Đại học Hữu nghị Nhân dân Patrice Lumumba

61

Trường đại học
tình hữu nghị của các dân tộc
được đặt theo tên Patrice
Luumub

Trong «Kvant» số 4 cho năm 1973 chúng ta đã thảo luận
gọi là Đại học Hữu nghị Nhân dân. Bây giờ chúng ta đặt các varnatas vào phần giới thiệu-
kỳ thi toán tại trường đại học này vào năm 1973.

Khoa Vật lý, Toán học và Khoa học Tự nhiên
khoa học quân sự

Tùy chọn 1

1. Giải hệ phương trình:
   $$\begin{cases} x + y + z = 6, \\ xy + yz + xz = 12, \\ xyz = 8. \end{cases}$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$x^3 + \log_a x < a^2x^2.$$

3. Giải phương trình
   $$\frac{\sin^{10} x + \cos^{10} x}{4} = \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{4\cos^2 2x + \sin^2 2x}$$

4. Các góc nhị diện ở các cạnh bên
   ra của một paramid tứ giác đều
   đều bằng $\alpha$. Tìm góc cung ở gân
   nền tảng của paramida.

Tùy chọn 2

1. Ở giá trị hoàn chỉnh nào $z$
   cả hai biểu thức
   $(3 + i)z + 1 - 5i$ và $z^2 + 1 - 4i$
   đồng thời có giá trị thực?

2. Giải bất đẳng thức
   $$(2^x + 2^{1-x})^{\log_x (x^3 + 1)} \log_x + 1 x - 2 > 1.$$

3. Tìm tất cả các cặp số $x, y$ mà
   thỏa mãn phương trình
   $$\cos^4 x + \cos^4 y - \frac{1}{\cos^2 x \cos^2 y} = 1.$$

4. Tìm góc cung với cạnh
   cạnh của một paramid tam giác đều,
   nếu góc cung nằm ở cạnh của đế
   bằng $\alpha$.

Tùy chọn 3

1. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{x + 2a} + \sqrt{x + 2b} < 2\sqrt{x + a + b}.$$

2. Giải hệ phương trình:
   $$\begin{cases} 5\lg x - 3\lg y = 0, \\ (3x)^{1/g} - (5y)^{1/g} = 0. \end{cases}$$

3. Tìm tất cả các cặp số $x, y$ mà
   thỏa mãn phương trình
   $$\sin^2 (x + y) - \cos^2 (x - y) = 1.$$

4. Tìm tổng bề mặt của một hình nón cụt ngoại tiếp một bán cầu có bán kính $R$ (sao cho đáy của hình bán cầu nằm trên đáy lớn hơn của hình nón cụt và bề mặt bên của hình nón cụt và đáy thứ hai của nó chạm vào bán cầu), nếu diện tích đáy dưới và đáy trên của hình nón cụt theo tỷ lệ 1:18.

Khoa Kỹ thuật
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$(x^2 - 4x)^2 + 2(x - 2)^2 = 43.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$(0,125)^x + 2^{2-3x} + (0,5)^{3x+4} < 40,5.$$

3. Giải phương trình
   $$1 + \sin x - \cos x = \sin 2x - \cos 2x.$$

4. Đế và một trong các mặt bên
   Paramid là các tam giác đều. Một trong các góc phẳng ở đỉnh paramid, không bằng 60°, có giá trị $\alpha$. Tìm thể tích của paramid nếu độ dài của cạnh đó là
   cơ sở của nó là $a$.

Tùy chọn 2

1. Giải bất đẳng thức
   $$x^2 + \frac{1}{x^2} > \frac{17}{4}.$$

2. Giải phương trình
   $$\log_x - 1 (2x^3 - 6x^2 - 7x - 1) = 3.$$

3. Giải phương trình
   $$\mathrm{tg} x - 2\sqrt{2} \sin x = 1.$$

4. Các cạnh của đáy của một paramid tứ giác đều ngoại tiếp một quả cầu có bán kính $R$ bằng $a$. Tìm bề mặt hoàn chỉnh của paramid.

M. V. Drazhev