Bài toán trong toán học

47

Bài tập
trong toán học

L. G. Limanov

Bài viết này sẽ cung cấp nội dung của tất cả bài toán được cung cấp tại Olympic. Hầu hết tất cả chúng đều đã được xuất bản trên «Kvant» (số 7, 8, 1973) và lời giải trong số chúng sẽ xuất hiện theo các số của tạp chí. Đường dẫn bài toán, không có trong Sách Vấn đề Lượng tử, cũng được phát triển tại đây.

lớp 8

Ngày đầu tiên

1. Tại phiên tòa, 14 đồng xu được đưa ra làm bằng chứng. Chuyên gia phát hiện ra rằng đồng xu từ 1 đến 7 là giả và đồng xu từ 8 đến 14 là thật. Tòa án chỉ biết rằng tiền giả có trọng lượng như nhau, tiền thật nặng bằng nhau và tiền giả nhẹ hơn tiền thật. Chuyên gia có sẵn một chiếc cân mà không cần cân.

a) Chuyên gia muốn chứng minh trước tòa rằng đồng xu từ 1 đến 7 là giả. Làm sao anh ta có thể làm được điều này khi chỉ sử dụng ba lần cân?

6. Chứng tỏ rằng với ba lần cân, anh ta còn có thể chứng minh được nhiều điều hơn nữa: đồng xu từ 1 đến 7 là giả và đồng xu từ 8 đến 14 là thật.

2. Chứng minh rằng một số có chín chữ số chứa tất cả các chữ số trừ số 0 và là số 5 thì không thể là số chính phương hoàn hảo của một số nguyên.

3. Cho $n$ điểm, $n > 4$. Chứng minh rằng bạn có thể kết nối chúng bằng các mũi tên sao cho từ mỗi điểm bạn có thể đến từng điểm bằng cách đi theo một hoặc hai mũi tên (mỗi điểm chỉ có thể được nối bằng một mũi tên theo một hướng; bạn chỉ có thể đi theo mũi tên theo hướng chỉ trên đó).

Ngày thứ hai

4. Trên các cạnh của tam giác nhọn $ABC$, ba tam giác nhọn tương tự $AC_1B, BA_1C, CB_1A$ (trong trường hợp này là $AB_1C = ABC_1 = A_1BC, BC_1A = B_1CA, CAB_1 = C_1AB$) được dựng ra bên ngoài.

a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác $AC_1B, BA_1C$ và $CB_1A$ cắt nhau tại một điểm.

6. Chứng minh rằng đường thẳng $AA_1, BB_1$ và $CC_1$ cắt nhau tại cùng một điểm.

5. $N$ mọi người không biết nhau. Cần phải giới thiệu một số người trong số họ với nhau sao cho không có ba người nào có số lượng người quen bằng nhau. Chứng minh rằng điều này có thể thực hiện được với mọi $N$.

6. Vua đi vòng quanh bàn cờ $8 \times 8$, đánh vào mỗi ô một lần và đến nước đi cuối cùng sẽ quay về ô ban đầu (vua đi theo luật thông thường). Khi chúng ta vẽ đường đi của anh ta, nối các tâm của thửa ruộng mà anh ta tuần tự đi qua bằng các đoạn, chúng ta có được một đường đứt đoạn khép kín không tự giao nhau.

a) Cho ví dụ chứng tỏ quân vua có thể thực hiện đúng 28 nước đi theo hàng ngang và hàng dọc.

6. Chứng minh rằng anh ta không thể thực hiện ít hơn 28 nước đi như vậy.

lớp 9

Ngày đầu tiên

1. Tại phiên tòa, 14 đồng xu được đưa ra làm bằng chứng. Chuyên gia phát hiện ra rằng đồng xu từ 1 đến 7 là giả và đồng xu từ 8 đến 14 là thật. Tòa án chỉ biết rằng tiền giả có trọng lượng như nhau, tiền thật nặng bằng nhau, tiền giả nặng bằng nhau và tiền giả nhẹ hơn tiền thật. Chuyên gia này muốn chứng minh trước tòa bằng cách cân trên cân cốc không có lưới rằng tất cả những đồng tiền giả mà ông phát hiện được đều là tiền giả, còn lại là tiền thật. Liệu anh ấy có thể làm được điều đó không?

2. Cho một góc có đỉnh $O$ và một đường tròn tiếp xúc với cạnh của nó tại các điểm $A$ và $B$. Một tia được vẽ từ điểm $A$ song song với $OB$, cắt đường tròn tại điểm $C$. Đoạn thẳng $OC$ cắt đường tròn tại điểm $E$ và các đường thẳng $AE$ và $OB$ cắt nhau tại điểm $K$. Chứng minh rằng $OK = KB$.

3. Thật vậy, các số $a, b, c$ sao cho với mọi số $x$ thỏa mãn điều kiện $-1 \leq x \leq 1$ thì bất đẳng thức sau đúng:

$$|ax^2 + bx + c| \leq 1.$$

Chứng minh rằng với các giá trị $x$ này thì bất đẳng thức cũng đúng

$$|cx^2 + bx + a| \leq 2.$$

4. Liên đoàn quần vợt đã ấn định số bậc bốn cho tất cả các tay vợt có trong đó: số mạnh nhất - số thứ nhất, số tiếp theo - số thứ hai, v.v. Được biết, trong các trận đấu đối đầu giữa những tay vợt có số bốn khác nhau hơn 2, tay vợt có số nhỏ hơn luôn thắng. Giải đấu có sự tham gia của 1024 tay vợt mạnh nhất

48

Nó được thi đấu theo hệ thống Olympic: những người tham gia vòng tiếp theo được chia theo cặp và người chiến thắng trong mỗi cặp sẽ tiến vào vòng tiếp theo, do đó số lượng người tham gia sau mỗi vòng sẽ giảm đi một nửa. Như vậy, sau vòng thứ mười người chiến thắng sẽ được tiết lộ. Con số tốt nhất mà anh ấy có thể có là bao nhiêu?

Ngày thứ hai

5. Cho một hình tam giác có diện tích 1 và các cạnh $a, b, c$. Được biết, $a \geq b \geq c$. Chứng minh rằng $b \geq \sqrt{2}$.

6. Cho một $n$-giác lồi có các cặp cạnh không song song và một điểm bên trong nó. Chứng minh rằng qua điểm này không thể vẽ nhiều hơn $n$ đường thẳng, mỗi đường thẳng chia diện tích của $n$-giác làm đôi.

7. Vua đánh đổ bàn cờ $8 \times 8$, đánh vào mỗi ô một lần và đi nước cuối cùng quay về ô ban đầu. (Nhà vua di chuyển theo quy tắc thông thường: trong một nước đi ông ta có thể di chuyển theo chiều ngang, chiều dọc hoặc đường chéo đến bất kỳ trường liền kề nào.) Khi vẽ đường đi của ông ta, nối tuần tự các tâm của các trường ông ta đi qua, kết quả là một đường đứt đoạn khép kín không tự giao nhau. Cái nhỏ nhất và dài nhất nó có thể có là gì?

lớp 10

Ngày đầu tiên

1. Hình tam giác vuông
   $$f(x) = ax^2 + bx + c$$
   là như vậy mà phương trình
   $$f(x) = x$$
   không có rễ thực sự. Chứng minh rằng phương trình
   $$f(f(x)) = x$$
   cũng không có gốc rễ thực sự.

2. Cho một góc có đỉnh $O$ và một đường tròn tiếp xúc với các cạnh của nó tại các điểm $A$ và $B$. Một tia được vẽ từ điểm $A$ song song với $OB$, cắt đường tròn tại điểm $C$. Đoạn thẳng $OC$ cắt đường tròn tại điểm $E$ và các đường thẳng $AE$ và $OB$ cắt nhau tại điểm $K$. Chứng minh rằng $OK = KB$.

3. Trên tờ giấy trắng ca rô dài vô tận, các ô $n$ được sơn màu đen. Tại thời điểm $t = 1, 2, \dots$, sẽ có sự đổi màu đồng thời của tất cả các ô của trang tính theo quy tắc sau: mỗi ô $k$ thu được màu mà tại thời điểm trước đó là màu lớn nhất trong ba ô: chính ô $k$ và các ô lân cận ở bên phải và phía trên (nếu hai hoặc ba ô trong số này có màu trắng thì $k$ trở thành màu trắng, nếu hai hoặc ba ô trong số đó có màu đen thì đen).

a) Chứng minh rằng sau một thời gian hữu hạn sẽ không còn ô đen nào trên tờ giấy.

b) Chứng minh rằng ô đen sẽ biến mất không muộn hơn thời điểm $t = n$.

Ngày thứ hai

4. Chứng minh rằng nếu $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ là số dương thì $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 \geq 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1)$.

5. Trong không gian có 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Có bao nhiêu đường song hành khác nhau mà các điểm này đóng vai trò là đỉnh?

6. Vua đi vòng quanh bàn cờ $8 \times 8$, đánh vào mỗi ô một lần và quay lại nước đi cuối cùng về ô ban đầu. (Nhà vua di chuyển theo quy tắc thông thường: trong một nước đi ông ta có thể di chuyển theo chiều ngang, chiều dọc hoặc đường chéo đến bất kỳ trường liền kề nào.) Khi vẽ đường đi của ông ta, nối tuần tự các tâm của các trường ông ta đi qua, kết quả là một đường đứt đoạn khép kín không tự giao nhau. Cái nhỏ nhất và dài nhất nó có thể có là gì?

Lời giải một số bài toán

Lớp 8, bài toán 2. Giả sử số đó dễ tìm. Chúng ta hãy biểu thị nó bằng $n$ và $m$ số trong đó là hình vuông. Chữ số cuối cùng của $n$ là 5, vì vậy chữ số cuối cùng của $m$ cũng là 5 và có thể được biểu thị là $m = 10m_1 + 5$. Vì vậy, $n = (10m_1 + 5)^2 = 100(m_1^2 + m_1) + 25$. Do đó, chữ số thứ hai từ bên phải của $n$ là 2 và chữ số thứ ba giống với chữ số cuối cùng của $m_1^2 + m_1$. Chữ số này được xác định bởi chữ số cuối cùng của số $m_1$: nếu chữ số cuối cùng $m_1$ là 2 hoặc 7 thì kết quả là 6, trong tất cả các trường hợp khác kết quả là 0 hoặc 2. Vì chữ số thứ ba của số $n$ không thể là số 0 (theo quy ước) hoặc hai (nó đã được sử dụng) nên nó bằng sáu và chữ số thứ hai của số $m$ là 2 hoặc 7. Nhưng khi đó $m$ chia hết cho 25 và $n$ chia hết cho $25^2 = 625$. Nhưng sau đó $n = 625 = 1000$. $n_1$ cũng chia hết cho 625. Do đó $n_1$ chia hết cho 5 và chữ số cuối cùng của số $n_1$, là chữ số thứ tư của số $n$, bằng 0 hoặc 5. Nhưng cả hai đều mâu thuẫn với điều kiện bài toán. Do đó, không thể tìm thấy một hình vuông có các thuộc tính được chỉ định.

Lớp 8, bài toán 4. Xét điểm $O$ của giao điểm của các đường tròn $S_1$ và $S_2$ (xem Hình 1, có các góc bằng nhau được đánh dấu bằng các cung giống nhau). Theo điều kiện, mọi tam giác đều có góc cạnh; sử dụng điều này dễ dàng chứng minh được điểm $O$ nằm tại điểm $\Delta ABC$. Bạn có thể dễ dàng tự mình xử lý việc này. (Lưu ý rằng tôi không hạ điểm những người tham gia không chứng minh được điều này.) Hãy tính $\text{BOA}$:

$$\text{BOA} = 360^\circ - \text{AOC} - \text{BOC}$$

Tiếp theo, $\text{AOC} = 180^\circ - \text{AB}_1C$, $\text{BOC} = 180^\circ - \text{BA}_1C$. Vì vậy, $\text{BOA} = \text{AB}_1C + \text{BA}_1C$. Kể từ đây,

49

Cơm. 1.

$BOA + BC_1A = AB_1C + BA_1C + BC_1A = 180^\circ$. Do đó, điểm $O$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC_1$. Mệnh đề (a) bài toán đã được chứng minh.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng $A_1OA = 180^\circ$. Thật vậy, $A_1OA = A_1OC + COA = A_1BC + 180^\circ - AB_1C = 180^\circ$. Do đó, đường thẳng $AA_1$ đi qua điểm $O$. Do đó, các đường $BB_1$ và $CC_1$ cũng đi qua điểm này. Câu (b) bài toán đã được chứng minh.

Lớp 9, bài toán 3. Điều kiện bài toán còn bao hàm các bất đẳng thức sau: $-1 \leq c \leq 1$; $-1 \leq a + b + c \leq 1$; $-1 \leq a - b + c \leq 1$. Từ hai bất đẳng thức cuối, suy ra $-1 \leq a + c \leq 1$ và $-1 \leq b \leq 1$. Chúng tôi sẽ giả định rằng $a \geq 0$. Thật vậy, nếu $a < 0$, thì thay thế $a$, $b$ và $c$ bằng $-a$, $-b$ và $-c$ tương ứng; điều kiện bài toán các giá trị mới cũng thỏa mãn và $a$ mới (bằng $-a$) sẽ dương.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số trường hợp.

1. $c \geq 0$. Sau đó $|cx^2 + bx + a| \leq c + |b| + a$ tại $|x| \leq 1$. Nhưng $c + |b| + a \leq 1$ (vì $|b|$ là $b$ hoặc $-b$), và thậm chí còn hơn thế nữa là $|cx^2 + bx + a| < 2$ với $|x| \leq 1$.

2. $c < 0$. Khi đó $a + c \leq cx^2 + a \leq a$, Do đó $a + c - |b| \leq cx^2 + a + bx \leq a + |b|$. Nhưng $-1 \leq a + c - |b|$ và $a + |b| \leq 1 - c \leq 2$. Do đó, bất đẳng thức $|cx^2 + bx + a| \leq 2$ luôn đúng. Khi nhìn lại, chúng ta thấy rằng nếu đối với một số $x_0$ đẳng thức $|cx^2 + bx + a| = 2$ được thỏa mãn thì $c = -1$, $cx^2 + bx + a = 2$ và $x_0 = 0$ (hãy nhớ rằng chúng ta có $a \geq 0$), do đó $a = 2$ và $b = 0$ (kể từ $a + c = 1$).

Cơm. 2. Hình 3.