Lời giải bài toán trong tĩnh điện. (Định luật Coulomb. Cường độ điện trường)

62

Lời giải bài toán trong tĩnh điện
(Định luật Coulomb. Cường độ điện trường)

G. Vâng. Myakishev

Các bài toán về tĩnh điện thường được đưa ra trong các kỳ thi tuyển sinh. Hơn nữa, chúng rất khác nhau về phương pháp lời giải.

Các bài toán về tĩnh điện (chẳng hạn như các bài toán về cơ học và vật lý phân tử) có thể gây ra những khó khăn bổ sung liên quan đến việc sử dụng các hệ đơn vị khác nhau. Cùng với hệ SI, hệ đơn vị tuyệt đối tiếp tục được sử dụng trong tĩnh điện. Các hệ thống khác nhau là các công thức cơ bản được sử dụng cho lời giải bài toán có các hệ số, độ lớn và kích thước nhượng bộ tuyệt vời. Hơn nữa, trong hệ tĩnh điện tuyệt đối SGSE, các hệ số của công thức tĩnh điện có dạng đơn giản nhất. Vì vậy, việc giải quyết tĩnh điện bài toán trong hệ thống này sẽ thuận tiện hơn.

định luật Coulomb

Nhóm đầu tiên bài toán gắn liền với việc áp dụng định luật Coulomb vào trường hợp không có tổng thống.

Trong một môi trường đồng nhất có hằng số điện môi $\varepsilon$, hai vật chính xác mang điện tích $q_1$ và $q_2$ ở khoảng cách $R$ tương tác với một lực

$$F = k \frac{q_1 q_2}{\varepsilon R^2}.$$

(1)

Trong hệ thống SGSE $k=1$ và trong hệ SI $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, trong đó $\varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi \cdot 10^9} = 8.85 \times 10^{-12} \frac{\phi}{M}$ là hằng số điện.

Đơn vị điện tích SI, coulomb, chứa $3 \cdot 10^9$ đơn vị điện tích SGSE.

Lực Coulomb được định hướng dọc theo các đường nối các điện tích

62

Cơm. 1

63

vì nó nằm đối diện một góc 30°. Cạnh DE của tam giác ADE là $\frac{l}{4}$. Side $AC = 2AE = 2\sqrt{\frac{l^2}{4} - \frac{l^2}{16}} = \frac{l\sqrt{3}}{2}$.

Trên mỗi quả bóng từ phía tác động lân cận có một lực $F_1 = \frac{4q^2}{3l^2}$ (Hình 2). Lực do hai quả bóng bất kỳ tác dụng lên quả thứ ba là

$$F = 2F_1 \cos \alpha = \frac{4q^2}{l^2\sqrt{3}}.$$

Quả bóng ở trạng thái cân bằng khi thành phần nằm ngang của lực căng chỉ là $T' = T\sin \alpha = F$ và thành phần thẳng đứng là $T'' = T\cos \alpha = mg$ (Hình 1). Do đó có đơn vị $tg \alpha = \frac{F}{mg}$ và $q = \frac{l}{2}\sqrt{mg} \approx 100$. SGSE.

Khi lời giải bài toán theo định luật Coulomb, phải nhớ rằng định luật này liên quan đến sự tương tác của các vật tích điện chính xác và không áp dụng được cho các vật có hình dạng tùy ý. Các vật thể có thể được coi là chính xác trong trường hợp kích thước hình học của chúng nhỏ hơn đáng kể so với khoảng cách giữa chúng. Vì vậy, khi tính lực tương tác giữa hai vật, một hoặc cả hai vật không chính xác, bạn cần nhẩm chia vật lớn thành các vật nhỏ để mỗi phần tử có thể coi là một điện tích chính xác.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

Bài 2. Một sợi dây mỏng có bán kính $R$ mang điện tích $q$. Ở giữa vòng có một điện tích cùng tên như $q$, $Q$ và $Q \gg q$. Xác định lực kéo của cọc.

Vì $Q \gg q$, sự tương tác giữa các phần tử riêng lẻ của vòng có thể bị bỏ qua. Chúng ta hãy chọn một phần tử vòng nhỏ có chiều dài $R\alpha$ (Hình 3). Các cạnh của điện tích $Q$ tác dụng lên nó bởi một lực $F = \frac{Q\Delta q}{R^2}$, trong đó $\Delta q = \frac{q\alpha}{2\pi}$.

Lực căng của vòng $T$ được cân bằng bởi $F$. Từ điều kiện cân bằng, xét rằng $\alpha$ nhỏ, ta có $F = 2T \sin \frac{\alpha}{2} = T\alpha$.

Lực căng cần thiết là $T = \frac{Qq}{2\pi R^2}$.

Vấn đề đã được giải quyết trong hệ thống SGSE. Trong hệ SI

$$T = \frac{Qq}{8\pi^2\varepsilon_0 R^2}.$$

64

Điện áp điện trường

Tương tác giữa các vật tích điện đứng yên được thực hiện thông qua điện trường. Đặc tính định lượng của nó là vectơ điện áp $E(x, y, z)$, là tỷ lệ giữa lực tác dụng lên điện tích và độ lớn của điện tích này. Lực tác dụng lên điện tích $q$ bằng $*$)

$$F = qE. \tag{2}$$

Khi lời giải bài toán để tính điện áp điện trường, trước tiên cần xác định chính xác điện áp trường của điện tích. Nó bằng nhau

$$E = \frac{q}{\varepsilon R^2} \text{ в системе } \text{СГСЭ}, \tag{3}$$

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R^2} \text{ в системе } \text{СИ}.$$

Nếu có một tập hợp các điện tích chính xác thì điện áp trường bằng tổng hình học của các điện áp được tạo ra bởi các điện tích riêng lẻ.

Để tính điện áp trường của một vật tích điện có kích thước hữu hạn, nó phải được chia thành các phần tử riêng lẻ và điện áp mong muốn phải được tính bằng tổng hình học của các lực căng do tất cả các phần tử tạo ra. Nhưng chỉ trong trường hợp đối xứng đơn giản trong sự phân bố điện tích trên cơ thể bài toán thì điện áp mới được xác định

*) Công thức (2) luôn đơn giản, nhưng sự hiểu biết vật lý về lực $F$ có những điểm cần nhấn mạnh. Điện trường tác dụng lên các vật tích điện, truyền gia tốc cho chúng hoặc bù đắp cho các lực khác nếu các vật đó không được cung cấp điện. Nhưng bản thân các cáo buộc không hành động trên sân bằng bất kỳ lực lượng nào; họ chỉ tạo ra nó. Điện trường không phải là một vật chịu sự điều chỉnh của cơ học Newton, và do đó, lực (2) không phải là lực theo nghĩa của cơ học Newton. Trong phương trình chuyển động (định luật II Newton) nó đóng vai trò giống như các lực cơ học thông thường: trọng lực, độ đàn hồi, ma sát. Nhưng định luật thứ ba của Newton hoàn toàn không áp dụng cho nó.

đủ đơn giản. Ví dụ, nếu điện tích phân bố đối xứng trên quả cầu thì cường độ trường ngoài được xác định theo công thức (3). Hơn nữa, dưới $R$ người ta phải nhớ khoảng cách từ tâm hình cầu chứ không phải từ bề mặt của nó. Một bằng chứng cơ bản và tương ứng không mấy chặt chẽ về điều này được đưa ra trong sách giáo khoa mới “Vật lý. 9” của B. B. Bukhovtsev, Yu. L. Klimontovich, G. Ya. Myakishev. Ở đó, bạn cũng có thể thấy cách suy ra công thức tính cường độ trường của mặt phẳng tích điện vô tận với mật độ bề mặt điện tích $\sigma$:

$$E = \frac{2\pi\sigma}{\varepsilon} \left( \text{СГСЭ} \right) \text{ или}$$

$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0\varepsilon} \left( \text{СИ} \right). \tag{4}$$

Bài 3. Suy ra công thức (4), dựa trên thực tế là trường đơn trong một tụ điện phẳng là tổng các trường được tạo ra bởi điện tích của cả hai bản và điện dung của nó là $C = \frac{\varepsilon S}{4\pi d}$, trong đó $S$ là diện tích các bản, $d$ là khoảng cách giữa chúng.

Trường của các bản tích điện dương và âm của tụ điện khác nhau và rất đáng kể; Hơn nữa, bên trong tụ điện chúng cộng lại, và bên ngoài tụ điện chúng bù trừ cho nhau. Như vậy, $E = 2E_1 = \frac{J}{d}$, ở đây $E_1$ là trường của một tấm, $U$ là hiệu điện thế giữa chúng. Lần lượt

$$U = \frac{q}{C} = \frac{4\pi qd}{\varepsilon S} = \frac{4\pi d}{\varepsilon} \left( \text{так как } \sigma = \frac{q}{S} \right),$$

Ở đâu

$$E_1 = \frac{2\pi\sigma}{\varepsilon}.$$

Một điện trường đều giữa các bản tích điện được tạo ra bởi các hạt trong trường đó chuyển động giống như các vật thể thông thường dưới tác dụng của trọng lực gần Trái đất. Sự khác biệt là

65

chỉ có điều Trái đất truyền cùng một gia tốc $g \approx 980 \text{ cm/sek}^2$ cho mọi vật thể và gia tốc của một hạt trong điện trường phụ thuộc vào tỷ số điện tích trên khối lượng:

$$a = \frac{q}{m} E.$$

(5)

Bài tập 4. Một nhà toán học vẽ một quả cầu có khối lượng $m=1$ e, treo trên một sợi tơ có chiều dài $l=36$ cm. Chu kỳ của ma trận bình sẽ thay đổi như thế nào nếu truyền một điện tích dương hoặc âm cho quả bóng $q=\pm 20$ đơn vị. điện tích của SGSE, đặt ma trận trong một điện trường đều có hướng $E=10$ đơn vị. hướng SGSE, hướng thẳng mận thẳng đứng xuống.

Không có điện trường thì chu kỳ của ma trận bình là $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \approx 1,2$ giây. Trong điện trường, gia tốc của ma trận sẽ bằng $g + \frac{q}{m} E$. Kể từ đây,

$$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g + \frac{q}{m} E}} = 2\pi \sqrt{\frac{lm}{gm + qE}}.$$

Nếu $q=+20$ đơn vị. Sạc SGSE, sau đó $T_1 \approx 1,1$ giây và $T_1-T_0 \approx -0,1$ giây.

Trong trường hợp $q<0$ $T_2 \approx 1,35$ giây và $T_2-T_0 \approx 0,15$ giây.

Nhiệm vụ 5. Trong một điện trường mạnh đều, hướng $E$ trên một đường mận tại điểm 1 và 2, nằm cách nhau một khoảng $l_0$, tìm thấy một proton và một electron (Hình 4). Tốc độ ban đầu của người lái xe bằng không. Khoảng cách giữa các hạt sẽ là bao nhiêu sau thời gian $t$ sau khi bắt đầu chuyển động?

Chúng ta hãy chọn gốc tọa độ tại điểm 2, nơi đặt electron và lấy hướng của điện trường là hướng dương. Bỏ qua sự tương tác của các hạt với nhau (trường mạnh), có thể coi chuyển động của electron và proton có gia tốc như nhau. Khi đó, theo công thức động học nổi tiếng, tọa độ của proton tại thời điểm $t$ sẽ bằng

$$x_1 = l_0 + \frac{e}{m_\pi} E \frac{\tau^2}{2},$$

trong đó $e$ là điện tích, $m_\pi$ là khối lượng proton. Tọa độ điện tử

$$x_2 = -\frac{e}{m_\pi} E \frac{\tau^2}{2},$$

trong đó $m_\pi$ là khối lượng electron. Khoảng cách cần thiết

$$l = x_1 - x_2 = l_0 + \frac{eE\tau^2}{2} \frac{m_\pi + m_\pi}{m_\pi m_\pi} \approx \approx l_0 + \frac{eE\tau^2}{2m_\pi},$$

kể từ $m_\pi \gg m_\pi$.

Vật dẫn điện trong điện trường

Khi lời giải là số lớn bài toán, bạn cần biết chất dẫn điện hoạt động như thế nào trong trường tĩnh điện. Có thể chứng minh rằng hướng của trường bên trong dây dẫn bằng 0 và trên bề mặt của nó hướng vuông góc với dây dẫn. Điện tích bên trong dây dẫn cũng bằng không; tất cả đều tập trung trên bề mặt dây dẫn.

Điện tích bề mặt dày đặc nhất tại các điểm sắc nét, nơi độ cong của bề mặt là tối đa. Bạn có thể xác nhận điều này bằng hình ảnh bằng cách giải bài toán sau.

Bài 6. Hai quả cầu dẫn điện có bán kính $r$ và $R$ được nối với nhau bằng một dây dẫn dài. Tìm mối liên hệ của bề mặt với mặt phẳng điện tích của các quả bóng nếu hệ thống được cấp một điện tích nhất định.