Задачи М306—М310; Ф318—Ф322

26

Задачи

М306 — М310; Ф318 — Ф322

М306. Из шахматной доски (8×8) удалена одна угловая клетка (1×1) (рис. 1). На какое наименьшее число равновеликих треугольников (одинаковых по площади) можно разрезать оставшуюся часть доски?

В. П. Федомов

М307. Плоскость разбита на одинаковые шестиугольные комнаты (рис. 2). В некоторых стенах проделены двери так, что для любой вершины, в которой сходятся три стены (стороны шестиугольников), двери имеютровно в двух стенах. Докажите, что любой замкнутый путь по такому лабиринту проходит через четное число дверей.

В. П. Голубятников

М308. Если при любом $x$
$a_1 \cos x + a_2 \cos 2x + \dots + a_n \cos nx \geq -1$
то для чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ выполне-

но неравенство
$a_1 + a_2 + \dots + a_n \leq n$.

Докажите это утверждение a) для $n = 2$; 6) для $n = 3$; в) для любого натурального $n$.

Ю. И. Ионин

М309. a) При каких $n$ многочлен $x^{2n} + x + 1$ делится на $x^2 + x + 1$?
6) При каких $n$ число
$10 \dots 010 \dots 01$
делится на 37?

В. Г. Шлейфер

М310. Докажите, что среди $n$-значных чисел найдется более $8^n$ таких, в десятичной записи которыхникагруппа цифр (в частностиникагруппа цифра) не встречается два раза подряд.

Г. А. Гуревии

Ф318. При каком $C_1$ емкость системы конденсатора, показанной на рисунке 3, равна: a) $C$; b) $kC$ ($k \neq 1$); b) $C_1$?

Б. Б. Буховцев

Ф319. На расстоянии $2F$ от собирающей линии $\varLambda_1$ с фокусным рас-

27

стоянием $F$ находится светящейся предмет. Освещность четкого изображения предмета на экран при этом равна $E_0$. Между экраном и линзой $\Pi_1$ помещили рассеивающий линзу $\Pi_2$ с фокусным расстоянием —2$F$. Для получения четкого изображения предмета пришлось экран перевидить на расстояние, равное $F$. Определить освещность изображения предмета во втором слуае.

В. Е. Белокукин

Ф320. В откачном состоянии емкость $V = 1 \text{ л}$ находится 1 $\text{е}$ гидрида урана $\mathrm{UH}_3$. При нагреве до температуры $t = 400^\circ \mathrm{C}$ гидрид полностью разлагается на уран (атомный вес $A = 238$) и водород. Найти давление водорода в сосуде при этой температуре.

Ф321. На горизонтальномMEMбрану насыпан мелкий песок._MEMбрана совершает колебания с частотой $v = 500 \text{ец}$ в вертикальной плоскости. Какова амплитуда колебаний_MEMбраны, если песчинки подскакивают на высоту $h = 3 \text{ мм}$ по отношению к положению равновесия_MEMбраны?

Ф322. Две звезды врашают вокруг общого центра масс с постоянными по абсолотной величины скоростими $v_1$ и $v_2$ с периодом $T$. Найти массы звезд и расстояние между ними.

В. А. Луговцов