Lời nói nhỏ mang ý nghĩa lớn

Kvant 1973, số 8 tr. 71-76 Thẻ JEQX

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

L. Flade
Lời nói nhỏ mang ý nghĩa lớn

Sau khi nhận được bài toán đã chấm, Klaus rất ngạc nhiên:
“Thầy của chúng ta hay cằn nhằn làm sao,” anh nói với bạn bè. “Tôi đã viết đúng mọi thứ, ngoại trừ một vài từ nhỏ, nhưng bốn bài tập đầu tiên tôi vẫn không đạt điểm cao!”
Đây là những nhiệm vụ:

Phép chia trong trường số tự nhiên nảy sinh trong những điều kiện nào?
Một số tự nhiên đóng góp bao nhiêu sức mạnh?
Số 374111 có chia hết cho 3 không? Căn cứ đáp số.
a) Có đúng là mọi số tự nhiên đều có một số đứng trước không?

Nếu phát biểu này sai, hãy giải thích tại sao.
Klaus đã viết:

Phép chia a:b trong trường số tự nhiên xảy ra nếu số bị chia a là bội số của ước b HOẶC nếu b khác 0 *).
Mỗi số tự nhiên ứng với một lũy thừa trên trục số.
Số 374111 chia hết cho 3. Giải thích: nếu số đó chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của số này chia hết cho 3.

L. Flade «Kleine Worte—Große Wirkung».
“Alpha” số 5, 6, 1972. A. Ya dịch và xử lý. Halamizer.
*) Số 0 cũng được coi là số tự nhiên. (Bản dịch ước chừng)

Những từ nhỏ, gần như không thể nhận ra, chẳng hạn như AND, OR, EXACTLY, có thể có ý nghĩa lớn. Và không chỉ bản thân các từ nhỏ mà vị trí của chúng trong câu cũng rất quan trọng (ví dụ: vị trí của các từ IF, SO, NOT).

Để sau này không mắc phải những sai lầm tương tự như Klaus của chúng ta, chúng ta hãy coi những lời nói nhỏ bé này có ý nghĩa to lớn.

KHÔNG HƠN, KHÔNG HƠN, CHÍNH XÁC, MỘT VÀ DUY NHẤT MỘT, ÍT NHẤT MỘT

Hãy xem xét tuyên bố:
Số tự nhiên nào ứng với một điểm trên trục số.
Tuyên bố này là chính xác. Nó thể hiện ý nghĩa tương tự như tuyên bố:
Số tự nhiên nào ứng với một điểm trên trục số.
Những câu này không khẳng định rằng mỗi số tự nhiên chỉ ứng với một điểm trên trục số. Có thể có một vài điểm trong số này, nhưng không có trường hợp nào ít hơn một.

Như bạn có thể thấy, thông tin trong các câu này ít hơn nhiều so với trong câu:
Số tự nhiên nào ứng với một điểm trên trục số.
Bây giờ thật dễ dàng để biết những câu sau đây có đúng hay không:

Có chính xác 3 số tự nhiên có một chữ số chia hết cho 3.
Có 3 số tự nhiên có một chữ số chia hết cho 3.
Có ít nhất ba số tự nhiên có một chữ số chia hết cho 3*).

Tất nhiên, câu đầu tiên không chính xác vì nó có nhiều hơn 3 số tự nhiên có một chữ số chia hết cho 3, cụ thể là 4 số: 0, 3, 6, 9. Câu 2 và 3 đều đúng và có cùng ý nghĩa.

Theo cách tương tự, chúng ta có thể chứng minh rằng câu lệnh từ 1 đến 100 có ít nhất 50 số tự nhiên - không chính xác, vì trên thực tế chỉ có 49 số đó (tức là nhỏ hơn 50).

Chắc chắn trong số các bạn có độc giả cho rằng câu nói đó

CHDC Đức vào ngày 1 tháng 1 năm 1971 có không quá 50 triệu dân - điều này không chính xác, vì số lượng cư dân của CHDC Đức chỉ khoảng 17 triệu. Lập luận này thiếu thuyết phục: doanh thu “không quá 50 triệu”. có nghĩa là nó có thể ít hơn, nhưng không có trường hợp nào nhiều hơn, điều đó có nghĩa là nhận định này đúng.

Kiểm tra xem các câu sau đây có đúng không:
a) Có nhiều nhất 9 số tự nhiên có một chữ số.
b) Có nhiều nhất hai số nguyên tố chẵn.
b) Một tam giác có không quá ba góc nhọn.
d) Phương trình 3* = 27 có nhiều nhất một lời giải thuộc miền số tự nhiên.
d) Từ 1 đến 1000 có ít nhất 50 số tự nhiên.
e) Phương trình 3* = 27 có một và chỉ một lời giải.
g) Số 60 có đúng 10 ước số tự nhiên.
h) Mỗi số tự nhiên đều chỉ ứng với nhiều nhất một điểm trên trục số.
i) Phương trình 3* = 27 có ít nhất một lời giải.
k) Một hình tam giác có ít nhất một hình chữ nhật.

*) Đừng quên rằng số 0 được coi là số tự nhiên. (Bản dịch ước chừng)

Lưu ý rằng hai tuyên bố chung
Có ít nhất một x…
Có nhiều nhất một x…
bạn có thể thay thế một:
Chỉ có một x duy nhất…
(so sánh các câu d), e), và).)

VÀ

Chúng ta bắt gặp liên từ “AND” trong câu về phép chia số tự nhiên (trong bài viết của Klaus). Với từ này chúng ta có thể kết hợp nhiều câu lệnh riêng biệt thành một câu lệnh ghép. Sự kết nối các câu lệnh như vậy được gọi là sự tháo gỡ hoặc sự kết hợp. Hãy xem một ví dụ.
Số 3 thỏa mãn bất đẳng thức x < 7 Và số 3 thỏa mãn bất đẳng thức x > 2.
Có hai phần trong tuyên bố này:

Số 3 thỏa mãn bất đẳng thức x < 7 (đúng),
Số 3 thỏa mãn bất đẳng thức x > 2 (đúng).
Một sự kết hợp (liên hợp) của các phát biểu sẽ đúng khi và chỉ khi cả hai phần tạo nên nó đều đúng. Trong trường hợp một phần đúng và phần kia đúng, hoặc thậm chí hơn thế nữa khi cả hai phần đều đúng thì sự thống nhất sẽ đúng. Ví dụ, tuyên bố
Số 300 ngay sau số 200 VÀ số 1000 ngay trước số 2000 là sai vì cả hai phần đều sai.
0 là số tự nhiên nhỏ nhất VÀ 10000000000 là số tự nhiên nhỏ nhất - sai vì câu lệnh thứ hai được kết hợp là sai.
Trở lại câu hỏi chia số tự nhiên.
Phép chia a : b trong trường số tự nhiên có thể thực hiện được nếu số a là bội số của số b AND b ≠ 0.
Trong trường hợp này, không thể đặt OR cùng với AND.
Dễ hiểu vì sao giáo viên không hài lòng với đáp số Klaus:

“Có thể chia a : b trong miền số tự nhiên nếu a là bội số của b HOẶC nếu b khác 0.” Thật vậy, trống, ví dụ a = 15, b = 4. Ở đây b ≠ 0; điều kiện do Klaus đặt ra đã được đáp ứng, nhưng việc phân chia là hoàn toàn không thể.

Hãy tự mình kiểm tra các tuyên bố sau:
a) 461·7² = 3217 VÀ 414: 6 = 54.
b) Mỗi tam giác có nhiều nhất một góc vuông VÀ ít nhất một góc nhọn.
b) Số 19 thỏa mãn CẢ HAI bất đẳng thức 17 < x < 27 VÀ bất đẳng thức 19 < x < 29.
d) Số 714 thỏa mãn VÀ THÊM, chia hết cho 7.
Chúng ta thấy rằng có những từ kết nối khác, ví dụ: AS… SO AND, AND, IN ADDITION, NOT ONLY… BUT ALSO những từ khác, khi được sử dụng cùng với liên từ AND, không làm thay đổi tính hợp lệ của câu lệnh.

HOẶC HOẶC HOẶC… HOẶC

Liên từ OR và biến OR… OR có thể nối hai câu lệnh thành một câu lệnh mới. Điều rất quan trọng là chọn đúng từ kết nối.
Sự kết hợp của hai câu lệnh được thực hiện bằng OR sẽ đúng nếu ít nhất một phần của nó đúng. Nếu cả hai phần đều

câu lệnh sai thì câu lệnh ghép cũng sẽ sai:

Kết nối, hình thành bằng biểu thức OR. . . HOẶC (được gọi là dystronic) sẽ đúng khi và chỉ khi một phần của câu lệnh đúng; nếu không nó sẽ không chính xác.

Nói:
2772 chia hết cho 3 HOẶC cho 9

đúng, vì số này chia hết cho cả 3 và 9, nghĩa là cả hai phần của câu đều đúng.

Nói:
2772 chia hết cho OR cho 3 HOẶC cho 9 - không chính xác.
Hãy xem một ví dụ khác.
Giáo viên cho học sinh bài toán: đo một góc hình chữ nhật HOẶC hình đều. Bức tranh cho thấy những gì học sinh dự định. Ai trong số họ đã hoàn thành nhiệm vụ một cách chính xác?

a) Người ăn kiêng 6) Geiko c) Peter d) Rolf

a) Dieter - đúng vậy, hình tam giác của anh ấy là hình chữ nhật;
b) Geiko - cũng đúng, tam giác của anh ấy đều;
c) và Peter - đúng vậy, tam giác của anh ấy là góc vuông. Và cũng bằng nhau, nhưng điều này được cho phép;

d) chỉ có hình vẽ của Rolf là sai: tam giác của anh ấy không vuông và không đều.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng giáo viên đã đưa ra công thức bài toán như sau: đo một hình chữ nhật HOẶC hình chữ nhật HOẶC đều. Sau đó chỉ có những bức vẽ của Dieter và Geiko được thực hiện chính xác.

Hãy tự mình tìm ra những số liệu nào trong các bản vẽ này là chính xác nếu các bài tập như thế này:

a) đo hai vòng tròn tiếp xúc nhau HOẶC một trong số đó nằm bên trong vòng kia;
b) đo hai vòng tròn mà HOẶC chạm vào nhau HOẶC một trong số đó nằm bên trong vòng kia;
b) đo hai vòng tròn chạm vào nhau HOẶC một trong số chúng nằm bên trong vòng kia.

NẾU A, ĐẾN B và NẾU B, ĐẾN A

Khi Klaus lập luận trong tác phẩm của mình rằng số 374111 chia hết cho 3, anh ấy đã viết:

“Một số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 3.

Hans viết ngược lại:

“Vì tổng các chữ số của một số chia hết cho 3 nên tổng đó cũng chia hết cho 3” và đạt điểm cao nhất.

Klaus tin rằng cả hai câu nói đều thể hiện cùng một ý nghĩa. Điều này có đúng không?

Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng các biểu thức trên lại là sự kết hợp của các câu lệnh được hình thành bằng cụm từ “IF A, TO B”. Mối quan hệ của các phát biểu này còn được gọi là hàm ý.

Trong các liên kết của các mệnh đề mà chúng ta gặp trước đó (liên từ, thay thế, tách rời), trật tự của các mệnh đề không đóng bất kỳ vai trò nào. Để ngụ ý điều này không còn đúng nữa. Hãy xem một ví dụ.

Lời đề nghị
“Nếu một số chia hết cho 2³ thì số mono chia hết cho 2.”
được thể hiện dưới dạng “IF A, THEN B”*). Đề xuất này là đúng. Phần đầu tiên của câu như vậy (trước dấu phẩy) được gọi là tiền đề (điều kiện), phần thứ hai được gọi là kết luận (câu lệnh).

Đảo ngược tiền đề và kết luận, ta được câu sau:
“NẾU một số chia hết cho 2 THÌ nó cũng chia hết cho 2³,” và câu này sai.

Hãy xem xét lại lý do được đưa ra bởi Hans và Klaus:
Hans “NẾU tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chính số đó chia hết cho 3.”

Klaus (viết câu ngược): “NẾU một số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số chia hết cho 3.”

Cả hai câu đều có dạng “IF A, THEN B.” Nhưng tuy nhiên, không thể tranh luận rằng chúng có cùng một nghĩa (mặc dù trong trường hợp này cả hai câu đều đúng); chúng sẽ khác nhau đáng kể.

Điều kiện được hình thành bởi Hans đọc:

*) Ở đây A có nghĩa là: “Số chia hết cho 2³”, B có nghĩa là: “Số chia hết cho 2”.
(Bản dịch ước chừng)

Tổng các chữ số của số 374111 chia hết cho 3.”
Từ đó rút ra kết luận: “Số 374111 có thể chia hết cho 3”.
Ngược lại, Klaus bắt đầu từ điều kiện số đó chia hết cho 3 và kết luận rằng tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 3.

Sự đảo ngược của một tuyên bố đúng có thể đúng hoặc có thể không đúng, như đã trình bày ở trên. Vì vậy, điều quan trọng là phải hiểu liệu sự hấp dẫn của một tuyên bố nhất định có đúng hay không.

Nếu đảo ngược câu đúng là đúng thì cả hai câu có thể được kết hợp bằng cách sử dụng cụm từ “THÌ VÀ CHỈ NẾU”*).

Vì vậy, một số chia hết cho 3 THÌ VÀ CHỈ THÌ; Khi tổng các chữ số của một số chia hết cho 3.

Bây giờ chúng ta hãy xây dựng các phép đảo ngược của một số phát biểu và kiểm tra xem chúng có đúng không.
“Nếu một số chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 2.”
Bắt mắt:
“Nếu một số chia hết cho 2 thì số đó chia hết cho 6.”
Rõ ràng là câu thứ hai sai, vì chẳng hạn, 14 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 6.

Viết các câu đảo ngược và kiểm tra xem chúng có đúng không.
a) Nếu một số chia hết cho 12 thì số đó chia hết cho 6.
b) NẾU các cạnh của hình chữ nhật ABCM bằng nhau thì hình chữ nhật ABCM là hình vuông.
b) NẾU điểm P nằm trong một tam giác thì nó cũng nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác này.

Tóm lại, một vài bài toán cuối cùng. Hãy kiểm tra xem điều đó có đúng không:
a) “Một số chia hết cho 9 NẾU VÀ CHỈ NẾU nó chia hết cho 3.”
Như chúng ta đã biết, cụm từ “THÌ VÀ CHỈ KHI” bao hàm cả bản thân câu và môi trường xung quanh nó.

*) Hay nói cách khác: “Nếu và chỉ nếu”, “nếu và chỉ khi”. (Ghi chú của biên tập viên)

giải pháp. Để xác định xem câu được đề cập có đúng hay không, cần phải kiểm tra xem cả hai câu được tạo thành có đúng hay không. Đây là hai câu:

$a_1$ “NẾU một số chia hết cho 9 thì THÌ số đó chia hết cho 3”;
$a_2$ “NẾU một số chia hết cho 3 thì THÌ nó chia hết cho 9.”

Rõ ràng, $(a_1)$ là đúng, $(a_2)$ là sai. Do đó, câu lệnh ghép cũng sai.

Hãy cùng xem những gợi ý sau:

(6) Ba góc của một tam giác bằng nhau khi và chỉ khi các cạnh của nó bằng nhau.
c) Hai số có ước chung khi và chỉ khi chúng đều chẵn.
d) Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi nó chia hết cho 8.

“KHÔNG PHẢI TẤT CẢ…” và “TẤT CẢ… KHÔNG”

Chúng ta chuyển sang xem xét sai lầm cuối cùng mà Klaus đã mắc phải trong tác phẩm viết của mình. Nhiệm vụ là biến một phát biểu sai thành phát biểu đúng bằng cách đưa ra một phủ định.

Đầu tiên chúng ta hãy lưu ý những điều sau:

Sự phủ định logic của một phát biểu sai sẽ dẫn tới một phát biểu đúng;
Từ một phát biểu đúng, sự phủ định logic có thể được sử dụng để thu được một phát biểu sai.

Hãy hình thành câu phủ định của các câu sau:

(a) “247 là số nguyên tố”;
(b) « $2^4 + 2^2 = 2^5$ »;
(b) “a lớn hơn 7”;
(g) “Tích của 17·11 là số nguyên”;
(d) “Mọi số nguyên tố đều là số lẻ.”

Câu phủ định của các câu (a), (6), (c), (d) có thể được hình thành ngay:

(a’) “247 không phải là số nguyên tố”;
(b’) « $2^4 + 2^2 \neq 2^5$ »;
(b’_1) “và không quá 7” hoặc
(b’_2) “a nhỏ hơn 7 hoặc bằng 7”;

(d’) “Tích 17·11 là số lẻ.”

Như bạn có thể thấy, phủ định có thể được hình thành theo nhiều cách khác nhau. Vì vậy, không dễ để đưa ra một quy tắc nhất định cho việc hình thành sự phủ định của từng phát biểu riêng lẻ. Tuy nhiên, bạn có thể sử dụng cụm từ “Điều đó không đúng…” trước một câu đã được hình thành trước đó. Do đó, mệnh đề “Không phải tất cả các số nguyên tố đều là số lẻ” sẽ là một phủ định đúng đắn của mệnh đề (e). Và các học sinh đa trường được khảo sát đã đưa ra lời phủ nhận này như sau:

Ralph: “Mọi số nguyên tố đều không lẻ”;

Inga: “Không phải số nguyên tố nào cũng là số lẻ”;

Peter: “Không có số lẻ nào là số lẻ”;

Bernd: “Có ít nhất một số nguyên tố không lẻ.”

Chúng tôi biết rằng tuyên bố (e) là sai. Vậy phủ định của phát biểu này phải đúng. Nhưng có thể xác minh rằng chỉ có Inga và Bernd đưa ra những phát biểu đúng.