Dê trên dây xích

74

CON DÊ
TRÊN
CHÂN
V.N.Krupsky, A.I.Orlov

Sau khi tan học ở trường toán buổi tối, khi học sinh cuối cùng đã về nhà, chúng tôi nhìn thấy một cuốn sổ bị ai đó bỏ quên. Đó là một cuốn nhật ký không có tên tác giả. Chúng tôi thấy các mục này rất thú vị và chúng tôi quyết định in một đoạn trích từ cuốn nhật ký.

“…Dê hay lén lút, ăn mọi thứ chúng có thể với tới. Bạn tôi đã khéo lợi dụng hoàn cảnh này. Anh ấy sống ở một ngôi làng và biết rõ các địa điểm trồng nấm. Nhưng khi bạn bè đến hỏi ngày mai đi mua nấm ở đâu, anh ấy trả lời: “Dê sẽ chỉ.” Trên thực tế, vào buổi tối, con dê của anh ta đang ăn cỏ ở một khu vực có hình mũi tên, hướng về phía điểm nấm (Hình 1). Tôi tự hỏi làm thế nào anh ấy làm được điều đó. Hôm qua tôi đã nói với người hàng xóm toán học của tôi về con dê thông minh, và anh ấy đã trả lời tôi như thế này.

Nhà toán học. - Nó không hề khó như bạn nghĩ đâu. Hãy tìm hiểu nó ngay từ đầu. Nếu bạn buộc nó vào một cái cọc bằng sợi dây dài mười mét trên một cánh đồng, tất nhiên nó sẽ ăn cỏ theo hình tròn có bán kính 10 mét. Hãy thử buộc nó theo cách khác. Tại điểm A và B, chúng ta sẽ đập các chốt ra và căng dây giữa chúng. Chúng ta sẽ buộc một đầu của sợi dây thứ hai vào “cổ áo” của con dê, và ở đầu kia chúng ta sẽ làm một vòng để trượt dọc theo sợi dây đầu tiên. Bây giờ con dê sẽ có thể ăn cỏ trong một khu vực bao gồm một hình chữ nhật và hai hình bán nguyệt có tâm ở các điểm A và B (Hình 2). Khoảng cách từ điểm viền của đoạn “ăn hết” đến sợi dây thứ nhất luôn bằng chiều dài của sợi dây thứ hai.

J. - “Khoảng cách từ một điểm đến một sợi dây” là bao nhiêu? Rốt cuộc, bạn có thể thay đổi khoảng cách từ điểm M đến điểm A, hoặc đến điểm B, hoặc đến một số điểm bên trong C của đoạn AB (Hình 3). Chúng ta sẽ luôn nhận được những kết quả khác nhau.

Nhà toán học. — Khoảng cách từ điểm M đến đoạn thẳng được gọi là

Cơm. 1.
Cơm. 2.

76

Cơm. 5.

Vâng. — Giải quyết xong những bài toán này, tôi có thể buộc hệ số “ăn” ngành đó.

Nhà toán học. - Tất nhiên, vì hình vuông là giao điểm của một hình tam giác với một hình tròn và bạn có thể nhận được cả hai hình này. Nhân tiện, đây là một bài toán khác dành cho bạn.

Bài 3. Cách lập hệ số hình bán nguyệt?

Tôi. - Tôi sẽ suy nghĩ về nhiệm vụ của bạn. Tôi tự hỏi liệu bạn hoàn toàn tự mình nghĩ ra “Lý thuyết con dê đói” hay bạn đã sử dụng một số khái niệm toán học?

Nhà toán học. — Tôi đã nói về những thứ như khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng, giao điểm của các hình. Nhưng, theo tôi, khái niệm toán học cần thiết nhất được sử dụng là khái niệm “lân cận của một hình có bán kính R”.

Sự định nghĩa. Vùng lân cận bán kính R của hình Φ được gọi là đường đa tuyến của tất cả các điểm đó; khoảng cách từ các điểm thành phần của Φ không bị biến đổi bởi R (ở đây R là số không âm).

J. - “Khoảng cách từ một điểm đến một hình” là gì?

Nhà toán học. - Đây là sự khái quát hóa tự nhiên của khái niệm “khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng”.

Sự định nghĩa. Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng, giao điểm của các hình. Nhưng, theo tôi, khái niệm toán học cần thiết nhất được sử dụng là khái niệm “lân cận của một hình có bán kính R”.

Sự định nghĩa. Vùng lân cận bán kính R của hình Φ được gọi là đường đa tuyến của tất cả các điểm đó; khoảng cách từ các điểm thành phần của Φ không bị biến đổi bởi R (ở đây R là số không âm).

Cơm. 6.

77

Bài 5. Diện tích lân cận bán kính $R$ của một đa giác lồi có chu vi $P$ và diện tích $S$ là bao nhiêu?

Vâng. - Chúng ta đã ngừng nói về koeda rồi.

Nhà toán học. - Không, tại sao? Nếu có dây, chúng ta có thể đặt một vòng dây có chiều dài $R$ lên đó. Sau đó, koeda sẽ ăn hết một vùng lân cận có bán kính $R$ của đường viền dây. Tất nhiên, chúng tôi giả định rằng đường viền được hàn vào một chốt duy nhất, sao cho nó bất động và vòng lặp trượt tự do dọc theo nó.

Vâng. - Vậy với sự trợ giúp của một sợi dây, bạn có thể làm cho koeda ăn vùng lân cận bán kính $R$ của hình tròn và đường viền của hình chữ nhật?

Nhà toán học. - Đúng. Ở vùng lân cận của thập tự giá, tình hình phức tạp hơn.

Nhiệm vụ 6. Hãy suy nghĩ về loại mạch dây nào cần thiết để có được vùng lân cận của hình chữ thập.

Vâng. - Thật vậy, bản thân hình chữ thập sẽ không hoạt động như một đường viền - xét cho cùng, vòng lặp sẽ không đi qua điểm $O$ (Hình 6, a). Chúng ta cần phải suy nghĩ về điều đó… Tôi tự hỏi liệu trong “Lý thuyết đầu dê” có thể sử dụng vùng lân cận của chính hình chữ nhật chứ không phải các đường viền của nó không?

Nhà toán học. — Hãy xây một hàng rào thấp dọc theo đường viền của hình chữ nhật để koeda có thể dễ dàng vượt qua. Chúng ta sẽ buộc một đầu của sợi dây có chiều dài $R$ vào cổ áo và đầu còn lại vào tờ rơi - “yakoyu”, tờ rơi chỉ có thể di chuyển bên trong hình chữ nhật. Koeda không thể kéo anh ta qua hàng rào. Sau đó koeda sẽ kiếm ăn trong vùng lân cận bán kính $R$ của hình chữ nhật.

Bạn có thể biết rằng hiệu $\Phi_1/\Phi_2$ của hai hình $\Phi_1$ và $\Phi_2$ là hình bao gồm tất cả các điểm $\Phi_1$ không nằm trong $\Phi_2$. Ví dụ: sự khác biệt giữa một hình chữ nhật có cạnh 30 m và 40 m và vùng lân cận của đường viền có bán kính 5 m sẽ là hình chữ nhật có cạnh 20 m và 30 m (Hình 7).

Cơm. 7.

TÔI – Trong “The Head Goat Theory” nó có thể được sử dụng như thế này. Chúng ta sẽ gắn con chó vào đường viền dây hình chữ nhật $30\text{м} \times 40\text{м}$ bằng một sợi dây dài năm mét. Cô ấy sẽ chạy quanh khu vực có bán kính 5 m của đường viền của hình chữ nhật này và sẽ không để koeda vượt ra ngoài hình chữ nhật $20\text{м} \times 30\text{м}$.

Nhà toán học. - Đây là bài toán bị cháy.

Nhiệm vụ 7. Làm thế nào một con chó có thể cởi trói cho Koeda theo hình bán nguyệt?

“Lý thuyết đầu dê” có thể được phát triển theo nhiều hướng khác nhau. Ví dụ: bạn chỉ có thể sử dụng chốt và dây thừng và yêu cầu tất cả các dây phải luôn được căng. Sau đó, bạn có thể buộc koeda tự giới hạn trong hình chữ nhật $ABCD$ như thế này: đóng chốt ở các đỉnh của hình chữ nhật, kéo dây giữa $A$ và $B$ và giữa $C$ và $D$, ném một vòng dây qua dây $AB$ và $CD$, kéo hết cỡ và buộc lại Koedu lên võ đài. Thật vậy, đối với các điểm của hình chữ nhật, tổng khoảng cách đến hai cạnh đối diện là không đổi. Bây giờ bạn có thể khiến koeda “ăn” hình tam giác ngay cả khi có những hạn chế mới…”

Tờ tiếp theo bị rách và chúng tôi không biết về sự phát triển tiếp theo của “Thuyết Đầu Dê”. Có lẽ độc giả Kwan có thể giúp chúng tôi và đưa ra những phiên bản lý thuyết của riêng họ?