Matboy

50

Matboy
I. N. Bershtein

Trong kỳ thi Olympic toàn Liên minh, một trận đấu toán học truyền thống* đã được tổ chức giữa các đội của hai trường nội trú vật lý và toán học - Leningrad và Moscow. Năm nay, mỗi trường nội trú có 11 người phát biểu; bồi thẩm đoàn đề xuất 11 bài toán.

Sau khi giải khát trong buổi cầu nguyện nội bộ (bài toán được những người tham gia biết đến vào đêm hôm trước), các đội đã thách đấu nhau. Trước đó là cuộc thi dành cho các đội trưởng (Moscow - Arkady Vaintrob, Leningrad - Viktor Kozyrev), đội chiến thắng đã giành được quyền chọn nước đi đầu tiên cho đội của mình. Câu hỏi phải được trả lời: phương trình $\log \frac{1}{16} x = \left( \frac{1}{16} \right)^x$ có bao nhiêu nghiệm?

Đó không phải là bài toán, mà là một điều bí ẩn. Các đội trưởng không biết trước tình trạng của nó, chỉ cần họ đoán đáp số theo cách nào đó là đủ. (Những ai cho rằng việc này rất đơn giản thì hãy để họ canh giờ và tự mình thử. Hãy nhớ rằng nếu bạn gọi sai đáp số thì chiến thắng sẽ tự động thuộc về đối thủ. Mặt khác, việc từ từ chờ đợi kẻ địch gọi sai đáp số cũng không phải là chiến thuật thông minh nhất).

Sau đó trận chiến bắt đầu. Đầu tiên, Moscow triệu tập Leningraders cho lời giải của bài toán tiếp theo.

*) Matboy là một trò chơi một phần giống KBH, một phần là cuộc đấu tâm lý, một phần là Olympic toán học. Các quy tắc của nó được xuất bản vào «Kvant» Số 10, 1972.

Trong tương lai, mỗi nhiệm vụ sẽ phải đối mặt với (M) nếu được Muscovites gọi và (L) nếu được Leningraders gọi.

Số 1 (M). n điểm được kết nối bởi n - 1 đoạn sao cho hai điểm bất kỳ được kết nối bằng chính xác một chuỗi đoạn. Có những mũi tên được đặt trên các đoạn theo một cách nào đó. Bạn có thể thực hiện thao tác sau với số lần không giới hạn: nếu tại một thời điểm nào đó không có mũi tên nào đi vào nó và tất cả các mũi tên đều thoát ra khỏi nó, thì bạn có thể thay đổi hướng của tất cả các mũi tên này sang hướng ngược lại. Ví dụ: $\leftrightarrow$ có thể được chuyển tới $\rightarrow$ $\leftarrow$

Chứng minh rằng các thao tác như vậy có thể làm thay đổi hướng của tất cả các mũi tên theo bất kỳ hướng nào. Ước tính từ trên và dưới số M tối thiểu của các thao tác như vậy, điều này phụ thuộc đủ vào việc đối với bất kỳ kết nối nào của n điểm theo các đoạn, bạn có thể thay đổi bất kỳ hướng nào của mũi tên sang bất kỳ hướng nào khác.

Cả hai đội đều giải được phần đầu tiên bài toán nhưng không thể đưa ra ước tính chính xác về số M.

Số 2 (L). Có đa thức nào gồm hai biến P(x, y) sao cho

a) với mọi x, y P(x, y) > 0;

b) với mọi số dương c tồn tại x, y sao cho P(x, y) < c.

Một trong những bài toán matbioya thú vị nhất. Khi bắt đầu cuộc chiến, Moscow tin tưởng vào sự tồn tại của một đa thức như vậy, trong khi những người theo Leningrad lại tin tưởng vào điều ngược lại.

Số 3 (M). Có 128 quả cân và cân phân tích có mũi tên. Khi cân, cả lớp được phép có số lượng quả cân bằng nhau trên mỗi đĩa cân (và mũi tên sẽ chỉ sự khác biệt về trọng lượng của các quả cân trên hai đĩa cân). Trọng lượng của trọng lượng đầu tiên được biết chính xác. Cần bao nhiêu lần cân để xác định được tổng trọng lượng của các quả cân?

Khi đề xuất bài toán này, các thành viên ban giám khảo không biết lời giải của nó (điều này đã được cơ quan chức năng cho phép). Kết quả của cuộc tấn công là anh ta không bao giờ được nhận ra…

51

Số 4 (L). Cho 11 số tự nhiên. Chứng minh rằng có thể viết một số số đó thành một hàng sao cho mỗi chữ số xuất hiện một số chẵn trong số kết quả.

Số 5 (M). Một $k$-giác được nội tiếp trong một đường tròn có đường kính $D$. Vẽ $k - 3$ theo cặp các đường chéo không giao nhau trong đó để nó chia thành các hình tam giác. Một vòng tròn được ghi trong mỗi hình tam giác; bán kính của chúng là $R_1, R_2, \dots, R_{k-2}$. Chứng minh rằng $R_1 + \dots + R_{k-2} < D$.

Việc này khá khó và đẹp bài toán. Tuy nhiên, cả hai đội đã làm được điều đó.

Số 6 (L). Có 99 số tự nhiên lẻ khác nhau $a_1, a_2, \dots, a_{99}$ sao cho $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{99}} = 1$?

Trong quá trình trao đổi thư từ, từ “kỳ quặc” đã bị lược bỏ khỏi các điều kiện của bài toán này, khiến cho lời giải trở nên quá đơn giản. Ở dạng bài toán được đưa ra ở đây, người tham gia không thể giải được hoàn toàn.

Số 7 (M). Công ty “Sừng và Móng guốc” đã mua một máy đếm chỉ thực hiện một thao tác: $a*b = 1 - \frac{a}{b}$. Tuy nhiên, O. Bender đã học cách thực hiện cả bốn phép tính số học trên đó. Làm sao?

Số 8 (L). Một hình tam giác được gọi là “tốt” nếu tất cả các góc của nó không quá 120°. Một tam giác “tốt” được chia thành nhiều hình tam giác. Chứng minh rằng trong số đó có ít nhất một người giỏi.

Tại thời điểm này, cả hai đội đồng thời đã giải quyết được bài toán. bài toán sau đây vẫn chưa được giải quyết.

Số 9. Xem bài toán 1 của ngày đầu tiên vào lớp 9 với sự thay đổi như sau: chuyên gia biết 6 cái có thể là giả, 8 cái còn lại là thật (và biết cái nào là giả).

Số 10. Trong bảng hình vuông $100 \times 100$ các ô chéo có màu xanh lam. Một tập hợp các ô của bảng được gọi là bing nếu nó không chứa các ô được đồng bộ hóa và sau khi sắp xếp lại các hàng và cột, sẽ biến thành một hình chữ nhật. Số lượng bing tối thiểu (có thể chồng chéo) cần thiết để bao gồm

a) toàn bộ tài liệu, ngoại trừ đường chéo,
b) chỉ nửa dưới của đế nằm dưới đường chéo (và, nếu cần, một phần của đỉnh, nhưng không có đường chéo).

Số 11. Hình vẽ thể hiện bản đồ các đường phố của thành phố Ensk. Cần phải triển khai một số tuyến xe buýt quanh thành phố sao cho đúng một xe buýt đi dọc từng đoạn của tuyến (và chỉ theo một hướng). Có bao nhiêu cách có thể thực hiện được điều này? (Chỉ đường không được tính đến).

Những người tham gia Matoi cũng có cơ hội ghi thêm điểm bằng cách chia sẻ thông điệp của họ về bài toán chưa được giải quyết hoặc chưa được giải quyết đầy đủ. Các Leningraders đã sắp xếp bài toán Số 6 theo cách diễn đạt đúng, và Amockviches kể phần bài toán về “bings”.

Cuối cùng, người Muscovite đã giành chiến thắng nhờ cấu trúc trận chiến của họ một cách khôn ngoan không chỉ từ góc độ toán học mà còn từ quan điểm chiến thuật. Điểm 28:22.