Định luật khí lý tưởng

45

Những đại lượng nào có thể mô tả trạng thái của khí lý tưởng?

Giả sử rằng chúng ta biết thành phần hóa học của chất khí và khối lượng của nó, chúng ta có thể sử dụng các thông số như thể tích $V$ mà chất khí chiếm giữ, áp suất $P$, nhiệt độ $T$ của chất khí để mô tả trạng thái của nó. Mối quan hệ giữa các thông số này của khí lý tưởng phản ánh các định luật cơ bản: định luật Boyle-Mariotte, định luật Gay-Lussac, định luật Charles và định luật Clapeyron-Mendleev. Khi thu được các phương trình mô tả các định luật này, trên thực tế, chúng ta có thể giải bất kỳ bài toán nào mà chúng ta quan tâm đến trạng thái vật lý của khí lý tưởng.

Luật Boyle-Mariotte

$$PV = \text{const.}$$

(1)

Sự tương ứng giữa áp suất và thể tích khí lần đầu tiên được thiết lập bởi nhà vật lý người Anh Boyle vào năm 1662. Năm 1676, độc lập với Boyle, nhà vật lý người Pháp Mariotte đã thiết lập mối quan hệ tương tự giữa áp suất và thể tích khí. Đẳng thức (I), thể hiện định luật Boyle-Mariotte, chỉ được thỏa mãn trong một số điều kiện nhất định: nhiệt độ của khí không đổi, khối lượng của nó không đổi và thành phần hóa học của khí không thay đổi. Ngoài ra, nhiệt độ không được quá thấp và áp suất không quá cao.

Các trạng thái khác nhau của một chất khí ở cùng nhiệt độ có thể được biểu diễn trên biểu đồ (còn gọi là biểu đồ $P-V$) theo điểm. Quỹ tích hình học của các điểm như vậy là một hyperbol (điều này cũng có thể được nhìn thấy từ sự tương ứng (I)).

Nó cũng có thể được coi là biểu đồ của một quá trình xảy ra ở nhiệt độ không đổi - cái gọi là quá trình đẳng nhiệt (Hình 1). Đường cong mô tả một quá trình đẳng nhiệt được gọi là đường đẳng nhiệt.

Ở đây, điều quan trọng cần nhớ là bằng cách đặt một điểm trên biểu đồ, từ đó chúng ta xác định được hoàn toàn trạng thái của khí: áp suất, thể tích và nhiệt độ của nó. Điều này có nghĩa là khí luôn ở trạng thái cân bằng (phạm vi cân bằng nhiệt). Do đó, tất cả các quá trình được mô tả bằng các phương trình và được mô tả trên đồ thị được giả định là diễn ra rất chậm hoặc, như người ta nói, gần như tĩnh.

Hãy xem xét một ví dụ về bài toán điển hình sử dụng định luật Boyle-Mariotte.

Bài tập. Ở giữa một ống hẹp nằm ngang bịt kín hai đầu (Hình 2) có một cột thủy ngân dài $h=25$ cm. Thủy ngân ngăn cách hai cột không khí trong ống, mỗi cột dài $l_0=1$ m. Áp suất không khí $P_0=76$ cm·cm., nhiệt độ không đổi. Hỏi thanh thủy ngân sẽ dịch chuyển được một quãng đường $x$ bao nhiêu nếu đặt ống thẳng đứng?

Cơm. 1.

46

Cơm. 2.

Lời giải và e. Khoảng cách giữa hai cột ảnh hưởng riêng đến một ống đứng thẳng đứng và chúng tôi áp dụng định luật Boyle-Mariotte cho từng cột (diện tích mặt cắt ngang của ống S):

$$P_0 l_0 S = P_1 (l_0 + x) S,$$
$$P_0 l_0 S = P_2 (l_0 - x) S.$$

Từ điều kiện cân bằng cơ học của thân ống suy ra khi ống ở vị trí thẳng đứng thì áp suất ở cột dưới tác dụng

$$P_2 = P_1 + \rho gh$$

(ρ là mật độ của thủy ngân). Thay giá trị này $P_2$ vào (2), chúng ta thu được phương trình bậc hai, giải phương trình mà chúng ta tìm thấy

$$x = \left( -\frac{P_0}{\rho g} + \sqrt{\left(\frac{P_0}{\rho g}\right)^2 + h^2} \right) \times \frac{l_0}{h} \approx 16 \text{ (cm)}$$

(giá trị gốc âm không có ý nghĩa).

Điều thú vị cần lưu ý là khi tính ẩn số $x$, chúng ta không cần thông tin về mật độ thủy ngân $\rho$, cũng như về sự tương ứng giữa các đơn vị áp suất. Thực tế là, theo định nghĩa, áp suất là $P$, tạo ra 1 cm chiều. cm., bằng $P = \rho g \cdot 1$ cm.

Do đó, $\frac{P}{\rho g} = 76$ cm mà không có bất kỳ giao điểm bổ sung nào.

Vì vậy, trạng thái của một chất khí có cùng nhiệt độ tương ứng với một đường đẳng nhiệt nhất định trong sơ đồ $P$ - $V$. Một nhiệt độ không đổi khác tương ứng với một đường đẳng nhiệt khác. Nó nằm ở vị trí nào so với vị trí đầu tiên?

Không thể trả lời câu hỏi này nếu chỉ dựa vào định luật Boyle-Mariotte. Bạn cần biết thêm một trong các phần phụ thuộc: $V(t)$ hoặc $P(t)$.

Sự phụ thuộc của thể tích $V$ của một chất khí vào nhiệt độ ở áp suất không đổi đã được nhà khoa học người Pháp Gay-Lussac nghiên cứu. Năm 1802, ông công bố định luật giãn nở đẳng áp ($P = \text{const}$) của chất khí.

Theo định luật Gay-Lussac, ở áp suất không đổi, khối lượng không đổi và thành phần hóa học không đổi của một chất khí, thể tích của nó $V$ ở nhiệt độ $t$ (thang độ C) bằng

$$V = V_0 + \beta V_0 t,$$

hoặc

$$V = V_0 (1 + \beta t),$$

(II)

trong đó $V_0$ là thể tích chiếm bởi khí tại $0^\circ\text{C}$. Theo cách tương tự người ta đã tìm thấy rằng

$$\beta = \frac{1}{273} \varepsilon \rho \delta^{-1}.$$

Do đó, khi nhiệt độ của một chất khí tăng một độ thì thể tích của nó tăng cùng một lượng, bằng $\frac{V_0}{273}$. Do đó, đồ thị định luật Gay-Lussac, tức là đồ thị sự phụ thuộc của $V$ vào $t$ ở áp suất không đổi (isobar) là một đường thẳng. Khi tính đến điều này, có thể giải bài toán, tương tự như câu sau mà không cần tính toán.

Nhiệm vụ a. Khi một chất khí được nung nóng từ nhiệt độ $t^\circ\text{C}$ đến nhiệt độ $(t+1)^\circ\text{C}$ ở áp suất không đổi, thể tích của chất khí đó tăng $\frac{1}{300}$ so với ban đầu, tức là $\frac{1}{300} V_t$. Trong những điều kiện nào điều này có thể xảy ra?

Lời giải và e. Khi được làm nóng từ $0^\circ\text{C}$ lên $1^\circ\text{C}$, thể tích khí tăng $\frac{1}{273} V_0$, nghĩa là tăng $\frac{1}{273}$ so với ban đầu và trở nên bằng nhau

$$V_1 = V_0 + \frac{1}{273} V_0 = \frac{274}{273} V_0.$$

Khi được làm nóng từ $1^\circ\text{C}$ lên $2^\circ\text{C}$, âm lượng lại tăng lên cùng mức $\frac{1}{273} V_0$, tức là đã

47

$\frac{1}{274}$ một phần của âm lượng $V_1$. Khi được làm nóng từ $2^\circ$ C đến $3^\circ$ C, âm lượng trở lại $\frac{1}{275} V_2$, từ $3^\circ$ C đến $4^\circ$ C đến $\frac{1}{276} V_3$, v.v. (Hình 3). Nói chung, khi đun nóng từ $t^\circ$ C ​​​​đến $(t+1)^\circ$ C, âm lượng sẽ trở về $\frac{1}{273+t}$ của âm lượng ban đầu. Theo đó, việc gia nhiệt là tùy ý từ $27^\circ$ đến $28^\circ$ C.

Hãy xem xét một bài toán khác.

Bài tập. Ở nhiệt độ $t_1=25^\circ$ C, khí chiếm thể tích $V_1=1,5$ lít. Thể tích $V_2$ của khí sẽ chiếm bao nhiêu nếu nó được nung nóng đến $t^2=125^\circ$ C ở áp suất không đổi?

Lời giải. Thể tích $V_1$ và $V_2$ liên hệ với thể tích khí ở $0^\circ$ Với sự tương ứng

$$V_1 = V_0(1 + \beta t_1), \quad V_2 = V_0(1 + \beta t_2).$$

Từ đây

$$V_2 = \frac{1 + \beta t_2}{1 + \beta t_1} V_1 = \frac{\frac{1}{\beta} + t_2}{\frac{1}{\beta} + t_1} V_1 = \frac{273 + t_2}{273 + t_1} V_1 \approx 2(\lambda).$$

Lời giải obiha bài toán cho thấy việc chuyển sang thang nhiệt độ khác (thang Kelvin) là thuận tiện, số 0 của nhiệt độ này (độ 0 tuyệt đối) nằm dưới thang đo độ C khoảng $273^\circ$. Vì tại thời điểm này phần mở rộng của tất cả các đường đẳng lượng giao nhau

Cơm. 3.

Cơm. 4.

48

Trên đồ thị sự phụ thuộc của $P(t)$ tại $V=\text{const}$, định luật Charles được biểu diễn bằng các đường thẳng (đẳng đạo) cắt trục $t$ tại điểm $t=-273^\circ\text{C}$. Chuyển sang thang đo nhiệt độ tuyệt đối, chúng ta thu được một dạng viết đơn giản của định luật Charles:

$$\frac{P}{T}=\text{const}$$

Dễ dàng có được sự phụ thuộc này từ định luật Boyle-Marriott và Gay-Lussac bằng cách sử dụng hai chuyển đổi $V \rightarrow V'$ tại $T_1=\text{const}$ và $T_1 \rightarrow T_2$ tại $P_2=\text{const}$ (Hình 5).

Bất kỳ loại khí thực nào cũng chỉ tuân theo định luật khí đã đề cập. Tin rằng đây là luật

Cơm. 5.

Cơm. 6.

Chúng tôi được thực hiện một cách chính xác, chúng tôi coi khí lý tưởng. Ở đất nước này chỉ có những loại khí như vậy được thảo luận.

Hãy đưa ra một ví dụ bài toán về định luật Charles. Đồng hồ đo áp suất trên bình oxy hiển thị $P_1=95\text{ am}$ trong phòng có nhiệt độ $t_1=17^\circ\text{C}$. Xi lanh được đưa ra nhà kho, ở đó ở nhiệt độ $t_2=-13^\circ\text{C}$, chỉ số trên đồng hồ đo áp suất trở thành $P_2=85\text{ am}$. Có bị mất oxy trong quá trình vận chuyển không?

Lời giải thuộc tính để kiểm tra tính bằng nhau $\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}$, hợp lệ cho $m=\text{const}$ (Đáp số: không mất.)

Có thể dễ dàng nhìn thấy hành vi phức tạp hơn của chất khí khi áp suất, thể tích và nhiệt độ thay đổi trên biểu đồ. Ví dụ, hãy xem xét bài toán này.

Bài toán. Một số quá trình xảy ra với khí lý tưởng được mô tả trên đồ thị áp suất theo nhiệt độ dưới dạng một vòng tròn. Cần phải chia vòng tròn có số điểm nhỏ nhất thành các phần tương ứng với các quá trình, trong đó mỗi đại lượng $P, V$ và $T$ thay đổi đơn điệu (nghĩa là tăng hoặc giảm.).

Lời giải. Các điểm tương ứng với áp suất cao nhất và cao nhất là các điểm $a_1$ và $a_2$ tiếp tuyến của đường tròn với các đường đẳng nhiệt thẳng đứng (Hình 6). Các điểm đạt được áp suất cao nhất và cao nhất là các điểm $b_1$ và $b_2$ tiếp xúc của vòng tròn với các thanh ngang nằm ngang. Isochores trên đồ thị $P(T)$ được mô tả dưới dạng các đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Âm lượng càng nhỏ thì isochore càng lớn. Hai đường đẳng lượng tiếp xúc với đường tròn cho thêm hai điểm $c_1$ và $c_2$. Do đó, toàn bộ vòng tròn được chia thành sáu đường cong mô tả các quy trình cần thiết.

Từ những điều trên, rõ ràng các tham số xác định trạng thái của một khối khí nhất định ở trạng thái hóa học không thay đổi ($P, V$ và $T$) có liên quan với nhau. Nếu biết hai đại lượng

49

Chúng tôi có thể tìm thấy những gì tôi yêu cầu. Phương trình xác định mối quan hệ giữa nhiệt độ, thể tích và áp suất được gọi là phương trình trạng thái của chất khí.

Phương trình Clapeyron-Mendeleev

Để có được phương trình này, hãy kết nối hai trạng thái tùy ý của một loại khí lý tưởng. Ví dụ: giả sử một chất khí được chuyển từ trạng thái $P_1$, $V_1$, $T_1$ sang trạng thái $P_2$, $V_2$, $T_2$. Để chuyển đổi, nó sử dụng các quy trình mà chúng ta đã biết. Chỉ sử dụng hai quy trình, quá trình chuyển đổi 1-2 (Hình 7) có thể đạt được theo sáu cách (1-3-2, 1-4-2, 1-5-2, 1-6-2, 1-7-2, 1-8-2). Hãy xem xét điều đầu tiên trong số họ. Quá trình 1–3 là đẳng tích, tức là $V_1 = V_3$. Vì vậy $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_3}{T_3}$.

Quá trình 3-2 là đẳng nhiệt ($T_2 = T_3$) và do đó $P_3V_3 = P_2V_2$. Nhân cả bốn tương ứng, chúng ta nhận được

$$\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2}.$$

Chúng ta lấy trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng của khí một cách hoàn toàn tùy ý. Do đó, đối với một khối lượng khí nhất định có trạng thái hóa học không thay đổi, chúng ta có thể viết

$$\frac{PV}{T} = B = \text{const.}$$

Phương trình (IV) thiết lập mối quan hệ đơn giản giữa áp suất, thể tích và nhiệt độ của một khối lượng khí nhất định. Nó mô tả đầy đủ trạng thái của khí.

Cơm. 7.

phía của khí lý tưởng. Phương trình này lần đầu tiên được Clapeyron suy ra, xoay quanh các định luật Boyle - Mariotte và Gay-Lussac. Phương trình Clapeyron giúp giải được bài toán, trong đó mối quan hệ giữa các tính chất của trạng thái khí ở khối lượng không đổi.

Hãy xem xét một ví dụ đơn giản.

Bài tập. Một bình hình trụ chứa đầy khí được chia thành hai phần bằng một vách ngăn di động sao cho tỉ lệ thể tích của các phần là 2:3. Liệu nhiệt độ khí ở phần thay đổi có trở nên bằng $T_1 = 227^\circ\text{C}$ và ở phần lớn hơn - $T_2 = 60^\circ\text{C}$ không? Hãy đưa ra yêu cầu bồi thường.

Lời giải. Đối với khí ít hơn một phần $\frac{PV_1}{T} = \frac{P'V'_1}{T_1}$. Đối với gas chủ yếu là $\frac{PV_2}{T} = \frac{P'V'_2}{T_2}$. Từ đây

$$\frac{V'_1}{V'_2} = \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{273 + 227}{273 + 60} \approx 1.$$

Chỉ còn một bước nữa là phổ biến phương trình trạng thái của khí lý tưởng. Cần phải tính đến khối lượng của khí và “cá thể” hóa học của nó. Bước này được thực hiện bởi nhà hóa học vĩ đại người Nga D.I. Mendeleev. Ông đã sử dụng định luật được phát hiện vào năm 1811 và được nhà khoa học A. Avogadro kết luận rằng tất cả các loại khí, bất kể bản chất hóa học của chúng, ở cùng áp suất và nhiệt độ, sẽ chiếm cùng một thể tích nếu chúng được lấy với số lượng tỷ lệ thuận với trọng lượng phân tử của chúng. Cụ thể, ở $0^\circ\text{C}$ ($T_0 = 273^\circ\text{K}$) và áp suất $P = 1$ amm thì thể tích khí là $V_0\mu = 22,4$ $m^3/\text{kmоль} = 22,4$ $l/\text{моль}$. Biết được điều này, chúng ta có thể tính hằng số $B$ trong phương trình (IV). Tỉ lệ thuận với số mol khí. Con số này được tìm thấy bằng cách chia khối lượng của khí cho khối lượng phân tử: $v = \frac{m}{\mu}$.

50

Hệ số tỷ lệ $R = \frac{P_0 V_0 \mu}{T_0}$ được gọi là hằng số khí phổ quát. Đếm sẽ cho giá trị $R$

$$R = 8,3 \cdot 10^3 \frac{\partial x/\partial p}{\partial T} = 0,082 \cdot \lambda \cdot \alpha m/\alpha p \cdot \alpha m.$$

Do đó, phương trình trạng thái của khí lý tưởng, gọi là phương trình Mendeleev-Clapeyron, được viết là

$$PV = \frac{m}{\mu} RT.$$

Bất kỳ bài toán nào để tính toán các quá trình trong khí lý tưởng đều được giải gần như tự động nếu chúng ta viết ngay phương trình (V) cho từng trạng thái của khí. Nhưng phương trình (V) cho phép chúng ta giải bài toán thuộc loại khác.

Nhiệm vụ a. Mật độ hơi của hợp chất neokoto của cacbon và hydro bằng $\rho = 2,5$ e/l ở nhiệt độ $t = 10^\circ$ C và áp suất $P = 760$ mm. xem đây là kết nối gì?

Lời giải e. Từ phương trình (V) có thể tìm được trọng lượng phân tử của hợp chất:

$$\mu = \frac{mRT}{PV} = \frac{\rho RT}{P} \approx 58 \left(\frac{e}{\mu}\right).$$

Đồng phân butan $C_4H_{10}$ có trọng lượng phân tử này.

Hãy xem xét một bài toán khác.

Nhiệm vụ a. Giả sử rằng trong tổng khối lượng của không khí, 75% là nitơ và 25% là oxy, hãy xác định lượng không khí thoát ra từ một căn phòng có thể tích 50 $m^3$ khi nhiệt độ tăng từ $17^\circ$ C lên $27^\circ$ C. Áp suất khí quyển là bình thường ($P_0 = 1$ atm).

Lời giải e. Khối lượng phân tử của không khí

$$\mu = \frac{0,75m + 0,25m}{\frac{0,75m}{\mu_1} + \frac{0,25m}{\mu_2}} \approx 29 \left(\frac{\kappa e}{\mu}\right).$$

Sự thay đổi khối lượng không khí trong phòng

$$\Delta m = \frac{\mu P_0 V}{RT_2} - \frac{\mu P_0 V}{RT_1} =$$

$$= \frac{\mu P_0 V T_0}{P_0 V 0 \mu} \left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right) \approx -2 \left(\kappa e\right).$$

Bài tập

1. Phong vũ biểu cho kết quả đọc không chính xác do có một lượng nhỏ không khí tràn vào phòng. Ở áp suất 755 mm. xem phong vũ biểu cho thấy 748 mm. cm., và ở 740 mm. cm-736mm. cm. Áp suất kế sẽ hiển thị là bao nhiêu nếu áp suất thực tế là 760 mm. cm?

2. Áp suất khí thay đổi như thế nào trong quá trình như ở Hình 8?

Cơm. 8.

3. Trạng thái báo cáo như trong Hình 9 là ngâm trong nước ấm. Mô tả hoạt động của rutini trong đồng hồ đo áp suất.

4. Một piston trượt tự do, kín khí giữ vật liệu

Cơm. 9.

bơm nước sốt bằng hai lò xo hoàn hảo. Khi khí được đưa vào một trong các phần của nước sốt ở nhiệt độ $T_1 = 300^\circ$ K, chiều dài của phần nước sốt này là $x_1 = 0,2$ mm, và sau khi đun nóng khí đến $T_2 = 750^\circ$ Phần nêm của cùng một phần trở thành $x_2 = 0,25$ mm. Độ dài của $x_3$ tại $T_3 = 1200^\circ$ K sẽ là bao nhiêu?

5. Suy ra phương trình (IV) bằng cách sử dụng các quy trình 1-4-2, 1-5-2, 1-7-2 hoặc 1-8-2 (xem Hình 7).

6. Xi lanh 20,5 lít chứa hỗn hợp hydro và heli. Khối lượng của hỗn hợp là 13 e, nhiệt độ 27°C, áp suất 5,4 atm. Xác định khối lượng hiđro và khối lượng heli.