Московский физико-технический институт

49

Московский физико-технический институт

Подробно о Московском ордена Трудового Красного Знамени физико-техническом институте было рассказано в «Кванте» № 10 1973 года. Ниже приведется некоторые сведения в МФТИ по математике и физике в 1974 году.

Matematika

Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$\log_3(\log_2 x - 9) = 2 + \log_3(1 - 4 \log_x 4).$$
2. Решить уравнение
   $$\frac{\cos x}{\cos 3x} - \frac{\cos 5x}{\cos x} = 8 \sin x \cdot \sin 3x.$$
3. Равнообределная трапеция с основанием AD и BC (AD > BC) описана округности, которая касается стороны CD в точке M. Отрезок AM пересекает округность в точке N. Определить отношение $\frac{AD}{BC}$, если $\frac{AN}{NM} = k$.
4. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} 5^{x+1} \cos y + 5^{1-x} \sin y + 2 = 5^{x+1} \cdot \sin y - 5^{1-x} \cdot \cos y, \\ 5^{x+1} \sin y - 2 \cdot 5^{1-x} \cdot \cos y + 4 = 5^{1-x} \cdot \sin y + 2 \cdot 5^{1+x} \cdot \cos y. \end{cases}$$
5. В основании прямой прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит прямогольный треугольник с катетами AB = 8 $\delta m$ и BC = 6 $\delta m$. Гипотенуза AC является диаметром основания прямого кругового конуса, вершина которого расположена на ребре $A_1B_1$. Боковая поверхность конуса пересекает ребро AB в точке M так, что AM = 5 $\delta m$. Определить объем конуса.

Вариант 2

1. Решить уравнение
   $$\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[6]{x} + \sqrt{x} = 2.$$
2. Сумма членов и разность арифметической прогрессии положительных. Если увеличить разность прогрессии на 2, не меняя ее первого член, то сумма ее членов увеличится в 3 раза. Если же разность исходной прогрессии увеличится в 4 раза, не меняя первого член, то сумма членов прогрессии увеличится в 5 раз. Определить разность исходной прогрессии.
3. Сторона основания правильно треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна a, точки O и O_1 являются центрами оснований ABC и A_1B_1C_1 соответственно. Длина ortogonalной проекции отрезка $AO_1$ на прямую $B_1O$ равна $\frac{5a}{6}$. Определить высоту призмы.
4. В треугольнике ABC перpendикуляр к стороне AB, проходящей через ее середину, пересекает прямую AC в точке M, а перpendикуляр к стороне AC, проходящей через ее середину, пересекает прямую AB в точке N. Известно, что MN = BC и прямая MN перpendикулярна к прямой BC. Определить углы треугольника ABC.
5. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} tg x \cdot tg y = \frac{\sin z}{\cos x \cdot \cos y} + 3, \\ tg y \cdot tg z = \frac{\sin x}{\cos y \cdot \cos z} - 5, \\ tg z \cdot tg x = \frac{\sin y}{\cos z \cdot \cos x} - 3. \end{cases}$$

Вариант 3

1. Решить уравнение
   $$4 \sin 3x + \sin 5x - 2 \sin x \cdot \cos 2x = 0.$$
2. Первая из двух округностей проходит через центр второй и пересекает ее в точках A и B. Качество к первой округности, проходящая через точку A, делит вторую округность в отношении $m:n (m < n)$. В каком отношении вторая округность делит первую?
3. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} 2^{x-y} - 2 \cdot 6^{x-y} - 6^{-2y} = 0, \\ 2^{-x-y} - 2 \cdot 3^{x+y} + 3 \cdot 9^x = 0. \end{cases}$$
4. Вдоль дороги последовательно расположены пункты A, B, C. Четыре пешхода выходит одновременно: первый и второй из A в C, третий из B в C, четвертый из C в A. Второй пешход обогнал третий пешход; первый пешход обогнал третий пешход. Третьий пешход шел в n раз медленнее четвертого, первый и второй шел с разными скоростями. Определить отношение расстояния от A до B к расстоянию от B до C (скорости пешходов постоянны).
5. Основанием призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ служит трапеция $ABCD$, в которой $ABCD$

51

2. В настоящие время представляется возможность достижения давления (например, с помощью специальным образом сформированного лазерного излучения), при которых все линейные размеры твердых тел можно уменьшить в 10 раз.

Во сколько раз у такого «сверхплотного» вещества критическая масса меньше, чем у обычного?

В критическом состоянии, когда начальная реакция, число вторичных нейтронов, рождения шейтронов, покидающих его через поверхность. (Вторичными называются нейтроны, возникшие при взаимодействии с делящимся веществом уже имеющихся в нем нейтронов.)

3. Плоский алюминный электрод осуществляется ультрафилотовым светом с длиной волны $\lambda = 8,30 \cdot 10^{-8}$ м. На какое максимальное расстояние от поверхности электрода может удалиться фоотэлектрон, если в ней электрода имеет задерживающее электрическое поле направлено $E = 7,5$ e/cm?

Красная граница фотоэфекта для алюминия соответствует длине волны $\lambda_0 = 33,2 \times 10^{-8}$ м. Постоянная Планка $h = 6,6 \times 10^{-34}$ дж. с, заряд электрода $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ к.

4. Радиус кривизны еылуклого сферического зеркала равен $R = 40$ cm. Какую линзу следует приставить вплотную к зеркалу, чтобы получившаяся оптическая система давала прямое минимое изобравнение предметов в натуральную величины?

Билет 3

1. В центр шара массы $M_1 = 300$ z, лежащего на краю стола, попадает горизонтальное летящая пуля массы $M_2 = 10$ z и пробивает его насвозьть. Шар падает на расстоянии $s_1 = 6$ м от стола, а пуля — на расстоянии $s_2 = 15$ м. Высота стола $H = 1$ м. Определить первоначальную скорость пули.

2. Электрический углог с терморегулятором, установленный в положение «шерсть», нагревается до температуры $t_1 = 140^\circ$ С. При этом в установившемся режиме регулятор включает углог на время $t = 30$ с через промежутки времени $T_1 = 5$ мин. В положении «лен» углог включается на те же 30 с через более короткие промежутки времени $T_2 = 3$ мин. Определить температуру углого регулятора, установленном в положение «лен». Температурной зависимости сопротивления нагреваеля пребрежьть. Температура в комнате $t_0 = 20^\circ$ С.

3. В одной из модели молекулярногоонана водорода $H_2^+$ предполагается, что электрон движется по круговой орбите, лежащей в плоскости, перpendикулярной клини, соединяющей протоны. Расстояние между протонами $R$, заряд электрода $e$, его масса $m$. Найти скорость, с которой движется электрон.

4. Одна из поверхностей тонкой линзы посербена. На расстоянии $a = 28$ cm от линзы на ее оси находится точный источник света. Если линза обращена к источнику посербенной стороны, то расстояние между источником и его минимым изображением оказывается равным 56 cm. Если линза повернуть к источнику другой стороны, то она дает параллельный пучок лучей. Определить формуление несербенной линзы.

Билет 4

1. С помощью линзы получено изображение Солнца. Динамир изображения равен $d = 3$ мм, а расположено оно на расстоянии $L = 32$ cm от линзы. Известно, что расстояние от Земли до Солнца равно $R = 150$ мл. км, а продолжительность земного года $T = 365$ сут. Вычислить с помощью этих данных ускорение свободного падения у поверхности Солнца.

2. Один моль идеального газа переводит из состояния 1 в состояние 3 по изоборе 1—2 и затем по изоборе 2—3 (рис. 4). На изохоре газу сообщается такое же количество теплла $Q = 3675$ дж, какое выделяется на изоборе. Найти конечную температуру газа, если его начальная температура $t_0 = 27^\circ$ С. Теплоемкость газа $C_V = 21$ дж/mоль. град.

3. Два небольших проводящих шара радиуса $r$ расположены на расстоянии $R$ друг от друга. Шары поочередно на некоторое время заземляют шара, который был заземлен первым, если первооначально каждой шар имел заряд $q$.

4. Оптическая система состоит из двух линз, имеющих формуление $F_1 = -10$ cm и $F_2 = +10$ cm, разделенных на расстояние $d = 5$ cm. При каких положениях предмета (со стороны $\lambda_1$) эта система будет давать действительное изображение?

В. Е. Белончкин, В. И. Чехлов