Задачи М216—М220; Ф228—Ф232

60

Задачи

M216—M220, Ф228—Ф232

M216. N человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторые из них, чтобы ни у каких трех людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом N. (8 кл.)

Г. А. Гальперин

M217. Дан выпуклей n-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка внутри него. Доказать, что через эту точку нельзя проверить больше n прямых, каждая из которых делит площадь n-угольника пополам. (9 кл.)

Е. В. Саллинен

M218. Доказать, что если $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ — положительные числа, то $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 \geq 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1)$. (10 кл.)

В. Д. Гинзбург

M219. В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепидов, для которых эти точки служат вершинами? (10 кл.)

Н. В. Васильев

M220. Король обошел шахматную доску $8 \times 8$, pobывав на каждом полеровно один раз и вернулись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по объчным правилам: за один ход он может перейти по

61

горизонтали, вертикали или диагонали на любое соеднее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получалась замкнутая ломанная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна 1.) (10 кл.)
А. В. Климов

Ф228. На конце dockи длины $L$ и массы $M$ находится короткий брусок массы $m$ (рис. 1). Доска может скольнить без трения по горизонтальной плоскости. Козффициент трения скольжения бруска по поверхности dockи равен $\mu$. Какую скорость $V_0$ нужно толком сообщить dockе, чтобы она выскользнула из-под бруска? (8 кл.)

Рис. 1.

Ф229. Оdnородной тонкой шайбе, лежащей на горизонтальной шероховатой поверхности, сообщают врашательное движение с угловой скоростью $\omega_0$ и поступательное со скоростью $V_0$ (рис. 2). По какой траектории движется центр шайбы? В каком случае шайба пройдет больший путь до остановки: при $\omega_0 = 0$ или при $\omega_0 \neq 0$ ($V_0$ одинаково в обих случаях)? (8, 9 кл.)

Рис. 2.

Ф230. На системе, состоящую из двух соедненных пружиной шариков массы $m$, покоящую на гладкой горизонтальной поверхности, налетает слева шарик массы $M$ (рис. 3). Проискот лобовой абсолотно упругий удар. Найти приближение

Рис. 3.

отношение масс $\gamma = \frac{m}{M}$, при котором удар произойдет еще раз. (10 кл.)

Ф231. Заряженный металлический шар радиуса $R$ разрезан на две части по плоскости, отстоящей на расстояние $h$ от центра (рис. 4). Найти силу, с которой отталкиваются эти части. Полный заряд шара $Q$. (9 кл.)

Рис. 4.

Ф232. Диод включен в цель, изобразенную на рисунке 5,α. Идеализированная волтамперная характеристика диода приведена на рисунке 5,б. Конденсатор предварительно

Рис. 5.

не заряжен. Ключ $K$ замыкают. Какое количество теплла выделится на сопротивлении $R$ при заряде конденсатора? Емкость конденсатора $C$, э. д. с. источника $E$. Внутреннее сопротивление источника пребрежимо мало. (9 кл.)