Olympic Toán học lần thứ V MESI

57

Olympic Toán học lần thứ V MESI

Olympic được tổ chức theo hai hình thức: I - vòng - tương ứng và II - toàn thời gian và tương ứng.

Những học sinh được so sánh thành công với các bài toán I.type và gửi lời giải chậm nhất là ngày 15 tháng 3 năm 1975 (theo giờ bưu chính) sẽ được phép tham gia bán thời gian và bán thời gian.type thứ hai. Học sinh Moscow sẽ được mời đến MESI toàn thời gian. Sinh viên không cư trú tham gia loại thứ hai vắng mặt. Mỗi người tham gia Olympic được nhận vào loại thứ hai sẽ biết điều này. Để nhanh chóng nhận được đáp số từ viện, vui lòng đính kèm một phong bì có địa chỉ của bạn vào thư.

Địa chỉ MESI: 119435, Moscow, ngõ B. Savvinsky, 14, “Olympiad-75”.

Lời giải bài toán được biểu diễn bằng tiếng Nga tại sân chơi của học sinh. Tất cả các tác phẩm dự thi Olympic sẽ được kiểm tra bằng máy tính. Do đó, chúng tôi yêu cầu bạn đặt đáp số ở cuối terradi cho các nhiệm vụ đã hoàn thành trong bảng sau

Con số bài toán 1 2 3 4 5

Đáp số

Nhiệm vụ loại đầu tiên:

1. Tìm phần nguyên của một số
   $$10\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3}+\ldots+\sqrt{1975}}}.$$
2. Giải hệ bất phương trình:
   $$\begin{cases} 3^x+4x-9|-8| \leq 3^x-4x-1, \\ 2^{x^2}>x+1. \end{cases}$$
3. Tìm (theo độ) giá trị dương nhỏ nhất của $x+y$ nếu
   $$(1+tgx)(1+tgy)=2.$$
4. Từ đỉnh của góc vuông của tam giác, một đường vuông góc hạ xuống cạnh huyền. Trên đường vuông góc này, cũng như trên đường kính, một vòng tròn được xây dựng. Các tiếp tuyến được vẽ từ hai đầu cạnh huyền với đường tròn này, chạm vào nó tại các điểm M và N và cắt nhau khi đi tiếp tại điểm L.
   Tìm độ dài các tiếp tuyến MZ và NZ nếu cạnh huyền bằng 6.
5. Một quả bóng có bán kính 2,5 chạm mặt ABC của cạnh ABCD tại điểm C và cạnh BD tại điểm D. Phần kéo dài của cạnh AD cắt các bề mặt của quả bóng lần thứ hai tại điểm K sao cho CK là đường kính của quả bóng.
   Tìm thể tích của paramid nếu BD=10, AC=12.
   I. G. Venetsky, Yu. I. Sorkin