Маленькие слова с большим значением

Квант 1973, №8 с. 71-76 Тег JEQX

Л. Фладе
Маленькие слова с большим значением

Получив проверенную работу по математике, Клаус был очень удивлен:
— До чего же придирив наш учитель,— сказал он друзьям. — Я все написал верно, за исключением нескольких маленьких словечек, но все же за первые четыре задания не получил достойной оценки!
Вот эти задания:

При каком условиях возникло деление в области натуральных чисел?
Сколько мощчик способствует одному натуральному числу?
Делится ли число 374111 на 3? Обосновать ответ.
a) Правильно ли, что все натуральные числа имеют одно предшествующее число?

Если это высказывание неправильно, обьясимь, почему.
Клаус написал:

Деление a: b в области натуральных чисел возникло в том случае, если делимое а является кратным делимеля b ИЛИ если b не является нулем *).
Каждый натуральному числу соответствует мощчик на числовой оси.
Число 374111 делится на 3. Обоснование: если делится на 3, то и сумма цифр это число делится на 3.

L. Flade «Kleine Worte—Große Wirkung».
«Альфа» № 5, 6, 1972. Перевод и обработка А. Я. Халамайзера.
*) Нуль также считается натуральным числом. (Прим. перев.)

Маленькие, почти незаметные слова, как например И, ИЛИ, РОВНО, могут иметь большое значение. И не только маленькие слова сами по себе, но и их место в предложении очень важно (например, место слов ECЛИ, ТАК, НЕ).

Для того чтобы впредь не делать таких ошибок, какие сделал наш Клаус, рассмотрим эти маленькие слова с большим значением.

НЕ БОЛЕЕ, НЕ МЕНЕЕ, РОВНО, ОДИН И ТОЛЬКО ОДИН, ХОТЯ БЫ ОДИН

Рассмотрим высказывание:
Какдому натуральному числу соответствует точка на числовой оси.
Это высказывание верное. Оно выражает тот же смысл, что и высказывание:
Какдому натуральному числу соответствует точка на числовой оси.
Этими предложениями не установленно, что каждое натуральное число соответствует только одной точке на числовой оси. Эти точки может быть несколько, но ни в коем случае не менее одной.

Как видно, информация в этих высказывациях значительно меньше, чем в предложении:
Какдому натуральному числу соответствует точка на числовой оси.
Теперь легко выяснить, верны ли следующие предложения:

Имеется РОВНО 3 однозначных натуральных числа, которые делятся на 3.
Имеется 3 однозначных натуральных числа, делящихся на 3.
Имеется не менее трех однозначных натуральных чисел, делящихся на 3*).

Первое высказывание, конечно, неверно, так как имеет более чем 3 однозначных натуральных числа, делящихся на 3, а именно 4 числа: 0, 3, 6, 9. Высказывания 2 и 3 — верные, они имеют один и тот же смысл.

Таким же образом мы можем установить, что высказывание между 1 и 100 имеет не менее 50 численных натуральных чисел — неверно, так как на самом деле их только 49 (то есть менее 50).

Наверняка среди вас есть читатели, считающие, что высказывание

ГДР на 1 января 1971 года имела не более 50 млн. життелей — неверно, так как число життелей ГДР всего около 17 млн. Этот аргумент неубедительен: оборот «не более 50 млн.» означает, что может быть и меньше, но ни в коем случае не больше, значит это высказывание — верное.

Проверьте, верны ли следующие высказывания:
a) Имеется не более 9 однозначных натуральных чисел.
b) Имеется не более двух четных простых чисел.
b) Треугольник имеет не более трех острых углов.
г) Уравнение 3* = 27 имеет не более одного решения в области натуральных чисел.
d) Между 1 и 1000 имеет не менее 50 численных натуральных чисел.
e) Уравнение 3* = 27 имеет одно и только одно решение.
ж) Число 60 имеетровно 10 натуральных делителей.
з) Какдому натуральному числу соответствует не более одной точки на числовой оси.
i) Уравнение 3* = 27 имеет не менее одного решения.
k) Треугольник имеет не менее одного прямоугольника.

*) Не забудьте, что нуль считается натуральным числом. (Прим. перев.)

Заметим, что два совместных высказывания
Имеется не менее одного x…
Имеется не более одного x…
можно заменить один:
Имеется одно и только одно x…
(сравните высказывания г), e), и).)

Союз «И» встречался нам в предложении о делении натуральных чисел (в письменной работе Клауса). С помощью этого слова мы можем обединить несколько отдельных высказываний в одной составное высказывание. Такую связь высказываний называют обедининием или конъюнкцией. Рассмотрим пример.
Число 3 удовлевторем неравенству x < 7 И число 3 удовлевторем неравенству x > 2.
В этом высказывании две части:

Число 3 удовлевторем неравенству x < 7 (верное),
Число 3 удовлевторем неравенству x > 2 (верное).
Обедининие (конъюнкция) высказываний будет верным в том и только в том случае, когда обе части, из которых оно образовано, тоже верны. В случае же, когда одна из частей верна, а другая верна или, тем более, когда обе части верны, обедининие будет верным. Например, высказывание
Число 300 непосредственно следующем за числом 200 И число 1000 непосредственно предшествует числу 2000 — неверное, так как обе части неверны.
0 является наименьшим натуральным числом И 10000000000 является наименьшим натуральным числом — неверное, так как второе из обединиемых высказываний — неверное.
Вернемся к вопросу о делении натуральных чисел.
Деление a : b в области натуральных чисел возможно, если число a кратно числу b И b ≠ 0.
В этом случае приметть ИЛИ вместе И нельзя.
Легко понять, почему учитель не был удовлевторен ответом Клауса:

«Деление a : b в области натуральных чисел возможно, если делое а является кратным делителем b ИЛИ если b не является нуlem». В самом деле, пусты, например, a = 15, b = 4. Здесь b ≠ 0; условие, сформированное Клаусом, выполняется, но деление нацело невозможно.

Проверьте самостояльное следующие утверждения:
a) 461·7² = 3217 И 414 : 6 = 54.
b) В каждом треугольнике имеется не более одного прямоугольного угла, А ТАКЖЕ не менее одного остроого угла.
b) Число 19 удовлевторяет КАК неравенству 17 < x < 27, ТАК И неравенству 19 < x < 29.
г) Число 714 удовлевторяет И, КРОМЕ ТОГО, делится на 7.
Мы видим, что имеются и другие связьивающие слова, например: КАК… ТАК И, И, КРОМЕ ТОГО, НЕ ТОЛЬКО… НО И и другие, которые, будучи примененными вместе союза И, не меняют справедливости высказываний.

ИЛИ ИЛИ ИЛИ… ИЛИ

Союз ИЛИ и оборот ИЛИ… ИЛИ могут связать два высказывания в новое. При этом очень важно выбрать нужные связующее слова.
Соедининие двух высказываний, составленное с помощью ИЛИ, будет верным, если хотя бы одна его часть верна. Если же обе части вы-

сказывания неверны, то будет неверным и составное высказывание:

Соедининие, образование при помощи выражения ИЛИ . . . ИЛИ (которое называется дистронцей), будет верным в том и только в том случае, когда одна часть высказывания верна; в противном случае оно будет неверным.

Высказывание:
2772 делится на 3 ИЛИ на 9
— верное, так как это число делится и на 3 и на 9, то есть обе части высказывания верны.

Высказывание:
2772 делится ИЛИ на 3 ИЛИ на 9 — неверное.
Рассмотрим еще один пример.
Учитель поставил ученикам задачу: намерить преуговник, который является прямоугольным ИЛИ равноведным. На рисунке показано, что ученики намерили. Кто из них выполнили задание верно?

a) Дитер 6) Гейко в) Петер г) Рольф

a) Дитер — верно, его треугольник — прямоугольный;
б) Гейко — тоже верно, его треугольник равноведный;
в) и Петер — верно, его треугольник прямоугольный. И также равноведный, но это допустимо;

г) лишь чертеж Рольфа неверен: его треугольник не прямоугольный и не равноведный.

Предположим теперь, что учитель формулировал задачу так: намерить преуговник, который является прямоугольным ИЛИ прямоугольным ИЛИ равноведным. Тогда лишь чертежи Дитера и Гейко выполнены верно.

Разберитесь самостояльно, какие фигуры на этих рисунках намерены верно, если задания были такими:

a) намерить два круга, которые касаются друг друга ИЛИ один из которых расположен внутри другого;
b) намерите два круга, которые ИЛИ касаются друг друга ИЛИ один из которых расположен внутри другого;
b) намерите два круга, которые касаются друг друга ИЛИ один из них расположен внутри другого.

ECЛИ А, TO В и ECЛИ В, TO А

Когда Клаус в своей работе обосновывает, что число 374111 делится на 3, он написал:

«Если число делится на 3, то и сумма его цифр тоже делится на 3.

Ганс написал наоборот:

«Так как сумма цифр числа делится на 3, то и сумму делится на 3», — и получил вышную оценку.

Клаус считал, что оба высказывания выражают один и тот же смысл. Так ли это?

Прежде всего заметим, что приведенные выражения опять-tаки представляют собой объединения высказываний, образанные с помощью оборота «ECЛИ А, TO В». Такая взаимосвязь высказываний называется также имплikaцией.

В объединениях высказываний, встречавшихся нам ранее (конъюнкция, альтернатива, дизьонкция) по-ядок высказываний не играл никакой роли. Для имплikaции это уже неверно. Расмотрим пример.

Предложение
«Если число делится на 2³, моно делится и на 2»
высказано в форме «ECЛИ А, ТО В»*). Это предложение — верное. Первая часть такого предложения (до запятой) называется посылкой (условием), вторая часть — заключением (утверждением).

Поменяв местами посылку и заключение, мы получим обрашеное предложение:
«ECЛИ число делится на 2, ТО оно делится и на 2³», — а это предложение — неверное.

Рассмотрим еще раз обоснования, приведенные Гансом и Клаусом:
Ганс «ECЛИ сумма цифр делится на 3, ТО и само число делится на 3».

Клаус (написал обращенное предложение): «ECЛИ число делится на 3, ТО и сумма цифр делится на 3».

Оба предложения имеют форму «ECЛИ А, ТО В». Но тем не менее нельзя утверждать, что они имеют один и тот же смысл (хотя в данном случае оба предложения верны); они существенно отличятся друг от друга.

Условие, сформированное Гансом, гласит:

*) Здесь А означает: «Число делится на 2³», В означает: «Число делится на 2».
(Прим. перев.)

Сумма цифр числа 374111 делится на 3».
Отсюда делается заключение: «Число 374111 может делиться на 3».
Клаус, наоборот, исходит из условия, что число делится на 3, и делает заключение, что и сумма цифр числа делится на 3.

Обращение верного высказывания может быть верным, а может быть и неверным, как это было показано выше. Поэтому всегда важно понять, будет ли обращение данного высказывания верным.

Если обращение верного высказывания верно, то оба высказывания можно обединить, используя оборот «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА»*).

Итак, число делится на 3 ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА; КОГДА сумма цифр числа делится на 3.

Сформируем теперь обращения некоторых высказываний и проверим верны ли они.
«ECЛИ число делится на 6, ТО оно делится и на 2».
Обращение:
«ECЛИ число делится на 2, ТО оно делится и на 6».
Ясно, что второе предложение неверно, так как, например, 14 делится на 2, но не делится на 6.

Сформируйте обращенные предложения и проверите, верны ли они.
a) ECЛИ число делится на 12, ТО оно делится и на 6.
b) ECЛИ стороны прямогольника АВСМ равны, ТО прямогольник АВСМ — квадрат.
b) ECЛИ точка P лежит внутри треугольника, то она лежит и внутри круга, описанного около этого треугольника.

В заключение несколько задач последнее. Проверим, верно ли, что:
a) «Число делится на 9 ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА оно делится на 3».
Как мы знаем, оборот «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» охватывает и само предложение и его об-

*) Или иначе: «В том и только в том случае, когда», «если и лишь если». (Прим. ред.)

рашение. Чтобы установить, верно ли рассматриваемое предложение, надо проверить, верны ли оба предложения, из которых оно составлено. Вот эти два предложения:

$a_1$ «ЕСЛИ число делится на 9, ТО оно делится и на 3»;
$a_2$ «ЕСЛИ число делится на 3, ТО оно делится и на 9».

Очевидно, $(a_1)$ верно, $(a_2)$ неверно. Следовательно, и составное высказывание неверно.

Рассмотрим самостояльно следующие предложения:

(6) Три угла треугольника равны тогда и только тогда, когда равны его стороны.
(в) Два числа имеют общий делитель тогда и только тогда, когда оба они — четные.
(г) Число делится на 4 тогда и только тогда, когда оно делится на 8.

«НЕ ВСЕ…» и «ВСЕ… НЕ»

Мы переходим к рассмотрению последней ошибки, сделанной Клаусом в его письменной работе. Задча заключалась в том, чтобы путем введения отрицания неверное высказывание превращать в верное.

Заметим сначала следующей:

Логическое отрицание неверного высказывания приводит к верному высказыванию;
Из верного высказывания с помощью логического отрицания можно получить неверное высказывание.

Составим отрицания следующих предложений:

(a) «247 — простое число»;
(b) « $2^4 + 2^2 = 2^5$ »;
(b) «а больше, чем 7»;
(g) «Произведение 17·11 — целое число»;
(d) «Все простые числа — нечетные».

Отрицания предложений (a), (6), (в), (г) можно сформировать сразу же:

(a’) «247 — не являемся простым числом»;
(b’) « $2^4 + 2^2 \neq 2^5$ »;
(b’_1) «а не больше, чем 7» или
(b’_2) «а меньше, чем 7 или равно 7»;

(г’) «Произведение 17·11 — нечетное число».

Как видно, отрицания можно сформировать по-разному. Поэтому не так просто дать определенное правило составления отрицания каждого отдельного высказывания. Можно, однако, использовать оборот «Неверно, что…» перед сформированным ранее высказыванием. Так, высказывание «Неверно, что все простые числа — нечетные» будет правильно сформированным отрицанием высказывания (д). А опрошенные многошкольники сформировали это отрицание так:

Раль ф: «Все простые числа не являются нечетными»;

Инга: «Не все простые числа — нечетные»;

Петра: «Ни одно нечетное число не является нечетным»;

Берnd: «Существует хотя бы одно простое число, не являющееся нечетным».

Мы знаем, что высказывание (д) неверно. Значит, отрицание этого высказывания должно быть верным. Но можно проверить, что только Инга и Берnd сформировали верные высказывания.