƠI
(xem phần đầu ở trang 27)

Nim mới

Có $n$ đống đá trên bàn; Ngoài ra, mỗi người trong số hai người chơi đều có một số lượng đá nhất định (có thể người chơi không biết đối phương có bao nhiêu viên đá). Trong quá trình di chuyển, bạn có thể lấy bất kỳ số lượng đá nào từ một đống hoặc chỉ cần đặt bất kỳ số lượng đá nào lên bàn, từ đó tạo thành một đống khác. Người chiến thắng là người

người sau lượt của mình sẽ thu thập tất cả các viên đá.

Xác định vị trí ban đầu của các quân cờ trong mỗi cọc và của mỗi người trong số hai người chơi) người chơi thứ nhất thắng và người chơi thứ hai thắng.

A. Yu. Soifer