Khối lượng cơ quan cách mạng

37

Trong trường hợp này, một hình gồm hai hình tam giác $BB_1D_1$ và $A_1B_1D_1$ tương đương nhau khi được quay theo đường chéo tương đối $BD_1$, nghĩa là chúng có cùng một thân (kiểm tra cái này!). Thể tích yêu cầu là $v = v_1 + v_2$, trong đó $v_1$ và $v_2$ là thể tích thu được bằng cách xoay các tam giác $BB_1D_1$ và $A_1B_1D_1$ quanh trục $BD_1$. Vì $BD_1 = a\sqrt{3}$ và $B_1O_1 = \frac{a\sqrt{6}}{3}$ (trong đó $B_1O_1 \perp BD_1$), thì $v_1 = \frac{1}{3}\pi \cdot B_1O_1^2 \cdot BD_1 = \frac{2\pi a^3\sqrt{3}}{9}$.

Thể tích $v_2$ bằng thể tích của vật thu được khi quay tam giác $A_1B_1D_1$ quanh trục $B_1D_1$, nhân với cos $\theta$, trong đó $\theta$ là góc nghiêng của đường chéo $BD_1$ với mặt phẳng tam giác $A_1B_1D_1$ (theo Định lý 2).

Nhận thấy cos $\theta = \frac{B_1D_1}{BD_1} = \frac{\sqrt{6}}{3}$, dễ dàng tìm được $v_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot A_1O_1^2 \cdot B_1D_1 \times \cos \theta = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{9}$. Thể tích yêu cầu là $v = v_1 + v_2 = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{3}$.

Bài toán 2. Một trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì song song với đáy của một lăng trụ lục giác đều và được gọi 3 a từ tâm của nó; chúng tôi gọi cái còn lại từ tâm lăng kính đến 2a$\sqrt{3}$. Đường chéo chính của lăng kính song song với đường thẳng $l$, dọc theo đó các mặt phẳng được chỉ định giao nhau và các cạnh của lăng kính bằng $a$. Tìm khối lượng của cơ thể,

$$v_2 = \left( \frac{3}{2} a^2 \sqrt{3} \right) \cdot 2\pi (2a\sqrt{3}) = 18\pi a^3.$$

Khối lượng yêu cầu: $v = 30\pi a^3$.

Tóm lại - một số bài toán cho một lời giải độc lập.

1. Tìm thể tích của vật thu được khi quay một đường tròn có bán kính $R$, nếu trục quay nghiêng với mặt phẳng hình tròn một góc $\theta$ và hình chiếu của nó lên mặt phẳng của nó: a) đi qua tâm đường tròn; b) đi cách tâm vòng tròn một khoảng $m > R$.

2. Mặt phẳng $\alpha$ song song với đáy của một hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao $2R$ và đi một khoảng $2R$ tính từ tâm của nó. Lấy $l$ nằm trong mặt phẳng $\alpha$ và cách hình chiếu của hình trụ lên mặt phẳng $\alpha$ một khoảng $2R$. Tìm thể tích của vật thu được khi quay hình trụ quanh trục $l$.