Trường Âm nhạc Cao cấp tại Hội Toán học Moscow

72

VMS là trường dạy toán buổi tối. Tất cả học sinh quan tâm từ lớp 6–8 đều có thể theo học tại trường này. Không có kỳ thi tuyển sinh vào trường Y cao hơn.

Hội đồng trường cấp 3 ấn định giá trị “học sinh cấp 3” cho học sinh học giỏi, cấp chứng chỉ, cuối năm được xét tuyển vào trường toán.

Trong 10 năm hoạt động của Trường Cao đẳng Âm nhạc, các cựu học sinh của trường đã nhiều lần tham gia các cuộc thi Olympic toán quốc gia và quốc tế và xuất bản 10 bài báo khoa học. Nhưng VMS không đặt mục tiêu duy nhất là chuẩn bị và tuyển chọn các nhà toán học chuyên nghiệp trong tương lai.

Khả năng “suy nghĩ toán học” rất hữu ích (và một phần cần thiết) đối với bất kỳ người nào. Rốt cuộc, toán học có thể được sử dụng trong mọi thứ! Ví dụ, từ tháng 2 đến tháng 5 năm 1973, tại một hội thảo mà tôi tham gia, các mô hình toán học được sử dụng trong kinh tế, xã hội học, y học, tâm lý học, địa chất, di truyền học, nhân khẩu học, v.v. đã được xem xét. Nhưng thật không may, khi thảo luận về những vấn đề này, các nhà khoa học, kỹ sư đôi khi sử dụng các định lý, công thức toán học mà không hiểu rõ ý nghĩa của chúng.

Điều này đương nhiên dẫn đến sai sót. Để tránh những sai lầm như vậy, bạn cần bắt đầu rèn luyện khả năng hiểu ý nghĩa của các định lý toán học càng sớm càng tốt, chẳng hạn như trong vòng tròn toán học hoặc ở trường buổi tối.

Điều chính trong các lớp VMS là lời giải bài toán; Trách nhiệm chính của sinh viên VMS là không ngại ngùng và không ngại đặt câu hỏi khi có điều gì đó chưa hoàn toàn rõ ràng. Chương trình làm việc của từng nhóm (câu lạc bộ) VMS do lãnh đạo nhóm này quyết định; Đồng thời, nghiên cứu lợi ích của học sinh tham gia nhóm.

VMS hoạt động từ tháng 10 đến tháng 4. Năm học bắt đầu bằng cuộc họp tại Hội trường Đại học Moscow. Các lớp học được tổ chức mỗi tuần một lần tại trường hoặc tại Đại học quốc gia Moscow. Ngoài ra, một cuộc thi chung dành cho tất cả các nhóm trên lời giải bài toán thường xuyên được tổ chức.

Những người quan tâm đến việc học tại Trường Âm nhạc Cao cấp có thể viết thư đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 14, bldg. 7, CEMI, Phòng thí nghiệm Lý thuyết Thống kê Thực tế, Trường Y Đại học, hoặc gọi vào nửa cuối tháng 9 qua điện thoại: 291-85-72, 139-35-29.

Để kết luận, chúng tôi sẽ trình bày một số bài toán từ những vấn đề được thảo luận trong các lớp học VMS. Lưu ý rằng khoảng 400 bài toán VMS được tập hợp trong hai cuốn sách: E. B. Dynkin, S. A. Molchanov, A. L. Rosentl, A. K. Tolpygo “Toán học bài toán” (M., “Nauka”, 1971); E. B. Dynkin, S. A. Molchanov, A. L. Rosent’l “Tính hiện đại của toán học. Số học và đại số” (Moscow, “Nauka”, 1970). “Gặp gỡ những điều chưa biết” trên tạp chí “Người tiên phong” dựa trên tài liệu của Trường Âm nhạc Cao cấp.

73

Bài tập

1. Có 6 ngôi nhà dọc theo đường cao tốc thẳng tắp. Đào giếng ở đâu sao cho tổng khoảng cách từ giếng đến nhà là nhỏ nhất? Câu hỏi tương tự nếu có 7 ngôi nhà.
2. Huy chương vàng của giải vô địch ghi được 7 điểm, người đứng giữa - 5, huy chương đồng - 3. Đội đứng cuối ghi được bao nhiêu điểm? (Thắng một trận được tính 2 điểm, hòa - 1, thua - 0.)
3. Giải các phương trình sau dưới dạng số tự nhiên:
   a) $xy^2 + 3y^2 - x = 108$;
   b) $x! + 12 = y^2$
   (x! là tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến x, ví dụ $1! = 1$, $2! = 1 \cdot 2$, $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$, $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$).
4. Các số p và p^4 - 6 là số nguyên tố. Tìm p.
5. Cho tam giác ABC. Qua điểm A vẽ đường thẳng song song với BC tại đó lấy điểm D. BE vuông góc được thả vào CD. Chứng minh diện tích tam giác ABC là $\frac{1}{2} CD \cdot BE$.
6. Các số giống nhau được bảo vệ bởi các chữ cái giống nhau và các số khác nhau được bảo vệ bởi các chữ cái khác nhau. Giải mã đẳng thức:
   $MЯУ \times MЯУ = MЯУЯK + УЯЯ$.
7. Máy chiếu chiếu sáng bên trong góc ở $\alpha^0$. Bức tường pháo đài nằm dọc theo chu vi của một đa giác lồi, không phải là hình bình hành. Chứng minh rằng máy chiếu có khay có thể được chiếu sáng từ bên ngoài. (Điểm A được coi là được chiếu sáng bởi máy chiếu B nếu chùm tia của nó chiếu tới tất cả các điểm của một số bức tường xung quanh A.)
8. Người đầu tiên nghĩ đến n chữ số $x_1, x_2, \dots, x_n$. Câu thứ hai gọi tên n số tự nhiên $a_1, a_2, \dots, a_n$. Cái đầu tiên trong đáp số báo cáo tổng của $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n$. Người thứ hai phải hỏi bao nhiêu câu hỏi để đoán được số $x_1, x_2, \dots, x_n$? Làm thế nào để hành động khi $x_1, x_2, \dots, x_n$ không nhất thiết phải là số mà là số tự nhiên nhỏ hơn 1000? Điều gì sẽ xảy ra nếu tất cả những gì chúng ta biết về $x_1, x_2, \dots, x_n$ là chúng là số tự nhiên?
9. Có chính xác 57 cách để tặng x rúp cho vé 3 và 5 rúp. x bằng bao nhiêu, biểu thị tất cả các khả năng?
10. Tìm tất cả các hàm số f và với mọi số x, y c đẳng thức sau là đúng:
    $f(x)f(y) - xy = f(x) + f(y) - 1$.
11. Với các điểm A, B, C, với mọi điểm thứ tư M đoạn AM nhỏ hơn ít nhất một trong các đoạn BM và CM. Chứng minh điểm A nằm trên đoạn BC.
12. Chọn các số a, b, c, d, e sao cho phương trình
    $\sqrt{ax + b} + \sqrt{cx + d} - e$
    Tôi có nghiệm x = 3 và x = 4.
13. Số tự nhiên n chia hết cho 12 và có 1 ước tự nhiên khác nhau. Tìm n.