Прямую, на которой лежат точки $O$, $G$, $H$, можно назвать прямой Эйлера ортоцентрического тетраэдра.

Упражнения

Решите с помощью скалярного произведения векторов задачи 1—4.

1. а) Докажите, что если $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, и $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$, то $H$ — точка пересечения высот треугольника.

б) Докажите, что если $O$ — центр сферы, описанной около ортоцентрического тетраэдра $ABCD$, и $\overrightarrow{OH} = {}^{1}\!/_{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$, то $H$ — точка пересечения четырех высот тетраэдра.

2. Докажите, что если $A$, $B$, $C$ и $D$ — четыре произвольные точки пространства, то

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD} = 0.$

Пользуясь этим равенством, докажите, что

а) три высоты треугольника пересекаются в одной точке;

б) если противоположные ребра $AB$ и $CD$, $AD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ перпендикулярны, то ребра $CA$ и $BD$ также перпендикулярны.

3. Докажите, что если $A$, $B$, $C$, $D$ — четыре произвольные точки пространства, то

$$|AB|^2 + |CD|^2 - |AD|^2 - |BC|^2 = 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB}.$$

Пользуясь этим равенством, докажите, что

а) сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов ее боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований;

б) диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны;

в) для того чтобы тетраэдр был ортоцентрическим, необходимо и достаточно, чтобы суммы квадратов его противоположных ребер были равны.

4. Докажите, что все плоские углы при одной вершине ортоцентрического тетраэдра либо одновременно острые, либо прямые, либо тупые и хотя бы одна его грань является остроугольным треугольником.

5. а) Докажите, что точки, симметричные ортоцентру $H$ треугольника $ABC$ относительно середин его сторон, а также точки, симметричные ортоцентру $H$ относительно прямых $BC$, $CA$ и $AB$, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.

б) Пусть $H$ — ортоцентр тетраэдра $ABCD$, $G_1$ и $H_1$ — соответственно центроид и ортоцентр грани $ABC$, а $G_2$ и $H_2$ — такие точки, что $\overrightarrow{HG_2} = 3\overrightarrow{HG_1}$ и $\overrightarrow{HH_2} = 3\overrightarrow{HH_1}$. Докажите, что точки $G_2$ и $H_2$ лежат на сфере, описанной около этого тетраэдра.

6. а) Докажите, что середины трех сторон, основания трех высот треугольника и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с тремя вершинами, лежат на одной окружности, а центр этой окружности (называемой окружностью десяти точек) лежит на прямой Эйлера.

б) Докажите, что центроиды четырех граней, основания четырех высот ортоцентрического тетраэрда и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, в отношении 1:2 (считая от ортоцентра), лежат на одной сфере, а центр этой сферы (называемой сферой двенадцати точек) расположен на прямой Эйлера.

7. Докажите, что

а) если основание одной из высот тетраэдра есть ортоцентр соответствующей грани, то тетраэдр является ортоцентрическим;

б) основание любой из высот ортоцентрического тетраэдра есть ортоцентр соответствующей грани (эти свойства использованы при доказательстве теоремы 5).

---

Где ошибка

— Прямая теорема равносильна теореме, противоположной обратной, — сказал ученик Крестиков. — Если $\overline{A}\Rightarrow\overline{B}$ — прямая теорема, то вместе с ней верна или неверна теорема $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$.

— А что такое $\overline{B}$ и $\overline{A}$? — спросил ученик Нуликов.

— Так обозначаются отрицания утверждений $B$ и $A$.

— А откуда ты знаешь, что они равносильны?

— Могу доказать.

— Давай.

— Пожалуйста. Пусть теорема $A\Rightarrow B$ верна, а теорема $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$ неверна. Тогда вер-

на теорема $\overline{B}\Rightarrow A$. Из этой верной теоремы и верной прямой теоремы следует, что $\overline{B}\Rightarrow B$. Ты же понимаешь, что так не бывает! Значит, на самом деле, теорема $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$ верна.

— Понятно, — сказал Нуликов.

Они встретились на другой день.

— Я доказал, что из прямой теоремы следует обратная, — сказал Нуликов.

— Этого не может быть! Бывает, что прямая теорема верна, а обратная нет.

— А я тебе докажу!

— Ха! Попробуй!

— Пусть теорема $A\Rightarrow B$ верна. Нам надо доказать, что теорема $B\Rightarrow A$ тоже верна.

Предположим, что она неверна. Тогда верна теорема $B\Rightarrow\overline{A}$, ты сам говорил это в прошлый раз. Но ей равносильна теорема $A\Rightarrow\overline{B}$, а значит, она тоже верна. Получилось, что верны две такие теоремы: $A\Rightarrow B$ и $A\Rightarrow\overline{B}$, а это чепуха. Значит на самом деле теорема $B\Rightarrow A$ верна.

— Ничего не понимаю, — пробормотал Крестиков.

— Я рассуждал так же как ты, — сказал Нуликов.

А теперь ответьте

1. Верно ли доказательство Крестикова?

2. Верно ли доказательство Нуликова?

3. Верно ли последнее заявление Нуликова?

В. И. Рыжик