Tại sao gối lại mềm?

77

Tại sao gối lại mềm? Tại sao nằm trên giường lông vũ hoặc nệm hơi lại thoải mái? Tại sao nằm trên ván hoặc nền cứng lại không thoải mái?

Nếu bạn chỉ đơn giản nói rằng lông tơ và không khí thì mềm, còn ván và đất thì cứng thì bạn sẽ không hoàn toàn đúng. Vấn đề hoàn toàn không nằm ở tính chất của vật liệu - cả ván và đất sét cứng đều có thể “mềm”. Và từ những vật liệu rắn, bạn có thể tạo ra một chiếc “chiếc thìa” thoải mái nếu bạn tạo cho nó hình dạng cơ thể con người.

Hãy tưởng tượng rằng bạn nằm trên đất sét mềm và để lại một vết lõm trên đó phù hợp với hình dạng cơ thể của bạn. Sau khi khô, đất sét sẽ cứng như đá. Nếu bây giờ bạn nằm trong trạng thái trầm cảm, thì bạn sẽ rất thoải mái, mặc dù thực tế là “chiếc thìa” của bạn không thể gọi là mềm (mặc dù khi khô, kích thước sẽ thay đổi đôi chút, nhưng chúng tôi sẽ không tính đến điều này).

Vậy có chuyện gì thế? Hóa ra ấn tượng về độ mềm hay độ cứng không phụ thuộc vào tính chất của vật liệu mà phụ thuộc vào lượng áp suất lên bề mặt cơ thể. Hãy làm một phép tính nhỏ.

Giả sử khối lượng của một người trưởng thành là khoảng 60 kg và bề mặt cơ thể xấp xỉ 2 mét vuông. Nếu một người nằm trên một chiếc giường uốn cong và dường như “bao bọc” cơ thể thì khoảng 1/4 toàn bộ bề mặt cơ thể người đó tiếp xúc với nó.

Không khó để tính toán rằng trong trường hợp này chỉ có 12 G trên mỗi cm vuông bề mặt cơ thể. Và nếu cùng một người nằm trên một bề mặt cứng, không đàn hồi thì diện tích tiếp xúc sẽ chỉ khoảng một trăm cm vuông. Khi đó, trên một cm vuông sẽ có 600 G, tức là áp suất sẽ tăng gấp 50 lần!

N.M.

79

2. Nếu $a > 1$ thì $a^{-2} < x < a$; nếu $0 < a < 1$, thì $0 < x < a$ và $x > a^{-2}$.

3. $x = \frac{k\pi}{2}$, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Gợi ý. Kiểm tra xem vế phải của phương trình có bằng $\frac{1}{4}$ hay không. Tiếp theo, chứng minh rằng phương trình $\sin^{10}x + \cos^{10}x = 1$ chỉ thỏa mãn nếu $\sin^2x = 1$ (và $\cos x = 0$) hoặc nếu $\cos^2x = 1$ (và $\sin x = 0$).

4. $\arcsin\left(\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)$.

Tùy chọn 2

1. $z_1 = 2 + i$; $z_2 = 3 + \frac{2}{3}i$.

2. $x > 2$.

3. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

$y = \frac{\pi}{2} + n\pi$, $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

4. $2\arctg\frac{\sqrt{\frac{1}{3} + \cos^2\alpha}}{\sin\alpha}$

Tùy chọn 3

1. Nếu $a > b$ thì $x \geq -2b$; nếu $a < b$ thì $x \geq -2a$; nếu $a = b$ thì lời giải thì không.

2. $x = \frac{1}{3}$, $y = \frac{1}{5}$.

3. $x = \frac{(k+l+1)\pi}{2}$, $y = \frac{(k-l)\pi}{2}$, trong đó $k$ và $l$ là số nguyên bất kỳ.

4. $\frac{37+3\sqrt{2}}{6\sqrt{2}-1}\pi R^2$. Gợi ý. Hãy cố gắng tưởng tượng rõ ràng nhất có thể một bán cầu nội tiếp trong một hình nón cụt; Xin lưu ý rằng hình nón cụt này có phần đế trên lớn.

Khoa Kỹ thuật

Tùy chọn 1

1. $x_1 = -1$; $x_2 = 5$. Gợi ý. Thực hiện theo sự thay thế $x - 2 = y$.

2. $x > -1$.

3. $x_1 = \frac{\pi}{4} + k\pi$, $x_2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

4. $\frac{1}{3}a^3\sin\frac{\alpha}{2}\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2} - \frac{1}{4}}$.

Tùy chọn 2

1. $x < -2$, $-\frac{1}{2} < x < 0$, $0 < x < \frac{1}{2}$, $x > 2$.

2. $x = 5$.

3. $x_1 = \frac{5\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}$, $x_2 = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

4. $\frac{2a^4}{a^2 - 4R^2}$.

Về bài viết “Truyền hình đang chuẩn bị cho đại học”

Vật lý

1. Ba quả bóng nằm dưới đáy bình, quả thứ tư ở trên nằm trên chúng. Bằng cách kết nối tâm của các quả bóng, chúng ta sẽ có được một hình tam giác đều.

Chúng ta hãy xem xét sự tương tác của quả bóng trên và một trong những quả bóng dưới (xem Hình 2).

Lực ép của quả cầu dưới tác dụng lên thành bình bằng

$$F_x = F_3\cos\alpha,$$

trong đó $F_3$ là lực tác dụng của quả bóng phía trên lên quả bóng phía dưới.

Các lực tác dụng lên quả bóng trên cùng là: $mg$, $F_1 = F_3$ và $F_2$ — lực tác dụng của hai quả bóng thấp hơn còn lại ở quả bóng trên cùng. Từ điều kiện cân bằng của quả cầu trên

$$F_1 = \frac{mg}{2}\cdot\frac{1}{\sin\alpha}.$$

Từ tam giác $ABC$ $\cos\alpha = \frac{D - d}{2d}$

Cơm. 2.

80

Cơm. 3.

Sau đó

$$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{\frac{3d^2 - D^2 + 2dD}{4d^2}}$$

Khối lượng bóng $m = \rho \pi \frac{d^3}{6}$

Cuối cùng chúng tôi nhận được

$$F_x = \frac{\pi d^3}{12} \rho g \frac{D - d}{\sqrt{3d^2 - D^2 + 2dD}} = 1,7 \text{ m}.$$

2. $l = \frac{v^2}{kg} = 12,8 \text{ m}$.

Gợi ý. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng.

3. Hình 3 thể hiện hai vị trí cân bằng của quả bóng: A và C. Từ tam giác AOC sử dụng định lý cosine

$$AC = l \sqrt{2(1 - \cos \alpha)},$$

ở đâu $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$, $tg \alpha_1 = \frac{a_1}{g}$, $tg \alpha_2 = \frac{a_2}{g}$.

Như vậy,

$$AC = l \sqrt{2} \times \sqrt{1 - \cos \left( \arctg \frac{a_1}{g} + \arctg \frac{a_2}{g} \right)} \approx 0,24 \text{ m}.$$

Người hiệu đính T. S. Weisberg

117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, «Kvant», tel. 234-08-11. Được giao theo bộ vào ngày 6/VIII-73. Đã ký in ngày 20/IX-73.

Giấy 70×100 1/16. Vật lý. lò nướng l. 5.
Lò nướng có điều kiện l. 6.50 Biên tập học thuật. tôi. 7.06

Toán học

1. Vì $\frac{1}{\sqrt{k}} > \frac{1}{\sqrt{n}}$ tại $k < n$, thì

$$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots +$$

$$+ \frac{1}{\sqrt{n-1}} + \frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$$

2. Giả sử, để định nghĩa, $0 < a \leq b$. Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng $b^n (1 + x)^n < 2^n (1 + x^n) b^n$,

ở đâu $x = \frac{a}{b}$. Vì $0 < a \leq b$, rồi $0 < x \leq 1$, rồi $(1 + x)^n \leq (1 + 1)^n = 2^n < 2^n + 2^n x^n = 2^n (1 + x^n)$.

3. Bằng chứng. Vì $2^{105} + 3^{105} = (2^3)^{35} + (3^3)^{35} = 8^{35} + 27^{35} = (8 + 27)(8^{34} - 8^{33} \cdot 27 + \ldots + 27^{34})$ nên $2^{105} + 3^{105}$ chia hết cho 35. Các phát biểu khác được chứng minh tương tự.

4. 95, 494. Gợi ý. Biểu thị 589 là 1·19·31; các số cần tìm có dạng 19 n, 19 m hoặc 31 n, 31 m, trong đó m, n là các số tự nhiên.

5. Hãy đưa ra một trong những lời giải có thể. Vì $\sin \beta = \sin [(\alpha + \beta) - \alpha] = \sin (\alpha + \beta) \cos \alpha - \cos (\alpha + \beta) \sin \alpha$ nên đẳng thức $\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin \beta$ có ​​thể viết dưới dạng

$$2\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin (\alpha + \beta) \cos \alpha.$$

Chia cả hai vế của đẳng thức cuối cùng cho $\cos \alpha \cos (\alpha + \beta) \neq 0$, ta được

$$2tg \alpha = tg (\alpha + \beta).$$

Xem đoạn kết ở số 12.

Đối với vấn đề «Kvant» cho học sinh nhỏ (xem «Kvant», 1973, số 10)

1. 338×275 = 92 950.

2. Đầu tiên bạn cần đạp phanh sau rồi di chuyển. Nếu bạn làm ngược lại, xe đạp có thể bị lật.

3. 8 và 10 điểm.

4. Cuộn dây của bộ chuyển đổi điện sẽ tan chảy vì thân máy là chất dẫn điện kém hơn nhiều so với nước.

5. $1 - \pi/6$.

6. Hiện tại là bằng không.

Nhà máy in Chekhov
Soyuzpolygraphproma
tại Ủy ban Nhà nước của Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô về Xuất bản, In ấn và Kinh doanh Sách, Chekhov, Khu vực Moscow

Hướng dẫn viên không quay trở lại

Học sinh từ 16 quốc gia giải được bài toán vào ngày thứ hai.
Người đứng đầu ủy ban Thụy Điển, A. Samuelson, thảo luận về công việc của học sinh với tọa độ.