Bài toán M141—M145; F153—F157

25

NHIỆM VỤ

Lời giải bài toán có thể được gửi không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi xuất bản số tương ứng của tạp chí tới địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, nhà xuất bản “Nauka”, tòa soạn tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi; ví dụ: “Vấn đề «Kvant», M137, F139. Ở đầu bức thư, hãy cho biết họ, tên, họ, địa chỉ nhà của bạn (cũng như lớp và trường nơi bạn theo học).
Sao xuất sắc khó hơn bài toán.

NHIỆM VỤ

M141. Ta chọn một điểm P tùy ý ở độ cao ВН của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AP và BC, L là giao điểm của CP và AB. Chứng minh rằng các đoạn thẳng KH và LH tạo thành các góc bằng nhau với chiều cao ВH.
E. V. Sallinen

Cơm. 1.

M142. a) Chứng minh rằng không thể đánh số các cạnh của hình lập phương bằng các số 1,2,…,12 sao cho mỗi đỉnh có tổng số ba cạnh rời khỏi nó bằng nhau.
6)* Có thể gạch đi một trong các số 1,2,…,12,13 và dùng các số còn lại để đánh số các cạnh của hình lập phương sao cho thỏa mãn điều kiện tương tự không?
N. N. Konstantinov,
H. B. Vasiliev

M143. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thoả mãn điều kiện sau:

nếu n chia hết cho p - 1 và p là số nguyên tố thì n chia hết cho p.

M144. Tìm điều kiện cần và đủ mà các số a, b, a, β phải thỏa mãn để cắt hình chữ nhật a×b thành nhiều hình chữ nhật α×β.

Ví dụ: có thể cắt hình chữ nhật 50×60 thành hình chữ nhật có kích thước:
a) 20×15; 6) 5×8; c) 6,25×15;
d) (2−√2)×(2+√2).

A. T. Kolomov

M145. Tổng lương B trung bình là √2 rúp. mỗi ngày. Họ quy định rằng vào ngày thứ n, A sẽ nhận được một số nguyên aₙ rúp (aₙ bằng 1 hoặc 2) sao cho số tiền nhận được trong n ngày đầu tiên (a₁+a₂+…+aₙ) càng gần với số n√2 càng tốt.

Ví dụ: a₁=1, a₂=2, a₃=1, a₄=2, a₅=1. Chứng minh rằng dãy số a₁, a₂, a₃, … là không tuần hoàn.

A. K. Đám đông

F153. Tại sao những dòng sông chảy qua vùng đất bằng phẳng, đồng nhất lại uốn cong?
Để đơn giản, hãy xem xét một dòng sông chảy dọc màn hình.

F154. Ước tính có bao nhiêu giọt nước trong 1 m³ sương mù nếu tầm nhìn là 10 m và sương mù lắng xuống sau 2 giờ? Độ cao sương mù 200 m.