Lỗi ở đâu

“Định lý trực tiếp tương đương với định lý ngược lại,” sinh viên Krestikov nói. — Nếu $\overline{A}\Rightarrow\overline{B}$ là một định lý trực tiếp thì cùng với nó định lý $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$ là đúng hoặc sai.

— $\overline{B}$ và $\overline{A}$ là gì? - sinh viên Nulikov hỏi.

— Đây là cách biểu thị sự phủ định của phát biểu $B$ và $A$.

• Làm sao bạn biết chúng tương đương nhau?

• Tôi có thể chứng minh điều đó.

• Đi nào.

• Vui lòng. Giả sử định lý $A\Rightarrow B$ đúng và định lý $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$ sai. Sau đó ver-

đến Định lý $\overline{B}\Rightarrow A$. Từ định lý đúng này và định lý trực tiếp đúng, suy ra $\overline{B}\Rightarrow B$. Bạn hiểu rằng điều này không xảy ra! Vì vậy, trên thực tế, Định lý $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$ đúng.

“Tôi hiểu rồi,” Nulikov nói.

Họ gặp nhau vào ngày hôm sau.

Nulikov nói: “Tôi đã chứng minh rằng định lý trực tiếp dẫn đến điều ngược lại.

• Điều này không thể được! Điều đó xảy ra là định lý trực tiếp đúng nhưng điều ngược lại thì không.

• Và tôi sẽ chứng minh điều đó cho bạn thấy!

• Hà! Thử!

— Giả sử định lý $A\Rightarrow B$ đúng. Ta cần chứng minh Định lý $B\Rightarrow A$ cũng đúng.

Hãy giả sử nó sai. Vậy định lý $B\Rightarrow\overline{A}$ đúng, lần trước chính bạn nói đấy. Nhưng Định lý $A\Rightarrow\overline{B}$ tương đương với nó, nghĩa là nó cũng đúng. Hóa ra hai định lý như vậy đều đúng: $A\Rightarrow B$ và $A\Rightarrow\overline{B}$, và điều này thật vô nghĩa. Điều này có nghĩa là Định lý $B\Rightarrow A$ thực sự đúng.

“Tôi không hiểu gì cả,” Krestikov lẩm bẩm.

Nulikov nói: “Tôi cũng lý luận giống như bạn.

Bây giờ hãy trả lời

1. Chứng minh của Krestikov có đúng không?

2. Chứng minh của Nulikov có đúng không?

3. Tuyên bố cuối cùng của Nulikov có đúng không?

TRONG. I. Ryzhik