Скорость света и её измерение

2

СКОРОСТЬ СВЕТА
И ЕЕ ИЗМЕРЕНИЕ

А. В. Елеукий

Многие законы современной физики содержат в качестве параметра скорость света с. Эта величины входит в уравнение электромагнитного поля, через нее выражается полная энергия вещества, уровни энергии электронов в atomе и т. д.

Наряду с другими постояными величины, таких, например, как заряд электрона и гравиатционная постояная, скорость света относится к фундаментальным физическим постояным. Ясно, что точность физических законов определяется той точностью, с которой известны значения соответствующих постояных, единственных способом определения которых является эксперимент.

Приципл измерения скорости света, идея которого впервые была высказана еще Галилеем, основан на измерении времени, за которое световой сигнал прохит определенное расстояние. Развитие этого метода — от астрономических наблюдений Рёмера до филигранных интерферометрических измерений Майкельсона — было подробно описано в нашем журнале*). Согласно измерениям такого рода значение скорости света было принято равным 299 792,6±0,25 км/c. Отметим, что наиболее относительная точность, достигающая при измерении скорости света с помощью такого метода, получена в 50-х годах нашего столетия и составляет около одной десятичной доли процента, или 10⁻⁸.

Напомним, что любое измерение можно характеризовать относительной и абсолотной ошибками. Абсолотная ошибка — это возможность отклонения результата измерения от точного значения измеряемой величины. Такое отклонение может быть связано с несовершенством измерительного прибора или процесса измерения и всегда должно оценивать заранее. Относительная ошибка измерения — относение абсолотной ошибки к самой измеряемой величины. Хотя заранее оценидно, что при точных измерениях нужно статьяуменьшать как абсолотную, так и относительной ошибку, в большинстве случае наиболее важной характеристикой точности измерения является относительная ошибка. В самом деле, измерение, рассчитняя от Земли до Луньи с абсолотной ошибкой ±1 м — всегда точное измерение, а измерение, с той же абсолотной ошибкой размера комнаты — всего лишь грубая оценка. Это стало бы ясно сразу, если мы мы указали, что в первом случае относительная ошибка составляла величины 10⁻⁸, а во втором случае — 10⁻¹.

Дальнейшее повышение точности измерения скорости света интерференционными методами наталкиваюсь на принципиальные трудности. Расстояние, которое мы можем измерить с высокой точностью (это расстояние соизмеримо с эталоном длины —

*) См. статью В. Винцкого «Измерение скорости света», «Квант», 1972, № 2.

3

метром), свет проходит за чрезвычайно малые промежутки времени, порядка $10^{-8}с$. При измерении таких промежутков времени возникает значительная ошибка. С другой стороны, время прохождения светом больших расстояний (скажем, свыше 10 км) может быть зафиксировано достаточно точно, однако при измерении самого расстояния с помощью эталона длины накапливается значительная ошибка. В таком случае для измерения больших расстояний пользуются как раз оптическим методом, но для его использования необходимо заранее знать величину скорости света. Получается замкнутый круг.

Разрешить это противоречие удалось в последние годы, когда стало практически возможным использование другого принципа измерения скорости света, основанного на том, что длина волны λ и частота ν электромагнитных волн в вакууме связаны между собой фундаментальным соотношением

$$c=\lambda\nu. \quad (1)$$

Измерив независимо друг от друга длину волны и частоту одного и того же электромагнитного излучения, мы могли бы простым умножением этих величин получить значение скорости света. Точность такого эксперимента будет весьма высокой, если мы сможем удовлетворить одновременно двум требованиям.

Во-первых, мы должны уметь измерять длину волны и частоту электромагнитных колебаний с высокой степенью точности.

Во-вторых, частота колебаний электромагнитного излучения, с которым мы собираемся экспериментировать, должна поддерживаться возможно более постоянной.

Из соотношения (1) следует, что для электромагнитной волны относительные степени непостоянства частоты и длины волны совпадают.

В самом деле, пусть частота электромагнитной волны ν изменилась на малую величину δν ≪ ν. Это повлечет за собой изменение длины волны на величину δλ, так что произ-

1*

ведение нового значения частоты ν + δν на новое значение длины волны λ + δλ должно по-прежнему равняться скорости света c. Решая уравнение (1), написанное для этого случая, относительно δλ получим

$$\delta\lambda = \frac{c}{\nu+\delta\nu} - \lambda = \frac{c}{\nu+\delta\nu} - \frac{c}{\nu} =$$

$$= -\frac{c\delta\nu}{\nu(\nu+\delta\nu)} = -\lambda\frac{\delta\nu}{\nu+\delta\nu}$$

Отсюда

$$\frac{\delta\lambda}{\lambda} = -\frac{\delta\nu}{\nu+\delta\nu} \approx -\frac{\delta\nu}{\nu},$$

поскольку δν ≪ ν. Таким образом, относительные неточности в значениях частоты и длины волны противоположны по знаку и равны по величине.

Итак, если мы имеем источник электромагнитных колебаний постоянной частоты, то длина волны таких колебаний будет в той же степени постоянна. Это есть частный случай общего утверждения, что если две физические величины обратно пропорциональны друг другу, то их относительные неточности равны, если только коэффициент пропорциональности (в нашем случае — c) считать точно известным.

Создание электромагнитных колебаний, длина волны и частота которых остаются постоянными с высокой степенью точности в течение длительного времени, стало возможным в последние годы благодаря появлению лазеров — источников мощного монохроматического излучения. Однако, хотя частота и длина волны лазерного излучения постоянны с высокой точностью, их совместное измерение наталкивается на значительные технические трудности. Рассмотрим это подробнее.

Эталон для измерения длины

Всякое измерение сводится в конце концов к сравнению с некоторым эталоном. Существуют эталоны для измерения самых разнообразных параметров физических объектов и процессов: например, эталоны длины, времени, силы тока, массы вещества и т. д. Эталоны стараются выбирать

4

таким образом, чтобы их значения не зависели от внешних факторов, таких как температура и давление воздуха, высота над уровнем моря и т. п.

В частности, современный эталон длины связан с длиной волны электромагнитного излучения, возникающего при переходе электрона в атоме криптона из одного возбужденного состояния в другое.

Электроны в любом атоме могут находиться в различных состояниях, отличающихся друг от друга энергией. Если для определенного атома известен полный набор таких состояний, то говорят, что известен спектр атома. Для физика атомы различных химических элементов отличаются друг от друга, главным образом, своими спектрами, так что спектры служат «портретами» атомов. Из состояния с большей энергией $E_2$ электроны могут самопроизвольно (спонтанно) переходить в состояние с меньшей энергией $E_1$. При этом энергия $E_2 - E_1$ выделяется в виде кванта электромагнитных колебаний. Частота $\nu$ этих колебаний связана с выделяющейся энергией соотношением

$$\nu = \frac{E_2 - E_1}{h}, \tag{2}$$

где $h$ — постоянная Планка.

Поскольку энергия состояний, в которых могут находиться электроны в атомах, крайне слабо подвержена воздействию внешних условий, частота излучаемых атомами колебаний оказывается постоянной с высокой степенью точности. А так как степени постоянства частоты и длины волны электромагнитных колебаний совпадают, длина волны излучаемого света оказывается также строго постоянной. Поэтому такой свет удобно использовать в качестве весьма точной «линейки» для измерения длины.

По определению международный эталон длины — метр — содержит 1 650 763,73 длин волн излучения, возникающего при переходе между двумя определенными состояниями атома криптона. Это излучение испускается газоразрядной лампой, заполненной криптоном при строго определенном давлении и работающей при строго определенном токе и напряжении питания. Крип-

тоновая лампа выбрана потому, что она относительно проста в изготовлении и имеет большой срок службы.

Измерение длины волны лазера

Измерение длины с помощью криптонового эталона основано на явлении интерференции света.

В каждой точке пространства, где распространяется световая волна, возникает электромагнитное поле, причем величины векторов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля изменяются по гармоническому закону. Когда через некоторую точку пространства в одном направлении проходят два когерентных световых луча, то суммарный эффект будет зависеть от того, в каких фазах происходят колебания векторов напряженности электрического (или индукции магнитного) поля обоих лучей в этой точке. Если фазы колебаний совпадают, то есть векторы напряженностей направлены одинаково, то интенсивность света в этой точке максимальна. Если, наоборот, фазы колебаний противоположны, то есть векторы напряженностей направлены противоположно друг другу, интенсивность света в точке минимальна. Таким образом, если два луча света одинаковой частоты с постоянной разностью фаз (то есть с постоянным соотношением между векторами напряженности электрического поля или индукции магнитного поля) направить на экран, то мы увидим на экране чередующиеся светлые и темные полосы — так называемую интерференционную картину.

Одна из возможных схем для измерения длины предмета, в которой используется интерферометр Майкельсона, показана на рисунке 1. Световая волна от источника 1 разделяется в полупрозрачной пластинке 2 на две волны. Одна волна отражается от нижней поверхности пластинки и идет вверх, отражается от неподвижного зеркала 3, проходит

5

Рис. 1.

пластинку 2 и линизу 6, попадает на экран 7, расположенный в фокальной плоскости линизы. Вторая волна, пройдя пластинки 2 и 4, отражается от зеркала 5, укрепленного на тележке, возвращается к пластинке 2, отражается от ее нижней поверхности и идет к экрану. Пластинка 4 нужна для того, чтобы уравнять оптические пути обених волн. Действительно, первая волна при раза прохождения пластинку 2, а вторая волна — только один раз.

В результате интерференции двух лучей на экран возникнет интерференционная картина, представляющая собой чердоване темных и светлых полос. При передвижении тележки с зеркалом вдоль предмета, длину которого нужно изменить, интерференционная картина также будет как бы перемещаться по экрану. Например, при передвижении тележки на расстояние, равное половине длины волны света, используется в опыте, все темные полосы на экране станут светлыми и наоборот (рис. 2). Поэтому какая точка экрана по мере перемещения тележки будет попеременно темной или светлой, то есть будет возникать «вспышки» одна за одной. Причем число «вспышек» равно числу волн, которые укладываются на длине изменяемого предмета. Подсчет числа «вспышек» удобно производить в центральной точке интерференционной картины. Величина освещенности в центре интерференционной картины фиксируется фотоприемником, который соединен со счетчиком импульсов. Таким образом, процесс изменения можно

Рис. 2.

6

но автоматизировать. Высокая чувствительность фотоприемника позволяет измерять длину объекта с точностью до одной сотой длины волны оптического излучения, что составляет около $10^{-8}$ м. То есть предметы длиной около метра можно измерять с относительной ошибкой порядка $10^{-8}$.

Длину волны лазерного луча легко определить, измерив длину одного и того же предмета сначала с помощью криптонового эталона, а затем с помощью лазера и посчитав, во сколько раз отличается число «вспышек» в первом и во втором случаях.

Мы подробно рассмотрели, как измеряют длину волны лазерного излучения. Благодаря тому, что эталон длины — метр — основан на длине волны излучения атомов криптона в видимой области спектра, точность такого измерения примерно соответствует точности самого эталона длины, то есть равна $10^{-8}$. Это наиболее высокая точность, какая можно достичь в настоящее время. Повысить эту точность можно будет только после введения нового, более точного эталона длины.

Цезиевый эталон частоты

Гораздо сложнее дело обстоит с измерением частоты лазерного излучения.

В качестве эталона частоты используется излучение цезиевого мазера — квантового генератора электромагнитного излучения с длиной волны, лежащей в области радиоволн. Принцип работы цезиевого мазера состоит в следующем. Атом цезия обладает магнитным моментом, то есть представляет собой мельчайший магнитик. При обычных условиях существует два сорта атомов цезия, отличающихся друг от друга величиной магнитного момента. Другими словами, магнитное поле, создаваемое атомом одного сорта, несколько больше, чем поле, создаваемое атомом другого сорта. Если такие атомы поме-

стить в магнитное поле (например, между полюсами магнита), то сила взаимодействия магнитных моментов атомов с полем будет зависеть, во-первых, от величины внешнего магнитного поля, а во-вторых, от того, какой величиной магнитного момента обладает данный атом. Чем больше сила, тем больше и потенциальная энергия атомов цезия. Таким образом, в магнитном поле два сорта атомов цезия будут отличаться энергиями. Обозначим эти энергии, зависящие от величины внешнего магнитного поля, через $E_1$ и $E_2$ $(E_1<E_2)$.

Подвергнем пары цезия действию электромагнитного излучения, энергия квантов которого $h\nu$ равна разности энергий $E_2-E_1$:

$$h\nu = E_2 - E_1.$$

Тогда атомы первого сорта, энергия которых равна $E_1$, поглотив такой квант, увеличат свою энергию до значения $E_2$, то есть превратятся в атомы другого сорта. Поскольку разность энергий атомов цезия при определенном значении магнитного поля весьма слабо подвержена воздействию внешних условий, такое излучение можно использовать в качестве эталона частоты. Но для этого надо уметь отделять атомы одного сорта от атомов другого сорта. Такая сортировка возможна с помощью магнитного поля. Если пучок атомов обоих сортов пропускать через неоднородное магнитное поле, то траектории атомов разного сорта будут различными, так как различны энергии взаимодействия магнитного момента атома с полем. Отсортированный таким образом пучок атомов цезия подвергается воздействию электромагнитного поля. Если частота колебаний поля соответствует разности энергий $E_2-E_1$, то атомы переходят в другое состояние, так что их траектория в неоднородном магнитном поле изменяется.

Значение частоты электромагнитных колебаний, при которой происходит такой переход, может быть зарегистрировано с относительной пог-

7

решность порядка $10^{-12}$. Это значение определяное при строго фиксированной величины внешнего магнитного поля, равно 9 192 631 770,0 герц и является, по соглашению, Международным этапом частоты.

Возникает вопрос: а как пользоваться таким этапом частоты? Как, например, проверить понему точность хода наших часов? Ведь магнитное механизм делает 1—10 колебаний в секунду, а сигнал измененного этаона представляет собой электромагнитную волну, интенсивность которого изменяется за секунду примерно $10^{10}$ раз. Как с помощью цезерного этаона частоты можно измерить частоту лазера, излучение которого проходит с частотой порядка $10^{15}$ сч?

Ясно, что приное сравнение столбцличных по масштабу частот является задачей такой же бездействной трудной, как, например, точное измерение расстояния от Земли до Луны с помощью метровой линейки. Точное измерение возможно только при сравнению близких по масштабу величины. Поэтому для измерения с помощью цезерного этаона частот различных колебаний необходимо прежде всего приблизить измеренную частоту к частоте этаона. В настоящее время эта задача решается использованием техники неползованным техники неползованным преобразованием частоты электромагнитного излучения.

Нелинейная система

Преобразование частоты путем многократного ее умножения проискодит; например, при воздействии синусоидного колебания неокторой частоты v на нелинейный элемент. Для того чтобы понять, что такое нелинейный элемент, вспомним закон Ома, связывающий напряжение $U$, приложенное к проводнику с сопротивлением $R$, и ток $I$, протекающий через этот проводник: $U=IR$. Если велича $R$ не зависит ни от тока, ни от напряжения, говоря, что про-
водник является линейным элементом. И наоборот, сопротивление нелинейных элементов зависит либо от приложенного напряжения, либо от протекающего через них тока. Например, обычные сопротивления представляют собой линейные элементы, а полупроводниковый диод — нелинейный элемент.

Важнейший характеристкой любои системы, как линейной, так и нелинейной, является связь между сигналом, подаваемым на вход такой системы, и сигналом, возвращимым на ее выход. Для линейных систем возможно только изменение амплитуды сигнала при неизменной зависимости величины сигнала от времени. Знача коэффициент пропорционального между амплитудами сигналов и характера входного сигнала, мы однозначно определим выходной сигнал (в случае линейных сопротивлений, подчиняющихся закону Ома, таким коэффициентом служит величина сопротивления $R$). Посокльку свойства нелинейных систем сами зависит от подаваемого на их вход сигнала, форма выходного сигнала уже не будет повторять в точности форму сигнала, подаваемого на вход. Для того чтобы охарактеризовать нелинейную систему полностью, недостаточно задать коэффициент пропорционального, связывающего величины входного и выходного сигналов. Необходимо еще знать зависимость этого коэффициента от величины входного сигнала.

Например, если растягивает кусок упругого материала, то увелищение его длины $\Delta l$ будет связано с приложенным усилением $F$ законом Гука: $F=k\Delta l$. При малых значениях $F$ зависит линейная, то есть коэффициент $k$ от $F$ не зависит, и рассматриваемый образец является линейной системой. При увеличении приложенной силы линейность нарушается. Оказывается, при больших значениях $F$ все материалы становятся нелинейными, то есть становится существенно зависящее к $F$.

Среди нелинейных элементов большое место занимают нелинейные колебательные системы. Типичным примером колебательной системы с нелинейными свойствами является морская поверхность. Пока амплитуда колебаний (в данном случае — это высота волн)

8

невелика, форма воли — синусоида. При достижении достаточно большой амплитуды колебаний волны становится нелинейным, то есть их форма определяется их амплитудой — возникают «барашки». При дальнейшем увеличении амплитуды волны и вовсе теряют сходство с синусоидой.

Число примеров нелинейных колебаний систем, существующих в природе и в технике, может быть продолжено.

Общим свойством всех нелинейных элементов является их способность искажать подаваемый на их вход сигнал. В частности, если входной сигнал является синусоидным с частотой $v$, на выходе он таковым уже не является. Приодаче на вход такого преобразователь колебаний не только частоты $v_1$, но и гармоники, то есть колебания частот $2v_1$, $3v_1$ и т. д. Поэтому также элементы называют нелинейными преобразовательами частоты.

Рассмотрим в качестве примера нелинейного преобразователь части полупроводниковый диод, волтамперная характеристка которого может быть аппроксимирована параболой:

$$i = a + bu + cu^2,$$

где $a, b$ и $c$ — неокоторые константы. Пусть направление $u$, подаваемое на диод, меняется по закону

$$u = U_0 \cos \omega t = U_0 \cos 2\pi vt.$$

Тогда

$$i = a + bU_0 \cos 2\pi vt + cU_0^2 \cos^2 2\pi vt =$$

$$= a + bU_0 \cos 2\pi vt + \frac{cU_0^2}{2}(1 + \cos 4\pi vt) =$$

$$= \left(a + \frac{cU_0^2}{2}\right) + bU_0 \cos 2\pi vt +$$

$$+ \frac{cU_0^2}{2} \cos 4\pi vt.$$

Таким образом, ток через расматриваемый преобразователь не является гармоничским, а представляется собой сумму трех компонент: постоянной составляющей, колебаний с основной частотой $v$ и колебаний с удвоенной частотой $2v$.

Если зависимость $i (u)$ является более сложной и поэтому она должна быть представлена большим числом слагаемых:

$$i = a + bu + cu^2 + du^3 + \dots + lu^k,$$

то выходной сигнал будет содержать города более высоких гармоник (2v, 3v, …, kv).

Еще более сложная картина получается на выходе, если на вход нейной системы поступает сигнал более сложный, чем синусоидный. Особый интерес представляется случай, когда входной сигнал является суммой двух синусоидальных сигналов с частотами $v_1$ и $v_2$. Оказывается, что на выходе в этом случае возникают не только гармоники какдой из частот, но и так называемые комбинационные частоты: $v_1 + v_2, v_1 - v_2, 2v_1 + v_2$ и т. д. (это можно показать, проверяя расчудения, аналогичные вышеприведенными). В общем виде комбинационные частоты можно представить так: $nv_1 \pm mv_2$, где $n$ и $m$ — любые целые числа.

Измерение частоты излучения лазера

Теперь мы можем вернуть к конкретичной задаче — как измерить частоту лазерного излучения. Но сначала познакомимся с общим принципом измерения частот, близких к эталонным. Исследуемые колебания вместе с эталонными подаются на нелинейный преобразователь. Как мы уже говорили, на выходе возникают различные комбинационные частоты, среди которых есть частота $v_1 - v_2$, называемая частотой бинейной. При условии, что частоты $v_1$ и $v_2$ близки друг другу, частота бинейной оказывается очень малой и ее можно измерить обычными методами (например, с помощью осциллографа). При этом, хотя относительная ошибка измерения частоты колебаний с помощью осциллографа довольно больше ($\approx 10^{-4}$), абсолотная ошибка измерения оказается порядка 1 — 10 $2\mu$. А поскольку эталонные частоты имеют величины примерного $10^{10} \epsilon$, то относительная ошибка измерения таких высоких частот будет $10^{-9} - 10^{-10}$.

Для измерения частот, сильно отличается от эталонной, кроме целевого эталона, являющегося первичным эталоном частоты, необходимо иметь набор вторичных эталонов.